レピュニット

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レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、テンプレート:Lang-en-short) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。この名前は repeated unitを省略した単語であり、アルバート・ベイラーが1964年の論文で命名したテンプレート:Refnest。

10進法における テンプレート:Mvar 桁のレピュニットは Rn=10n−19 の形に表される。テンプレート:Mvar = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (テンプレート:OEIS) のときに、テンプレート:Mvarテンプレート:Mvar は素数となる。2進法における テンプレート:Mvar 桁のレピュニットはメルセンヌ数 (Mn=2n−1) である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数（またはレプユニット素数、テンプレート:Lang-en-short）という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質

m が n を割り切るならば、Rm は Rn を割り切る。よって、n が合成数ならば、Rn は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 だけである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 だけであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a[1])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるので、すべてズッカーマン数である。

Rn は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 30 のときも含む）は全てハーシャッド数である。

nの値と必ず含まれる約数
  • 偶数 - 11
    • 4の倍数 - 11・101
    • 6の倍数 - 3・7・11・13・37
  • 3の倍数 - 3・37
  • 5の倍数 - 41・271
  • 7の倍数 - 239・4649
  • 17の倍数 - 2071723・5363222357
など

901型の例

前述のとおり、R2n は11つまりR2 で割り切れる。同様に、2×n桁のR2n は、n桁のRn で割り切れる。さらに、nが奇数のとき、Rn は11で割り切れないから、R2 と Rn は互いに素となる。よって、R2nは、R2 × Rn で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、n−1 桁の数 9090…91 である。

これらの関係を表にまとめると、次のようになる。

n（奇数） 2 × n R2n R2nの値（2×n桁） R2 × Rn R2 × Rnの値（n+1桁） R2n ÷ R2 ÷ Rnの値（n−1桁） R2n ÷ R2 ÷ Rnの素因数分解
3 6 Rテンプレート:06 111111 ＝ R2 × R3 1221 × 91 7・13
5 10 R10 1111111111 R2 × R5 122221 9091 素数
7 14 R14 11111111111111 R2 × R7 12222221 909091 素数
9 18 R18 111111111111111111 R2 × R9 1222222221 90909091 7・13・19・52579
11 22 R22 1111111111111111111111 R2 × R11 122222222221 9090909091 11・23・4093・8779

n が偶数のときのR2n、その他 についての例は次のとおり。

  • R12 = 11222211 × 9901
  • R20 = 1222210000122221 × 9091
  • R24 = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001
  • R28 = 1222222100000012222221 × 909091
  • R36 = 111111222222222222111111× 999999000001
  • R39 = 123333333333321 × 900900900900990990990991
など

[2][3][4][5]

テンプレート:節スタブ

1と0だけで表す例

n (10n/2 − 1) / 9 [6] 10n/2 + 1
[[11|Rテンプレート:None2]] 1 1 × 11 11
[[1111|Rテンプレート:None4]] 11 11 × 101 101
Rテンプレート:None6 3・37 111 × 1001 7・11・13
Rテンプレート:None8 11・101 1111 × 10001 73・137
R10 41・271 11111 × 100001 11・9091
n
[[11|Rテンプレート:02]] テンプレート:0001 × 11 1 × 11
[[111|Rテンプレート:03]] # テンプレート:0001 × 111
[[1111|Rテンプレート:04]] $ テンプレート:0001 × 1111 11 × 101
Rテンプレート:05 % テンプレート:0001 × 11111
Rテンプレート:06 & テンプレート:0001 × 111111 111 × 1001
# テンプレート:0011 × 10101
Rテンプレート:07 * テンプレート:0001 × 1111111
Rテンプレート:08 $ テンプレート:0011 × 1010101 1111 × 10001
Rテンプレート:09 # テンプレート:0111 × 1001001
R10 % テンプレート:0011 × 101010101 11111 × 100001
R12 & テンプレート:0011 × 10101010101 111111 × 1000001
$ テンプレート:0111 × 1001001001
# 1111 × 100010001
R14 * テンプレート:0011 × 1010101010101 1111111 × 10000001
n
Rテンプレート:06 1 × 111 × 1001 91・11
R12 11 × 10101 × 1000001 9901・101
R18 111 × 1001001 × 1000000001 999001・1001
R24 1111 × 100010001 × 1000000000001 99990001・10001
n
[[1111|Rテンプレート:04]] 11 × 101
Rテンプレート:08 101 × 110011
R12 1001 × 111000111 1221001221 × 91
R16 10001 × 111100001111
R20 100001 × 111110000011111 1222210000122221 × 9091
R24 1000001 × 111111000000111111 1221001221001221001221 × 91

累乗数 − 累乗数

[7]

n Rn×(10n+1)
[8][9][10]
[[11|Rテンプレート:None2]] 62 − 52 62 − 52 62 − 52
[[111|Rテンプレート:None3]] 562 − 552 562 − 552
[[1111|Rテンプレート:None4]] 562 − 452 5562 − 5552
Rテンプレート:None5 55562 − 55552
Rテンプレート:None6 5562 − 4452 555562 − 555552 50562 − 50452 6562 − 5652
Rテンプレート:None7 5555562 − 5555552
Rテンプレート:None8 55562 − 44452 テンプレート:None（省略）
[[111111111|Rテンプレート:None9]] テンプレート:None（省略） 5005562 − 5004452
R10 テンプレート:None（省略） テンプレート:None（省略） 656562 − 565652
R11 テンプレート:None（省略）
R12 テンプレート:None（省略） テンプレート:None（省略） 500055562 − 500044452
R13 テンプレート:None（省略）
R14 テンプレート:None（省略） テンプレート:None（省略） 65656562 − 56565652

レピュニット素数

現在、Rn で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R49081 は、1999年に H. Dubner が確率的素数として発見してから P. Underwood によって素数判定されるまで23年を要した[11]。

2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表し[12]、その後 n≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している[13]テンプレート:リンク切れ。同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した[14]。

2021年4月19日、S. Batalov と R. Propper は n=5794777 を[15]、同年5月8日に n=8177207 を PRP であると発表した[16]。発表時点ではそれぞれが知られている最大の PRP であった。

Rn = (10n − 1) / 9
No. n 年 発見者 素数判定
1 2 BC 460 - ○
2 19 1879-10 - ○
3 23 1933-02-18 - ○
4 317 1978-05-16 Williams ○
5 1031 1986-08-21 Williams, Dubner ○
6 49081 1999-09-09 Dubner ○
7 86453 2000-10-26 Baxter ○
8 109297 2007-03-26 Dubner ○
9 270343 2007-07-11 Voznyy ○
10 5794777 2021-04-19 Batalov, Ryan ○
11 8177207 2021-05-08 Batalov, Ryan ○

(テンプレート:OEIS)

レピュニットの素因数分解

レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている[17]。

基数 10 のレピュニットの R1 から R122 までの素因数分解の一覧を示す[18]。

n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

※ 素因数の数（含重複）

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

一般化

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対して n 桁のレピュニットは Rn(a)=an−1a−1 と定義される。

前述のとおり、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは an−1 の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5(3) = 112, R4(7) = 202, R3(18) = 73 の場合しかない（Bugeaud 1999b[19]）。

Fd(x) を d 次の円分多項式とすると、

Rn(a)=∏d∣n,d>1Fd(a)

と表すことができる。

脚注

テンプレート:脚注ヘルプ

注釈

テンプレート:Reflist

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

関連項目

外部リンク


テンプレート:素数の分類

  1. ↑ テンプレート:Cite journal
  2. ↑ 电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客
  3. ↑ 电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客
  4. ↑ 1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクス
  5. ↑ Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016
  6. ↑ Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.
  7. ↑ World!Of Numbers
  8. ↑ Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem）
  9. ↑ nombre - onze en maths
  10. ↑ persistance et repdigits
  11. ↑ テンプレート:Cite web
  12. ↑ Harvey Dubner, R109297 に関するアナウンス、Number Theory List
  13. ↑ テンプレート:Cite web
  14. ↑ Maksym Voznyy, R270343 に関するアナウンス、Number Theory List
  15. ↑ テンプレート:Cite web
  16. ↑ テンプレート:Cite web
  17. ↑ テンプレート:高校数学の美しい物語
  18. ↑ テンプレート:Cite web
  19. ↑ Yann Bugeaud, On the Diophantine equation axn−1x−1=yq, Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, 2001, pp. 19–24.
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