角運動量

テンプレート:出典の明記 テンプレート:物理量 テンプレート:Physics navigation 角運動量（かくうんどうりょう、テンプレート:Lang-en）とは、運動量のモーメントを表す力学の概念である。

定義

位置 r において、運動量 p を持つ質点の原点まわりの角運動量 L は テンプレート:Indent で定義される。 ここで、× は外積である。 従って、角運動量の大きさ テンプレート:Mvar は テンプレート:Indent と表される。ここで、θ は r と p のなす角を、テンプレート:Mvar はそれぞれ r, p の大きさを表す。

質点が質量 テンプレート:Mvar、速度 v のとき、運動量は テンプレート:Math であり、角運動量は テンプレート:Indent となる。

また、角速度が ω のとき、角運動量は テンプレート:Indent と表すことができる。ここで テンプレート:Mvar は慣性テンソルである。

座標原点の移動

角運動量は、その定義から座標原点の選択に依存する。原点を位置 a へ移動した座標系を考える。新たな座標系における量を ' を付けて表すものとすれば、r' = r − a, p' = p であり テンプレート:Indent となる. テンプレート:See also

運動方程式

質点の角運動量の時間変化は テンプレート:Indent となる。ここで、ニュートンの運動方程式 テンプレート:Math を用いれば、第一項は力のモーメント テンプレート:Math となる。また、第二項は テンプレート:Math となる。したがって、角運動量はニュートンの運動方程式と同様なオイラーの運動方程式 テンプレート:Indent を満たす。

力のモーメントはその定義から座標原点の選択に依存する。しかし、座標原点の移動による力のモーメントの変化と角運動量の変化が相殺され、運動方程式は常に成り立つ。

角運動量の保存

テンプレート:Main 力のモーメントが 0 であるとき、角運動量は時間とともに変化せず一定となる。このことを角運動量保存の法則（角運動量の保存則）という。力のモーメントが 0 となるのは、力が 0 であるか、力が位置ベクトルと平行であるときである。

力が作用していないときは等速直線運動となる。等速直線運動においては運動量と角運動量はともに保存する。これに対し等速円運動においては、運動量の大きさは一定であるが向きが時間により変化するため運動量は保存せず、角運動量のみが保存する。

力が位置ベクトルと平行であるときは テンプレート:Indent と表すことができる。この形の力は中心力と呼ばれる。

質点系の角運動量

角運動量は加法的な量であり、系の全角運動量は、部分の角運動量の和であらわされる。質点系の全角運動量 L は、質点 テンプレート:Mvar の角運動量を l_{テンプレート:Mvar} とすれば

$𝑳=\sum _i{𝒍}_i=\sum _i{𝒓}_i\times {𝒑}_i$

である。質量中心 r_g に全質量 テンプレート:Mvar があると考えたときの角運動量は

${𝑳}_{\mathrm{g}}=M{𝒓}_{\mathrm{g}}\times \frac{d{𝒓}_{\mathrm{g}}}{dt}$

となる。全角運動量と L_g の差は、質量中心からみた相対運動の角運動量とみなすことができる。

${𝑳}_{\mathrm{r}}=𝑳-{𝑳}_{\mathrm{g}}$

質点 テンプレート:Mvar の角運動量の時間変化は、質点 テンプレート:Mvar に作用する力のモーメント テンプレート:Math に等しく テンプレート:Indent を満たす。ここで質点 テンプレート:Mvar に作用する力 F_{テンプレート:Mvar} を、外力 f_{テンプレート:Mvar} と、質点 テンプレート:Mvar が及ぼす内部相互作用 f_{テンプレート:Mvar} に分ると、力のモーメントは テンプレート:Indent と表される。全角運動量の時間変化を考えると テンプレート:Indent となる。運動の第3法則から f_{テンプレート:Mvar} = −f_{テンプレート:Mvar} なので、内力のモーメントの和は テンプレート:Indent と変形できる。

ここで、内力が中心力であるならば、内力 f_{テンプレート:Mvar} は質点 テンプレート:Mvar の質点 テンプレート:Mvar から見た相対位置 r_{テンプレート:Mvar} − r_{テンプレート:Mvar} と平行で、内力のモーメントの和は 0 となる。 このとき テンプレート:Indent となり、質点系の全角運動量の時間変化は作用する外力のモーメントの総和と等しくなる。 テンプレート:-

回転運動と角運動量

固定された回転軸をもつ系に対して、力を作用させた時の物理量の関係。力のモーメント τ と、位置 r と力 F との関係（上の式）、および角運動量 L と位置 r と運動量 p との関係（下の式）。

角運動量は回転運動と深く関係している物理量である。ただし、角運動量自体は回転運動をしていなくとも定義される物理量である。

惑星間に働く万有引力は中心力であり、したがって、惑星の角運動量は保存される。保存則は、ケプラーの第2法則の「面積速度一定」と密接な関わりがある。 時刻 テンプレート:Mvar における位置ベクトル r(テンプレート:Mvar) と、微小な時間 テンプレート:Mvar が経った後の位置ベクトル r(テンプレート:Mvar + テンプレート:Mvar) が作る微小な三角形の面積は テンプレート:Indent である。 従って、面積速度は テンプレート:Indent となり、面積速度が一定ならば、角運動量も一定となる。

角速度

角速度 ω は テンプレート:Indent と表される。従って、質点の慣性モーメントは テンプレート:Indent となる。

原点を中心とした円運動をしている質点の速度 v は次のように表される。 テンプレート:Indent

量子力学での角運動量

量子力学では、角運動量は以下の交換関係を満たす演算子 $\widehat{𝑱}$ として定義される。 テンプレート:Indent あるいは、3つの式をまとめて テンプレート:Indent ${ϵ}_{ijk}$ は完全反対称テンソルである。これらの交換関係は角運動量代数と呼ばれる。

この角運動量の性質を調べると、 テンプレート:Indent の二つの部分に分けられ、それぞれが角運動量代数を満たす。 テンプレート:Indent

軌道角運動量 $\widehat{𝑳}$ は、 $\widehat{𝑳}=\widehat{𝒓}\times \widehat{𝒑}$ のように位置と運動量の外積で表すことができ、その固有値が整数のみに限られる。テンプレート:Main

スピン角運動量 $\widehat{𝑺}$ は、位置と運動量では表現することができず、その固有値が整数に加えて半整数も許される。テンプレート:Main

特殊相対性理論での角運動量

特殊相対性理論においては二階テンソル$L^{\mu \nu }$として定義される。 テンプレート:Indent ここで，四元位置$x^{\mu }$，四元運動量$p^{\mu }$，および質量モーメント$𝑵$は次式で定義される。

$\begin{array}{cc}(x^{\mu })& =(x,y,z,ct),\\ (p^{\mu })& =(p_x,p_y,p_z,E/c),\\ 𝑵& =m(𝒓-𝒗t)\end{array}$

対称性との関係

角運動量は空間の等方性（回転対称性）に対応する保存量である。空間の一様性（併進対称性）に対応する保存量である運動量、時間の一様性に対応する保存量であるエネルギーとともに、基本的な物理量である。それぞれ「角運動量保存の法則」、「運動量保存の法則」、「エネルギー保存の法則」に関連づけられる。 テンプレート:See also

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• 角運動量保存の法則
• 力のモーメント
• トルク（回転軸の周りの力のモーメント）
• ジャイロスコープ