ドロー＝ファルニー線定理

提供: testwiki
ナビゲーションに移動 検索に移動

テンプレート:暫定記事名

A0,B0,C0を通るドロー・ファルニー線

ドロー＝ファルニー[1]線定理（テンプレート:Lang-en-short）は平面幾何学において、垂心を通り直交する直線に関する定理である[2]。

三角形テンプレート:Mvarの垂心（頂垂線の共点）をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarで直交する直線をテンプレート:Mathとする。次に、テンプレート:Mvarとテンプレート:Mathの交点をそれぞれテンプレート:Math、テンプレート:Mvarとテンプレート:Mathの交点をそれぞれテンプレート:Mathとする。このとき、線分テンプレート:Mathの中点は共線である[3][4][5]。

ドロー＝ファルニー線の定理は、1899年にアーノルド・ドロー＝ファルニーが提言した定理であるが、彼自身の証明は不完全であった[3][6]。

また中点を、一定の比に置き換えても同様の定理が成立する（テンプレート:仮リンクあるいはクリストファー・ブラッドリーによる）[7][8][9]。

ドロー＝ファルニー線の包絡線は外心と垂心を焦点とする内接円錐曲線マクベス円錐曲線（MacBeath conic）である[10]。

ドロー＝ファルニー線の定理の垂心を他の点テンプレート:Mvarに置き換えたとき、ドロー＝ファルニー線の類似物が存在するような直線の組（DF-lines）テンプレート:Mathはただひとつ存在する。この2本の直線は、三角形の頂点と垂心とテンプレート:Mvarを通る外接円錐曲線の漸近線と平行である。点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarとテンプレート:MvarのDF-linesの二等分線の三線極点とテンプレート:Mvarが共線であるようなテンプレート:Mvarの軌跡をDf-Cubicという[10]。

ゴールマハティヒの一般化

1930年、ルネ・ゴールマハティヒはドロー＝ファルニー線定理の一般化を発表した[11]。

テンプレート:Mathについて、その頂点でない点テンプレート:Mvarを通る直線の一つをテンプレート:Mvarとする。テンプレート:Mvarでテンプレート:Mvarを鏡映した直線と、それぞれテンプレート:Mvarの交点は共線である。

テンプレート:Mvarが垂心であるとき、元の定理を得る。

ダオによる一般化

ダオによる1番目の一般化

ダオ・タイン・オアイ（テンプレート:Lang）はさらなる一般化を発見している。

１: テンプレート:Mathと任意の点テンプレート:Mvarについて、3つの平行な線分テンプレート:Mvarを、その中点とテンプレート:Mvarが共線になるようにとる。このとき、それぞれテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点は共線である[12]。

ダオによる2番目の一般化

テンプレート:詳細記事 2: 任意の円錐曲線テンプレート:Mvarと点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarを通る直線テンプレート:Mvarがそれぞれテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarで交わるとする。次にテンプレート:Mvarの極線かテンプレート:Mvar上に点テンプレート:Mvarを作る。このときテンプレート:Mathは共線である[13][14][15]。ただし積集合記号は二直線の交点を表す。

この定理はザスラフスキーの定理（テンプレート:Lang）、ニクソンの定理、ブリスの定理（テンプレート:Lang）、コリングの定理（テンプレート:Lang）、カルノーによるシムソンの定理の一般化などに演繹することができる。

他にも、Ngo Quang DuongとVu Thanh Tungによる対垂三角形を用いた一般化などが存在する[16][17]。

出典

  1. ↑ テンプレート:Cite book
  2. ↑ テンプレート:Cite journal
  3. ↑ 3.0 3.1 A. Droz-Farny (1899), "Question 14111". The Educational Times, volume 71, pages 89-90
  4. ↑ Jean-Louis Ayme (2004), "A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem". Forum Geometricorum, volume 14, pages 219–224, テンプレート:ISSN
  5. ↑ Floor van Lamoen and Eric W. Weisstein , Droz-Farny Theorem at Mathworld
  6. ↑ J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2006), Arnold Droz-Farny. The MacTutor History of Mathematics archive. Online document, accessed on 2014-10-05.
  7. ↑ テンプレート:Cite journal
  8. ↑ テンプレート:Cite journal
  9. ↑ テンプレート:Cite journal
  10. ↑ 10.0 10.1 テンプレート:Cite web
  11. ↑ René Goormaghtigh (1930), "Sur une généralisation du théoreme de Noyer, Droz-Farny et Neuberg". Mathesis, volume 44, page 25
  12. ↑ Son Tran Hoang (2014), "A synthetic proof of Dao's generalization of Goormaghtigh's theorem テンプレート:Webarchive." Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, volume 3, pages 125–129, テンプレート:ISSN
  13. ↑ Nguyen Ngoc Giang, A proof of Dao theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol.4, (2015), Issue 2, page 102-105 テンプレート:Webarchive, テンプレート:ISSN
  14. ↑ テンプレート:Cite journal
  15. ↑ テンプレート:Cite web
  16. ↑ テンプレート:Cite journal
  17. ↑ テンプレート:Cite journal

関連項目

「https://ja.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=ドロー＝ファルニー線定理&oldid=13512」から取得