ディリクレの単数定理

数学において、ディリクレの単数定理(Dirichlet's unit theorem)は、ペーター・グスタフ・ディリクレテンプレート:Harv による代数的整数論の基本的な結果であるテンプレート:Sfn。ディリクレの単数定理は、代数体テンプレート:Mvar の代数的整数がなす環 $𝒪_{K}$ の単数群 $𝒪_{K}^{\times}$ の階数を決定する。単数基準（あるいはレギュレータ）(regulator)とは、どれくらい単数の「密度」があるかを決める正の実数である。

ディリクレの単数定理

ディリクレの単数定理は、単数群が有限生成であり、階数（乗法的に独立な元の最大数）が

テンプレート:Math

に等しいと主張する。ここにテンプレート:Math は、代数体テンプレート:Mvar の実埋め込み^[1]の数で、テンプレート:Math は虚埋め込みの共役ペア^[2]の数である。このテンプレート:Math とテンプレート:Math は、複素数体へのテンプレート:Mvar の埋め込みが次数テンプレート:Math と同じだけあるという考えの元に特徴付けられている。これらの埋め込みは、実数への埋め込みか、または、複素共役のペアとなる埋め込みのいずれかであるので、

テンプレート:Math

となる。

テンプレート:Mvar がテンプレート:Math 上のガロア拡大であれば、テンプレート:Math とテンプレート:Math のいずれかは 0 でないが、両方が同時に 0 にならないことに注意する。

テンプレート:Math とテンプレート:Math を決定する他の方法は以下のとおりである。

原始元の定理を使いテンプレート:Math と書くと、テンプレート:Mvar の実数である共役元の数はテンプレート:Math 個であり、虚数である共役元の数はテンプレート:Math 個である。

体のテンソル積テンプレート:Math を体の積として書くと、これは、テンプレート:Math 個のテンプレート:Math のコピーとテンプレート:Math 個のテンプレート:Math のコピーの積である。

例としてテンプレート:Mvar を二次体とすると、実二次体ではランクは 1 であり、虚二次体ではランクは 0 である。実二次体の理論は本質的には、ペル方程式の理論である。

ランクが 0 のテンプレート:Math と虚二次体を例外として除くと、全ての数体に対するランクは正になる。単数の「サイズ」は一般に単数基準と呼ばれる行列式により測られる。原理上は、単数の基底は実効的に計算することができるが、実際の計算はテンプレート:Mvar が大きいときには非常に煩雑になる。

単数群の捩れは、テンプレート:Mvar の 1 のすべての冪根の集合で、有限巡回群となる。少なくとも 1つの実埋め込みを持つ数体では、捩れはテンプレート:Math のみとなるはずである。虚二次体のように、単数群の捩れがテンプレート:Math であるような実埋め込みを持たない数体もある。

総実体は単数の観点からは特別に重要である。テンプレート:Math を次数が 1 より大きな有限次拡大として、テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の整数体の単数群が同じランクとすると、テンプレート:Mvar は総実で、テンプレート:Mvar は総虚な二次拡大となり、逆もまた正しい。（例として、テンプレート:Mvar が有理数体、テンプレート:Mvar が虚二次体の場合、双方ともランク 0 である。）

ヘルムート・ハッセにより（後日、クロード・シュヴァレーにより）単数定理は一般化され、整数環の局所化での単数群の階数を決定するテンプレート:仮リンク(S-unit)の群の構造が記述された。また、ガロア加群構造 $𝐐 \oplus 𝒪_{K, S} \otimes_{𝐙} 𝐐$ が決定されたテンプレート:Sfn。

単数基準

テンプレート:Math を 1 のべき根を法とした単数群の生成元の集合とする。テンプレート:Mvar が代数的数であれば、テンプレート:Math をテンプレート:Math やテンプレート:Math への埋め込みとして、テンプレート:Mvar をそれぞれ実埋め込み・虚埋め込みに対応して 1, 2 とすると、各要素が $N_{j} \log | u_{i}^{j} |$ であるテンプレート:Math 行列は、どの行の和も 0 であるという性質をもつ（何故ならば、全ての単数はノルムが 1 であり、ノルムの log は、行の要素の和とであるからである）。このことは、任意の列を除去して作られる部分行列の行列式の絶対値テンプレート:Mvar が除去した列に依存しないことを意味する。数値テンプレート:Mvar は代数体の単数基準（あるいはレギュレータ）(regulator)と呼ばれる（この値はテンプレート:Mvar の選び方には依存しない）。この値は単数の「密度」を測るものであり、単数基準が小さければは単数が「多く」存在することを意味する。

単数基準は次のように幾何学的に解釈される。単数テンプレート:Mvar を、要素 $N_{j} \log | u^{j} |$ からなるベクトルへ写す写像は、テンプレート:Math のテンプレート:Mvar 次元部分空間の中に像を持ち、要素の和が 0 となる全てのベクトルからなり、ディリクレの単数定理により像はこの空間の中の格子となる。この格子の基本領域の体積は、テンプレート:Math である。

次数が 2 以上の代数体の単数基準の計算は、普通は非常に難しいが、現在は多くの場合に計算可能なコンピュータ用の代数パッケージが存在する。普通は類数公式を使い類数テンプレート:Mvar に単数基準をかけた積テンプレート:Mvar の計算は容易であるので、代数体の類数の計算における困難な点は、主に単数基準を計算することにある。

例

テンプレート:Math へテンプレート:Math の根を添加することで得られる三次の円分体の単数群の、対数空間中の基本領域。基本単数の集合はテンプレート:Math である。ここでテンプレート:Mvar でテンプレート:Math の根を表すと、テンプレート:Math でテンプレート:Math である。基本領域の面積はおよそ 0.910114 であるので、テンプレート:Mvar の単数基準はおよそ 0.525455 である。

虚二次体や有理整数体の単数基準は 1 である。（0×0 行列の行列式は 1 とする)
実二次体の単数基準は、基本単数の log である。例えば、テンプレート:Math の単数基準はテンプレート:Math である。このことは次のようにして分かる。基本単数はテンプレート:Math であり、テンプレート:Math への 2つの埋め込みの像はテンプレート:Math とテンプレート:Math であるので、テンプレート:Math 行列は、

[1 \cdot \log | \frac{\sqrt{5} + 1}{2} |, 1 \cdot \log | \frac{- \sqrt{5} + 1}{2} |]

である。

テンプレート:Mvar をテンプレート:Math の根とすると、テンプレート:仮リンクテンプレート:Math の単数基準は、およそ 0.5255 となる。べき根を法とした単数群の基底は、テンプレート:Math である。ここにテンプレート:Math であり、テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。

高次単数基準

高次単数基準とは、単数群に対する古典的な単数基準を、テンプレート:Math における代数的K-群テンプレート:Math 上の函数として拡張したものである（古典的な単数基準は、群テンプレート:Math の場合に相当する）。この理論は発展途上であり、アルマン・ボレルらが研究している。このような単数基準は、例えばベイリンソン予想で利用され、整数引数のL-函数の評価時に現れると期待されている^[3]。

スターク単数基準

スターク予想の定式化により、ハロルド・スタークは、現在スターク単数基準(Stark regulator)と呼ばれているものを提唱した。これは古典的な単数基準の類似物として、任意のテンプレート:仮リンクに対応する単数の log の行列式としたものである^[4]^[5]。

テンプレート:Mvar-進単数基準

テンプレート:Mvar を数体とし、テンプレート:Mvar の各々の固定された有理素点上の素点テンプレート:Mvar に対して、局所単数をテンプレート:Mvar で表し、テンプレート:Math でテンプレート:Mvar の中での主単数の部分群を表すとする。さらに、

U_{1} = \prod_{P | p} U_{1, P}

と置き、テンプレート:Math で大域的単数テンプレート:Mvar の集合を表すとする。ここでテンプレート:Mvar はテンプレート:Math の大域的単数の対角埋め込みを通してテンプレート:Math へ写す。

テンプレート:Math は大域的単数の有限指数部分群であるので、テンプレート:Math は階数テンプレート:Math のアーベル群である。テンプレート:Mvar-進単数基準(テンプレート:Mvar-adic regulator)とは、この群の生成元のテンプレート:Mvar-進対数で作られた行列の行列式である。テンプレート:仮リンクは、この行列式が 0 ではないと予想している^[6]^[7]。

脚注

テンプレート:Reflist

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