方向微分

テンプレート:No footnotes 数学において、多変数微分可能関数のある与えられた点 テンプレート:Math におけるある与えられたベクトル テンプレート:Math に沿った方向微分（ほうこうびぶん、テンプレート:Lang-en-short）とは、直感的には、テンプレート:Math によって特徴づけられた速度で テンプレート:Math を通過する時の、その関数の即時的な変化率を意味する。したがって、他のすべての座標は定数として、ある一つのテンプレート:仮リンクに沿った変化率を取るような、偏微分の概念を一般化するものである。

方向微分は、ガトー微分の特別な場合である。

定義

あるベクトル

$𝒗=(v_1,\dots ,v_n)$

に沿った、スカラー関数

$f(𝒙)=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

の方向微分は、極限

${\mathrm{\nabla }}_{𝒗}f(𝒙)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(𝒙+h𝒗)-f(𝒙)}{h}$

として定義される関数である。

関数 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math において微分可能であるなら、任意のベクトル テンプレート:Math に沿った方向微分が存在し、

${\mathrm{\nabla }}_{𝒗}f(𝒙)=\mathrm{\nabla }f(𝒙)\cdot 𝒗$

が成立する。ここで、右辺の テンプレート:Math は勾配を表し、テンプレート:Math はドット積を表す。任意の点 テンプレート:Math において、テンプレート:Mvar の方向微分は、直感的には、ある速度と、テンプレート:Math によって与えられるある方向によって動く時の、テンプレート:Mvar の時間に関する変化率を表す。

何人かの研究者は、方向微分を正規化を施した後のベクトル テンプレート:Math に対して定義しており、その場合その絶対値は考慮から外される。すると、

${\mathrm{\nabla }}_{𝒗}f(𝒙)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(𝒙+h𝒗)-f(𝒙)}{h|𝒗|}$

であるか、あるいは テンプレート:Mvar が テンプレート:Math において微分可能である場合には、

${\mathrm{\nabla }}_{𝒗}f(𝒙)=\mathrm{\nabla }f(𝒙)\cdot \frac{𝒗}{|𝒗|}$

が成立する。この定義には、いくつかの不利な点がある。すなわち、その定義はベクトルのノルムが定義され、ゼロでない場合においてのみ適用されるということである。この定義は、物理学や工学など、数学と異なるいくつかの分野において用いられる概念とは相入れないものとなるが、単位距離ごとの テンプレート:Mvar の増加率を知りたい場合には、用いられるべきものである。

表記法

方向微分には、次のようないくつかの表記法がある：

${\mathrm{\nabla }}_{𝒗}f(𝒙)\sim \frac{\partial f(𝒙)}{\partial v}\sim f{\text{'}}_{𝒗}(𝒙)\sim D_{𝒗}f(𝒙)\sim 𝒗\cdot \mathrm{\nabla }f(𝒙)$

性質

通常の微分に対して成立する有名な性質の多くは、方向微分に対しても成立する。以下に述べる性質は、ある点 テンプレート:Mvar において微分可能であり、その点の近傍において定義されるような任意の関数 テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar に対して、成立する： テンプレート:Ol

微分幾何学における方向微分

テンプレート:See also テンプレート:Mvar を微分可能多様体とし、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 内のある点とする。テンプレート:Mvar を、点 テンプレート:Mvarのある近傍において定義され、テンプレート:Mvar において微分可能なある関数とする。 テンプレート:Mvar を点 テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar への接ベクトルとするとき、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar に沿った方向微分は、テンプレート:Math（共変微分を参照）や テンプレート:Math（リー微分を参照）、あるいは テンプレート:Math（接ベクトル空間を参照）など様々な方法で表記され、その定義は次のようになる。テンプレート:Math を、テンプレート:Math および テンプレート:Math を満たすような微分可能な曲線とする。このとき、方向微分は

${\mathrm{\nabla }}_{v}f(p)={\frac{d}{d\tau }(f\circ \gamma )(\tau )|}_{\tau =0}$

と定義される。この定義は、テンプレート:Math を満たすようなものとして テンプレート:Mvar が選ばれている限り、テンプレート:Mvar の選び方によらない。

法線微分

法線微分（normal derivative）とは、空間内のある曲面に対する法線方向（すなわち、直交する方向）に関する、方向微分である。あるいはより一般的に、法線微分とは、ある超曲面に直交する法線ベクトル場に沿った方向微分である。例えばノイマン境界条件を参照されたい。法線方向を テンプレート:Math と表すとき、関数 テンプレート:Mvar の方向微分はしばしば テンプレート:Math と表される、その他、

$\frac{\partial f}{\partial 𝒏}=\mathrm{\nabla }f(𝒙)\cdot 𝒏={\mathrm{\nabla }}_{𝒏}f(𝒙)=\frac{\partial f}{\partial 𝒙}\cdot 𝒏=Df(𝒙)[𝒏]$

とも表される。

固体の連続体力学において

連続体力学におけるいくつかの重要な結果においては、ベクトルに関するベクトルの微分や、ベクトルやテンソルに関するテンソルの微分の概念が必要となる。方向微分は、そのような微分を見つける上での体系的な方法を提供するものである。

さまざまな状況に対する方向微分の定義を、以下に述べる。そこでの各関数は、微分が取れるように十分滑らかであるもののと仮定される。

スカラー値ベクトル関数の微分

$f(𝒗)$ を、ベクトル $𝒗$ に関する実数値関数とする。このとき、すべてのベクトル $𝒖$ に対して、方向 $𝒖$ への $f(𝒗)$ の $𝒗$ に関する（あるいは、$𝒗$ での）微分は、次のように定義される：

$\frac{\partial f}{\partial 𝒗}\cdot 𝒖=Df(𝒗)[𝒖]={[\frac{d}{d\alpha }f(𝒗+\alpha 𝒖)]}_{\alpha =0}.$

性質： テンプレート:Ol

ベクトル値ベクトル関数の微分

$𝒇(𝒗)$ を、ベクトル $𝒗$ に関するベクトル値関数とする。このとき、すべてのベクトル $𝒖$ に対して、方向 $𝒖$ への $𝒇(𝒗)$ の $𝒗$ に関する（あるいは、$𝒗$ における）微分は、次のベクトルで定義される：

$\frac{\partial 𝒇}{\partial 𝒗}\cdot 𝒖=D𝒇(𝒗)[𝒖]={[\frac{d}{d\alpha }𝒇(𝒗+\alpha 𝒖)]}_{\alpha =0}.$

性質： テンプレート:Ol

スカラー値の二階テンソル関数の微分

$f(𝑺)$ を、二階テンソル $𝑺$ に関する実数値関数とする。このとき、すべての二階テンソル $𝑻$ に対して、方向 $𝑻$ への $f(𝑺)$ の $𝑺$ に関する（あるいは、$𝑺$ における）微分は、次の二階テンソルで定義される：

$\frac{\partial f}{\partial 𝑺}:𝑻=Df(𝑺)[𝑻]={[\frac{d}{d\alpha }f(𝑺+\alpha 𝑻)]}_{\alpha =0}.$

性質： テンプレート:Ol

テンソル値の二階テンソル関数の微分

$𝑭(𝑺)$ を、二階テンソル $𝑺$ に関する、二階テンソル値関数とする。このとき、すべての二階テンソル $𝑻$ に対して、方向 $𝑻$ への $𝑭(𝑺)$ の $𝑺$ に関する（あるいは、$𝑺$ での）微分は、次の四階テンソルで定義される：

$\frac{\partial 𝑭}{\partial 𝑺}:𝑻=D𝑭(𝑺)[𝑻]={[\frac{d}{d\alpha }𝑭(𝑺+\alpha 𝑻)]}_{\alpha =0}.$

性質： テンプレート:Ol

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 微分の一般化
  • 共変微分
  • フレシェ微分
  • ガトー微分
  • リー微分
  • テンプレート:仮リンク
• 微分形式
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク

外部リンク

• Directional derivatives at MathWorld.
• Directional derivative at PlanetMath.