素数が無数に存在することの証明

素数が無数に存在することの証明（そすうがむすうにそんざいすることのしょうめい）は、古くは紀元前3世紀頃のユークリッドの『原論』に記され、その後も多くの証明が与えられている。素数が無数に存在することは、しばしばユークリッドの定理（ユークリッドのていり、テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれる。

ユークリッド

『原論』第9巻命題20で、素数が無数に存在することが示されている。その証明は、次の通りである。なお「任意」は誤訳と思われる。 テンプレート:Quotation この証明は、しばしば次のような背理法の形で表現される。

素数の個数が有限と仮定し、テンプレート:Math2 が素数の全てとする。その積 テンプレート:Math2 に テンプレート:Math を加えた数 テンプレート:Math は、テンプレート:Math2 のいずれでも割り切れないので、素数でなければならない。しかし、これは テンプレート:Math2 が素数の全てであるという仮定に反する。よって、仮定が誤りであり、素数は無限に存在する。

この形の証明のために、「ユークリッドは、背理法で素数が無数にあることを証明した」「ユークリッドの証明は、存在のみを示しており、具体的な構成の手続きを示していない」「ユークリッドは、最初のいくつかの素数の積に1を加えた数が素数であることを証明した」などの誤解をする者がいるが、いずれも正しくない。『原論』の証明は背理法ではなく、テンプレート:仮リンクであるテンプレート:仮リンクによるものである。また、最後の主張は「 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 = 30,031 」という反例により、歴史的にのみならず数学的にも誤りである。

1878年、クンマーは、テンプレート:Math の代わりに テンプレート:Math を考えても、同様に証明できることを注意した。

ゴールドバッハ

ゴールドバッハは、1730年7月にオイラーに宛てた手紙の中で、フェルマー数

$F_n=2^{2^n}+1$

を利用して、素数が無数にあることを証明している。

フェルマー数たちが互いに素であることが示されれば、無数にあるフェルマー数の素因子を考えることにより、無数に素数を得る。実際、テンプレート:Mvar に関する数学的帰納法により、簡単に

$F_0{F}_1\cdots F_m=F_{m+1}-2$

が得られるので、ある素数 テンプレート:Mvar が2つのフェルマー数を割り切るとすると、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math も割り切ることになって不合理である。

オイラー

オイラーによる証明は、リーマンゼータ関数のオイラー積表示を用いたものである。

素数は有限個の テンプレート:Math2 からなると仮定する。各素数 テンプレート:Mvar に対し、等比級数の公式により

$\frac{1}{1-{p_i}^{-1}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{p_i}^k}$

が成り立つ。テンプレート:Math2 における両辺の総乗を取ると、任意の自然数は素数の積として一意に表せる（算術の基本定理）ことより、

$\prod _{i=1}^n\frac{1}{1-{p_i}^{-1}}=\prod _{i=1}^n\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{p_i}^k}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m}$

を得る。左辺は有限値であるのに対し、右辺は調和級数であり、発散するので、矛盾する。

エルデシュ

素数の逆数和は（無限大に）発散することが示されば、素数は無数に存在することが直ちに従う。素数の逆数和が発散することは、オイラーが初めて証明したが、以下はエルデシュが1938年に発表した、より簡潔な証明である。

素数の逆数和は収束すると仮定する。テンプレート:Mvar 番目の素数を テンプレート:Mvar で表すことにすると、ある番号 テンプレート:Mvar が存在して

$\sum _{i=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_i}<\frac{1}{2}$

である。素数全体を2つのグループに分け、テンプレート:Math2 を「小さい」素数、テンプレート:Math 以降を「大きい」素数と呼ぶことにする。テンプレート:Mvar 以下の自然数で、「大きい」素数で割れる数と、「小さい」素数でしか割れない数に分け、前者の個数を テンプレート:Math、後者の個数を テンプレート:Math とおく。当然 テンプレート:Math である。

以下、テンプレート:Math と テンプレート:Math の大きさを見積もる。テンプレート:Mvar 以下の テンプレート:Mvar の倍数の個数は、床関数を用いて

$\lfloor \frac{N}{p}\rfloor$

と表せるから、

$N_1\le \sum _{i=k+1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{N}{p_i}\rfloor \le \sum _{i=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N}{p_i}<\frac{N}{2}$

を得る。ここに、最後の不等号は上記の仮定から従う。次に、テンプレート:Mvar を小さい素数でしか割れない テンプレート:Mvar 以下の自然数とし、テンプレート:Math（テンプレート:Mvar は平方因子を含まない） と表す。テンプレート:Mvar の可能性は高々 2テンプレート:Sup 通りであり、テンプレート:Math であるから、

$N_2\le 2^k\sqrt{N}$

を得る。よって、

$N=N_1+N_2<\frac{N}{2}+2^k\sqrt{N}$

となる。しかし、この式は テンプレート:Math に対して成り立たない。

フュルステンベルグ

フュルステンベルグの証明は、トポロジーを用いたものである。彼は、まだ学部生であった1955年に、証明を発表した。

整数全体からなる集合 テンプレート:Math に、両方向への無限等差数列

$a\mathbb{Z}+b=\{ax+b\mid x\in \mathbb{Z}\}$

（ただし、テンプレート:Math は整数で、テンプレート:Math）全体を開基とする位相を定める。換言すれば、この位相における開集合は、（空集合であるか）任意個の無限等差数列の和集合である。このとき、空でない有限集合は開集合ではないことに注意する。

任意の無限等差数列は、開集合であると同時に、

$a\mathbb{Z}+b=\mathbb{Z}\setminus (\bigcup _{i=1}^{a-1}(a\mathbb{Z}+b+i))$

という表示により、閉集合でもある。テンプレート:Math2 が素数全体と仮定すると、

$A:=\bigcup _{i=1}^n{p}_i\mathbb{Z}$

は有限個の閉集合の和集合であるから閉集合である。したがって閉集合 テンプレート:Mvar の補集合 テンプレート:Math は開集合である。ところが テンプレート:Math 以外の任意の整数は何らかの素数で割り切れるから、テンプレート:Math である。これは空でない有限集合であるため開集合ではなく、矛盾が生じる。

テンプレート:Math が無理数であることを使った証明

テンプレート:Anchors ライプニッツの公式をオイラー積の形で表すと

$\frac{\pi }{4}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{4}\times \frac{7}{8}\times \frac{11}{12}\times \frac{13}{12}\times \frac{17}{16}\times \frac{19}{20}\times \frac{23}{24}\times \frac{29}{28}\times \frac{31}{32}\times \cdots$

この積の分子は奇素数であり、分母はそれぞれに対応する分子に一番近い テンプレート:Math の倍数である。もし素数が有限個ならば テンプレート:Pi は有理数として表すことができる。しかし テンプレート:Pi は無理数なので、背理法より素数は無限に存在する。

サイダック

現代においても、新たな証明が次々に提案されている。その中でも、2006年に発表されたフィリップ・サイダックによる証明は非常に簡潔である。

テンプレート:Mvar はテンプレート:Math以上の整数とする。テンプレート:Mvar と テンプレート:Math は互いに素 なので、テンプレート:Math は少なくとも2つの異なる素因子を持つ。同様に、テンプレート:Math と テンプレート:Math は互いに素なので、テンプレート:Math は少なくとも3つの異なる素因子を持つ。この操作を続けることにより、任意に多くの異なる素因子を持つ数を構成することができるので、素数は無数に存在する。

参考文献

• 中村幸四郎他訳『ユークリッド原論』共立出版、1996年 ISBN 978-4320015135
• M. Aigner and G. M. Ziegler, Proofs from the Book, 3rd edition, Springer, 2003. ISBN 978-3540404606
  • 蟹江幸博訳『天書の証明』シュプリンガー・フェアラーク東京、2002年（2nd edition の訳）ISBN 978-4431709862
• Paulo Ribenboim, The Book of Prime Number Records, Springer, 1988 ISBN 978-0387965734
  • 吾郷孝視訳『素数の世界』共立出版、1995年 ISBN 978-4320014848
• G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Fifth Edition, Oxford University Press, 1980 ISBN 978-0198531715
  • 示野信一、矢神毅訳『数論入門Ⅰ』シュプリンガー・フェアラーク東京、2001年 ISBN 978-4431708483
• M. Hardy and C. Woodgold, Prime Simplicity, Mathematical Intelligencer, volume 31, number 4, 2009, 44-52.

関連項目

• 素数階乗素数
• 素数定理

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• C. K. Caldwell Proofs that there are infinitely many primes - Prime Pages.
• R. Mestrovic, Euclid's theorem on the infinitude of primes: a historical survey of its proofs (300 B.C.-2012) and another new proof, Arxiv preprint arXiv:1202.3670, 2012