終結式

テンプレート:Expand English 数学において、終結式（しゅうけつしき、テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Refnestとは、2つの多項式の係数から構成される式である。そうして終結式の値が零になることと2つの多項式が（係数体の分解体上で）共通零点を持つことは同値になる。このことから2つの多項式が共通零点を持つための必要十分条件が元の多項式の係数の多項式として得られる。具体的には、次のようにして定義される：

多項式

テンプレート:Math2

の重複を含めた根を テンプレート:Math2,

テンプレート:Math2

の重複を含めた根を テンプレート:Math2

とするとき、テンプレート:Math2 の終結式 $\mathrm{Res}(f,g)$ を、次の等式のどちらかで定義する：

${a_n}^m{b_m}^n\prod _{i,j}({\alpha }_i-{\beta }_j)=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_n& a_{n-1}& \cdots & \cdots & a_0& & \\ & \ddots & \ddots & & & \ddots & \\ & & a_n& a_{n-1}& \cdots & \cdots & a_0\\ b_m& b_{m-1}& \cdots & b_0& & & \\ & \ddots & \ddots & & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & & \ddots & \\ & & & b_m& b_{m-1}& \cdots & b_0\end{array}\right|$

（対角成分に テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar個、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar個）

右辺はシルヴェスター行列の行列式である。

終結式が テンプレート:Math であることと2つの多項式が共通根を持つことは同値である。

多項式 テンプレート:Mvar の導関数を テンプレート:Mvar で表すと、$\mathrm{Res}(f,f^{\prime })$ は テンプレート:Mvar の判別式に等しい。

終結式は、数論で広く用いられている。有理係数あるいは多項式係数の2つの多項式の終結式はコンピュータで効率的に計算できる。それはテンプレート:仮リンクの基本的なツールであり、たいていの数式処理システムの組み込み関数である。それはとりわけ、テンプレート:仮リンク (CAD), 有理関数の逆微分、二変数代数方程式によって定義された曲線の描画に対して使われる。

2つの定義式が等しいことの証明

多項式

テンプレート:Math2

の重複を含めた根を テンプレート:Math2,

テンプレート:Math2

の重複を含めた根を テンプレート:Math2

とするとき、次の等式が成り立つ：

${a_n}^m{b_m}^n\prod _{i,j}({\alpha }_i-{\beta }_j)=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_n& a_{n-1}& \cdots & \cdots & a_0& & \\ & \ddots & \ddots & & & \ddots & \\ & & a_n& a_{n-1}& \cdots & \cdots & a_0\\ b_m& b_{m-1}& \cdots & b_0& & & \\ & \ddots & \ddots & & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & & \ddots & \\ & & & b_m& b_{m-1}& \cdots & b_0\end{array}\right|$

（対角成分に テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar個、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar個）

ここでは、文献に掲載されている方法により証明する。

（証明）

$A:=\left[\begin{array}{ccccccc}{a}_n& a_{n-1}& \cdots & \cdots & a_0& & \\ & \ddots & \ddots & & & \ddots & \\ & & a_n& a_{n-1}& \cdots & \cdots & a_0\\ b_m& b_{m-1}& \cdots & b_0& & & \\ & \ddots & \ddots & & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & & \ddots & \\ & & & b_m& b_{m-1}& \cdots & b_0\end{array}\right]$

とおく。テンプレート:Mvar の第テンプレート:Math～テンプレート:Mvar行を テンプレート:Mvar で、第テンプレート:Math～テンプレート:Math行を テンプレート:Mvar で割ると、根と係数の関係より、成分は、テンプレート:Math か テンプレート:Math か、テンプレート:Math2 または テンプレート:Math2 の基本対称式になる。

故に $\frac{1}{{a_n}^m{b_m}^n}|A|$ は、テンプレート:Math2 の多項式である。

テンプレート:Math2 の時を考える。テンプレート:Math2 とし、

$𝒙:={}^t({\lambda }^{n+m-1},\cdots ,\lambda ,1)$  （テンプレート:Mvar は転置を表す）

とおく。$\sum _{i=0}^n{a}_i{\lambda }^i=\sum _{j=0}^m{b}_j{\lambda }^j=0$ より、

$A𝒙=𝒐$  （$𝒐$ は零ベクトル）

$𝒙\ne 𝒐$ より、この斉次連立方程式には非自明な解が存在するから、係数行列は非正則である：

$|A|=0$

$\frac{1}{{a_n}^m{b_m}^n}|A|$ は、テンプレート:Math2 のとき多項式として テンプレート:Math になるから、因数定理より、テンプレート:Math を因数に持つ：

$\frac{1}{{a_n}^m{b_m}^n}|A|=c\prod _{i,j}({\alpha }_i-{\beta }_j)$

両辺の テンプレート:Math の係数を比較すると、テンプレート:Math

$\therefore |A|={a_n}^m{b_m}^n\prod _{i,j}({\alpha }_i-{\beta }_j)◼$

係数環が整域の場合

整域テンプレート:Mvar が体 テンプレート:Mvar に含まれるとし、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 次、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 次 の テンプレート:Mvar 係数多項式とする：

$f(x)=f_n{x}^n+f_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +f_{1}x+f_0$,

$g(x)=g_m{x}^m+g_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots g_{1}x+g_0$

テンプレート:Math2 は テンプレート:Mvar の代数的閉包上で

$f=f_m\prod _{i=1}^n(x-{\alpha }_i)$

$g=g_n\prod _{j=1}^m(x-{\beta }_j)$

と因数分解され、終結式 $\mathrm{Res}(f,g)$ が定義できる。

参考文献

• テンプレート:Citation
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• Siegfried Bosch: Algebra. 7., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, テンプレート:Doi.

関連項目

• 交点数 (代数幾何学)
• 判別式
• 重根

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath

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