局所可積分函数

数学において局所可積分函数（きょくしょかせきぶんかんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、その定義域に含まれる任意のコンパクト部分集合上で可積分（したがって積分が有限）であるような函数のことを言う。しばしば局所総和可能函数（locally summable function）とも呼ばれる。そのような函数は、Lp空間と似ているがその元の無限大での振舞いについて制限を要さないような函数空間に属するという点において、重要となる。言い換えると、局所可積分函数は、無限大において任意に早く増大することも許されるが、通常の可積分函数とある意味似た方法によって依然として扱うことが出来るものとなっている。

定義

通常の定義

テンプレート:EquationRef. テンプレート:Math をユークリッド空間 テンプレート:Math 内のある開集合とし、テンプレート:Math をルベーグ可測函数とする。テンプレート:Math 上の テンプレート:Math が次を満たすとき、局所可積分と呼ばれる。

$\underset{K}{\int }|f|\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }.$

ただし テンプレート:Math は テンプレート:Math の任意のコンパクト部分集合であり、したがって テンプレート:Math はそのような全てのコンパクト集合上で有限となる。そのような函数の集合は テンプレート:Math と記述される：

$L_{1,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}(\mathrm{\Omega })=\{f:\mathrm{\Omega }\to ℂ\text{ measurable}|f{|}_K\in L_1(K)\mathrm{\forall }K\subset \mathrm{\Omega },K\text{ compact}\}.$

ここで テンプレート:Math は テンプレート:Math の集合 テンプレート:Math への制限である。局所可積分函数の古典的な定義は測度論的および位相空間論的な概念のみを含むものであり、ある位相的な測度空間 テンプレート:Math 上の複素数値函数へと抽象的に拡張されるものであった。しかし、そのような函数の最も基本的な応用はユークリッド空間上の超函数に対するものであったので、以下の定義および節ではその重要な場合について明らかな形で扱う。

代替的な定義

テンプレート:EquationRef. テンプレート:Math をユークリッド空間 テンプレート:Math 内のある開集合とする。このとき、各テスト函数 テンプレート:Math に対して

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f\phi |\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }$

を満たす函数 テンプレート:Math は、局所可積分と呼ばれる。またそのような函数の集合は テンプレート:Math と記述される。ここで テンプレート:Math は、テンプレート:Math に含まれるコンパクトな台を持つすべての無限回微分可能な函数 テンプレート:Math の集合を表す。

この定義の由来は、ニコラ・ブルバキとその学派によって発展された、ある位相ベクトル空間上の連続線型汎函数の概念に基づく測度と積分の理論にある。またこの定義は、テンプレート:Harvtxt や テンプレート:Harvtxt によって用いられた。この「超函数理論的な」定義は、前述の通常の定義と同値である。実際、次の補題が成立する。

テンプレート:EquationRef. 与えられた函数 テンプレート:Math が定義 1 の意味で局所可積分であることと、定義 2 の意味で局所可積分であることは同値である。すなわち、次が成り立つ。

$\underset{K}{\int }|f|\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }K\subset \mathrm{\Omega },K\text{ compact}⟺\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f\phi |\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }\phi \in C_{\mathrm{c}}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }).$

一般化：局所 p-可積分函数

テンプレート:EquationRef. テンプレート:Math をユークリッド空間 ℝⁿ 内のある開集合とし、テンプレート:Mathℂ をあるルベーグ可測函数とする。テンプレート:Math を満たす与えられた テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math が

$\underset{K}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}x<+\mathrm{\infty }$

を満たすなら、テンプレート:Math は局所 テンプレート:Math-可積分あるいは テンプレート:Math-局所可積分と呼ばれる。ただしこの条件は、テンプレート:Math が テンプレート:Math 内のすべてのコンパクト部分集合 テンプレート:Math に対して[[Lp空間|テンプレート:Math]]に属することを意味する。そのようなすべての函数の集合は テンプレート:Math と記述される：

$L_{p,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}(\mathrm{\Omega })=\{f:\mathrm{\Omega }\to ℂ\text{ measurable }|f\in L_p(K),\mathrm{\forall }K\subset \mathrm{\Omega },K\text{ compact}\}.$

前述の場合と同様に、代替的な定義も与えられ、それらは同値であることが示される。それらは高い一般性を備えるものであるように見えるが、局所 テンプレート:Math-可積分函数は テンプレート:Math を満たすすべての テンプレート:Math に対して局所可積分函数の部分集合を形成する。

記法

局所可積分函数の集合の記法には、大文字 L の字体の差の他に、次のようないくつかの異なるものが存在する。

• $L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^p(\mathrm{\Omega })$ は テンプレート:Harv、テンプレート:Harv や テンプレート:Harv で用いられている。
• $L_{p,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}(\mathrm{\Omega })$ は テンプレート:Harv や　テンプレート:Harvtxt で用いられている。
• $L_p(\mathrm{\Omega },\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c})$ は テンプレート:Harv や テンプレート:Harv で用いられている。

性質

すべての p ≥ 1 に対して L_p,loc は完備距離空間

テンプレート:EquationRef テンプレート:Math は完備距離化可能空間である。すなわち、その位相は次の計量によって生成される：

$d(u,v)=\sum _{k\ge 1}\frac{1}{2^k}\frac{\Vert u-v{\Vert }_{p,{\omega }_k}}{1+\Vert u-v{\Vert }_{p,{\omega }_k}}u,v\in L_{p,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}(\mathrm{\Omega }).$

ここで テンプレート:Math は、次の性質を満たす空でない開集合の族である。

• テンプレート:Math。すなわち テンプレート:Math は テンプレート:Math に厳密に含まれている。このことは、コンパクトな閉包を持つ集合が高次の集合に厳密に含まれていることを意味する。
• テンプレート:Math.
• $\Vert \cdot {\Vert }_{p,{\omega }_k}\to {ℝ}^{+}$, k ∈ ℕ は、次で定義される半ノルムの添え字付きの族である：

$\Vert u{\Vert }_{p,{\omega }_k}=\underset{{\omega }_k}{\int }|u{|}^p\mathrm{d}x\mathrm{\forall }u\in L_{p,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}(\mathrm{\Omega }).$

参考文献 テンプレート:Harv、 テンプレート:Harv、テンプレート:Harv および テンプレート:Harv において、この定理は述べられているが形式的な証明は与えられていない。より一般の結果に対する完全な証明は、テンプレート:Harv に見られる。

すべての p ≥ 1 に対して L_p は L_1,loc の部分空間

テンプレート:EquationRef テンプレート:Math を ℝⁿ の開部分集合とする。テンプレート:Math, テンプレート:Math に属するすべての函数 テンプレート:Math は局所可積分である。

証明 テンプレート:Math の場合は自明であるので省略し、以下では テンプレート:Math を仮定して証明を続ける。テンプレート:Math のあるコンパクトな部分集合 テンプレート:Math に対し、その特性函数 テンプレート:Math を考える。このとき、テンプレート:Math に対して

${\left|\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|{\chi }_K{|}^q\mathrm{d}x\right|}^{1/q}={\left|\underset{K}{\int }\mathrm{d}x\right|}^{1/q}=|\mu (K){|}^{1/q}<+\mathrm{\infty }$

が成立する。ただし

• テンプレート:Math は、与えられた テンプレート:Math に対して テンプレート:Math = テンプレート:Math を満たすようなある正の数である。
• テンプレート:Math はコンパクト集合 テンプレート:Math のルベーグ測度である。

このときヘルダーの不等式より、積 テンプレート:Math は可積分である。すなわち、テンプレート:Math に属すとともに、次を満たす。

$\underset{K}{\int }|f|\mathrm{d}x=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f{\chi }_K|\mathrm{d}x\le {\left|\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}x\right|}^{1/p}{\left|\underset{K}{\int }\mathrm{d}x\right|}^{1/q}=\Vert f{\Vert }_p|\mu (K){|}^{1/q}<+\mathrm{\infty }.$

したがって

$f\in L_{1,\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}(\mathrm{\Omega })$

である。ここで、不等式

$\underset{K}{\int }|f|\mathrm{d}x=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f{\chi }_K|\mathrm{d}x\le {\left|\underset{K}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}x\right|}^{1/p}{\left|\underset{K}{\int }\mathrm{d}x\right|}^{1/q}=\Vert f{\Vert }_p|\mu (K){|}^{1/q}<+\mathrm{\infty }$

が成立するため、定理は局所 テンプレート:Math-可積分函数の空間にのみ属する函数 テンプレート:Math に対しても成立することに注意されたい。したがって、定理は次の結果を意味する。

テンプレート:EquationRef テンプレート:Math, テンプレート:Math 内のすべての函数 テンプレート:Math は局所可積分である。すなわち、テンプレート:Math に属する。

L_1,loc は絶対連続測度の密度函数の空間

テンプレート:EquationRef 函数 テンプレート:Math が絶対連続測度の密度函数であるための必要十分条件は、テンプレート:Math であることである。

この結果の証明は テンプレート:Harv に見られる。内容を解釈し直すと、この定理ではすべての局所可積分函数はある絶対連続測度を定義し、逆にすべての絶対連続測度はある局所可積分函数を定義することが主張されている。これはまた、抽象的測度論の枠組みにおいて、Stanisław Saks の学術論文で与えられた重要なラドン＝ニコディムの定理として現れる。

例

• 実軸上で定義される定数函数 テンプレート:Math は局所可積分であるが、大域的には可積分ではない。より一般に、定数、連続函数および可積分函数は局所可積分である。
• 函数

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1/x& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$

は テンプレート:Math において局所可積分でない。実際、その点を含まない任意のコンパクト集合上での積分は有限であるので、その点の近くでは局所可積分である。形式的に表すと、テンプレート:Math(ℝ\0) ということになる。しかし、この函数はコーシーの主値として ℝ 全体上での超函数に拡張することが出来る。

• 上記の例より次の疑問が生じる：テンプレート:Math ⊊ ℝ 内で局所可積分であるようなすべての函数は、超函数として ℝ 全体へと拡張することが出来るか？この問の答えはノーであり、実際その反例として次の函数が考えられる：

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{1/x}& x\ne 0\\ 0& x=0.\end{array}$

この函数は ℝ 上のどのような超函数も定義しない。

• 次の例も上述のものと同様に、テンプレート:仮リンクを伴う微分作用素への超函数の理論の応用に現れる初等的な反例であるような テンプレート:Math(ℝ\0) に属する函数である：

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{k}_1{e}^{1/x^2}& x>0\\ 0& x=0\\ k_2{e}^{1/x^2}& x<0\end{array}.$

ここで テンプレート:Math と テンプレート:Math は複素定数で、次の初等的な一階の非フックス型微分方程式の一般解である。

$x^3\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}+2f=0.$

テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math がゼロでないなら、その函数はふたたび ℝ 全体上でのどのような超函数も定義しない。したがってそのような方程式における唯一つの超函数的な大域解はゼロである。このことは微分方程式の一分野において超函数理論的な手法は、特に定数係数の線型微分方程式の理論のような他の一分野と同じように上手く働くものとは限らないことを意味する。

応用

局所可積分函数は超函数の理論において主要な役割を果たすとともに、有界変動函数のような様々な函数や函数空間のクラスの定義に現れる。さらに局所可積分函数は、全ての測度の絶対連続な部分を特徴付けることによって、ラドン＝ニコディムの定理にも現れる。

関連項目

• コンパクト集合
• 超函数
• ルベーグの密度定理
• ルベーグの微分定理
• ルベーグ積分
• Lp空間

参考文献

• テンプレート:Citation. Measure and integration (as the English translation of the title reads) is a definitive monograph on integration and measure theory: the treatment of the limiting behavior of the integral of various kind of en:sequences of measure-related structures (measurable functions, en:measurable sets, measures and their combinations) is somewhat conclusive.
• テンプレート:Citation. Translated from the original 1958 Russian edition by Eugene Saletan, this is an important monograph on the theory of en:generalized functions, dealing both with distributions and analytic functionals.
• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation (available also as ISBN 3-540-52343-X).
• テンプレート:Citation (available also as ISBN 0-387-13589-8).
• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation. English translation by en:Laurence Chisholm Young, with two additional notes by en:Stefan Banach: the en:Mathematical Reviews number refers to the en:Dover Publications 1964 edition, which is basically a reprint.
• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation.
• テンプレート:Citation. A monograph on the theory of en:generalized functions written with an eye towards their applications to en:several complex variables and en:mathematical physics, as is customary for the Author.

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:SpringerEOM