直積 (ベクトル)

テンプレート:For 線型代数学における直積（ちょくせき、テンプレート:Lang-en-short）あるいは外積（がいせき、テンプレート:Lang-en-short）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。テンプレート:仮リンクの外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。

$𝒖\otimes 𝒗=𝒖{𝒗}^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\\ u_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{v}_1& v_2& v_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{u}_1{v}_1& u_1{v}_2& u_1{v}_3\\ u_2{v}_1& u_2{v}_2& u_2{v}_3\\ u_3{v}_1& u_3{v}_2& u_3{v}_3\\ u_4{v}_1& u_4{v}_2& u_4{v}_3\end{array}\right).$

ベクトル同士の外積は行列のクロネッカー積の特別な場合である。

「テンソルの外積」を「テンソル積」の同義語として用いる文献もある。外積は R, APL, Mathematica などいくつかの計算機プログラム言語では高階函数でもある。

定義

行列表現

ふたつのベクトル テンプレート:Math の外積 テンプレート:Nowrap は、テンプレート:Math を テンプレート:Math 列ベクトル、テンプレート:Math を テンプレート:Math 列ベクトル（従って テンプレート:Math は行ベクトル）としたときの行列の積 テンプレート:Math に等価である。成分を用いて

$𝒖=(u_1,u_2,\dots ,u_m),𝒗=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$

と書けば、外積 テンプレート:Math は テンプレート:Math 行列 テンプレート:Math で各成分は テンプレート:Math の各成分と テンプレート:Math の各成分の積であたえられ、

$𝒖\otimes 𝒗=𝑨=\left(\begin{array}{cccc}{u}_1{v}_1& u_1{v}_2& \dots & u_1{v}_n\\ u_2{v}_1& u_2{v}_2& \dots & u_2{v}_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ u_m{v}_1& u_m{v}_2& \dots & u_m{v}_n\end{array}\right).$

と表される。

複素ベクトルの場合には、これを少し変えて、テンプレート:Math の転置の代わりに共軛転置 テンプレート:Math を用い、

$𝒖\otimes 𝒗=𝒖{𝒗}^{*}$

とする。つまり得られる行列 テンプレート:Math は テンプレート:Math の各成分と テンプレート:Math の各成分の複素共軛との積を成分とするものになる。

内積との対比

テンプレート:Math のときは別な仕方で行列の積を施してスカラー（テンプレート:Math 行列）が得られる。つまり、数ベクトル空間の標準内積（点乗積）テンプレート:Math である。内積は外積のトレースに等しい。

行列としての階数

テンプレート:Math がともに非零ならば、外積 テンプレート:Math の行列としての階数は常に テンプレート:Math である。このことを見るにはベクトル テンプレート:Math に掛けて テンプレート:Math とすればよい。これはベクトル テンプレート:Math のスカラー テンプレート:Math-倍に他ならない。

（"行列の階数" をテンソルの階数 ("order" / "degree") と混同してはならない）。

テンソルの外積

テンソルに対する外積はふつうテンソル積と呼ばれる。テンソル テンプレート:Math は階数 テンプレート:Mvar で各次元 テンプレート:Math, テンプレート:Math は階数 テンプレート:Mvar で各次元が テンプレート:Math とすれば、これらの外積 テンプレート:Math は階数 テンプレート:Math で各次元 テンプレート:Math は先に テンプレート:Mvar の次元を並べた後に テンプレート:Mvar の次元を並べたものになる。これを テンプレート:Math を用いた座標に依存しない表記で書き、その成分を添字表記で書けば

$𝒄=𝒂\otimes 𝒃,c_{ij}=a_i{b}_j$

となる。高階テンソルの場合も同様で、例えば

$𝑻=𝒂\otimes 𝒃\otimes 𝒄,T_{ijk}=a_i{b}_j{c}_k$

などと書ける。

例えば テンプレート:Math が三階で各次元が テンプレート:Math, テンプレート:Math が二階で各次元が テンプレート:Math ならば、それらの外積 テンプレート:Math は五階で各次元は テンプレート:Math となる。また例えば テンプレート:Math の成分 テンプレート:Nowrap および テンプレート:Math の成分 テンプレート:Math に対応する外積 テンプレート:Math の成分として テンプレート:Math が決まる。

外積の行列としての定義をテンソル積の言葉で理解するには:

抽象的な定義

ベクトル空間 テンプレート:Math と テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の双対空間とする。 ベクトル テンプレート:Math および テンプレート:Math に対してテンソル積 テンプレート:Math は

$w\mapsto y^{*}(w)x$

で与えられる写像 テンプレート:Math に対応する。ここで テンプレート:Math は線型汎函数 テンプレート:Math（これは テンプレート:Mvar の双対空間の元）をベクトル テンプレート:Math において評価した値である。これはスカラーであり、これを最終的に テンプレート:Mvar の元である テンプレート:Mvar に掛けたものがテンソル積の値である。

ベクトル空間 テンプレート:Math が有限次元ならば、テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への線型変換全体の成す空間 テンプレート:Math は外積で生成される。実は行列の階数は、外積を和として表すために必要な項の最小数（行列のテンソル階数）に一致する。今の場合、テンプレート:Math は テンプレート:Math に線型同型である。

双対性内積との対比

テンプレート:Math のとき、余ベクトル テンプレート:Math とベクトル テンプレート:Math とを写像 テンプレート:Math を通して対にすることができる。これは テンプレート:Mvar とその双対空間との間に定まる双対性を表す内積である。

応用

外積は物理量（例えば慣性テンソルなど）の計算や、デジタル信号処理やデジタル画像処理における変形操作を行うのに有用である。また統計的解析においても、二つの確率変数の共分散および自己共分散行列の計算に有用である。

関連項目

• 線型代数学
• ノルム
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンクテンプレート:Refn

乗法

• 交叉積
• 外積
• デカルト積

双対性

• 複素共軛
• 随伴行列
• 転置行列
• テンプレート:仮リンク