有限単純群の分類

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テンプレート:Expand English テンプレート:Groups 有限単純群の分類 (テンプレート:En) とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。 これらの群は、全ての有限群を構成する基本的な要素として見ることが出来る。

この分類定理の証明は、主に1955年から2004年にわたり出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上もの成果の集大成である。ダニエル・ゴーレンシュタイン (d.1992) とテンプレート:仮リンク、テンプレート:仮リンクらは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。テンプレート:Sfn (有限単純群の分類問題のあらすじ解説 [1])

分類定理の主張

テンプレート:Main テンプレート:Math theorem

分類定理は数学の多くの分野において応用がある。 有限群（また他の数学的対象に対するそれらの作用）の構造についての疑問は、有限単純群のそれへと簡約することが出来る。 分類定理のお陰で、そのような疑問は単純群や散在群の族をチェックすることで答えることが出来る。

1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。 しかしこれはテンプレート:仮リンクの分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。 欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、 分類定理の証明の完成が テンプレート:Harvtxt によりアナウンスされた。

有限単純群の一覧

以下の表において、nは自然数、pは素数、qは素数の冪を意味する。

クラス 表記 位数 例外 重複
素数位数の巡回群 Cp, Zp p テンプレート:N/a テンプレート:N/a
交代群 An
(n > 4) 		n!2 テンプレート:N/a テンプレート:Unbulleted list
リー型の群
クラス 表記 位数 例外 重複
古典的シュヴァレー群 An(q) q12n(n+1)(n+1,q−1)∏i=1n(qi+1−1) A1(2)[注釈 1], A1(3)[注釈 2] テンプレート:Unbulleted list
Bn(q)
(n > 1) 		qn2(2,q−1)∏i=1n(q2i−1) B2(2)[注釈 3] テンプレート:Unbulleted list
Cn(q)
(n > 2) 		qn2(2,q−1)∏i=1n(q2i−1) テンプレート:N/a Cn(2m) ≃ Bn(2m)
Dn(q)
(n > 3) 		qn(n−1)(qn−1)(4,qn−1)∏i=1n−1(q2i−1) テンプレート:N/a テンプレート:N/a
例外的シュヴァレー群 E6(q) q36(3,q−1)∏i∈{2,5,6,8,9,12}(qi−1) テンプレート:N/a テンプレート:N/a
E7(q) q63(2,q−1)∏i∈{2,6,8,10,12,14,18}(qi−1) テンプレート:N/a テンプレート:N/a
E8(q) q120∏i∈{2,8,12,14,18,20,24,30}(qi−1) テンプレート:N/a テンプレート:N/a
F4(q) q24∏i∈{2,6,8,12}(qi−1) テンプレート:N/a テンプレート:N/a
G2(q) q6∏i∈{2,6}(qi−1) G2(2)[注釈 4] テンプレート:N/a
古典的スタインバーグ群 2An(q2)
(n > 1) 		q12n(n+1)(n+1,q+1)∏i=1n(qi+1−(−1)i+1) 2A2(22)[注釈 5] 2A3(22) ≃ B2(3)
2Dn(q2)
(n > 3) 		qn(n−1)(4,qn+1)(qn+1)∏i=1n−1(q2i−1) テンプレート:N/a テンプレート:N/a
例外的スタインバーグ群 2E6(q2) q36(3,q+1)∏i∈{2,5,6,8,9,12}(qi−(−1)i) テンプレート:N/a テンプレート:N/a
3D4(q3) q12(q8+q4+1)(q6−1)(q2−1) テンプレート:N/a テンプレート:N/a
鈴木群 2B2(q)
q = 22n + 1
n≥ 1 		q2(q2+1)(q−1) テンプレート:N/a テンプレート:N/a
リー群 2F4(q)
q = 22n + 1
n≥ 1 		q12(q6+1)(q4−1)(q3+1)(q−1) 2F4(2)[注釈 6] テンプレート:N/a
2G2(q)
q = 32n + 1
n≥ 1 		q3(q3+1)(q−1) テンプレート:N/a テンプレート:N/a
ティッツ群[注釈 7] 2F4(2)' 212(26 + 1)(24 − 1)(23 + 1)(2 − 1)/2 = テンプレート:Val
散在型の群
クラス 表記 位数
マシュー群 M11 テンプレート:Val
M12 テンプレート:Val
M22 テンプレート:Val
M23 テンプレート:Val
M24 テンプレート:Val
ヤンコ群 J1 テンプレート:Val
J2 テンプレート:Val
J3 テンプレート:Val
J4 テンプレート:Val
コンウェイ群 Co3 テンプレート:Val
Co2 テンプレート:Val
Co1 テンプレート:Val
フィッシャー群 Fi22 テンプレート:Val
Fi23 テンプレート:Val
Fi24' テンプレート:Val
ヒグマン＝シムズ群 HS テンプレート:Val
マクラハラン群 McL テンプレート:Val
ヘルド群 He テンプレート:Val
ルドヴァリス群 Ru テンプレート:Val
散在型鈴木群 Suz テンプレート:Val
オナン群 O'N テンプレート:Val
原田＝ノートン群 HN テンプレート:Val
ライオンズ群 Ly テンプレート:Val
トンプソン群 Th テンプレート:Val
ベビーモンスター群 B テンプレート:Val
モンスター群

（フィッシャー＝グリース・モンスター群）

M テンプレート:Val

位数の小さな非可換有限単純群の一覧

位数の小さなものから20個を以下に列挙する。[2]

群 位数
A5 60
A1(7) 168
A6 360
A1(8) 504
A1(11) 660
A1(13) 1092
A1(17) 2448
A7 2520
A1(19) 3420
A1(16) 4080
A2(3) 5616
2A2(9) 6048
A1(23) 6072
A1(25) 7800
M11 7920
A1(27) 9828
A1(29) 12180
A1(31) 14880
A8 20160
A2(4)

分類定理の概観

テンプレート:Harvs は2巻からなる証明の低テンプレート:仮リンクおよび奇数標数パートの要点を著し、 テンプレート:Harvs は残る標数2のケースを補う第3巻を著した。 この証明は以下の幾つかの主要な部分へと分けることが出来る:

小さな階数2の群

テンプレート:節stub

成分型の群

テンプレート:節stub

標数2型の群

テンプレート:節stub

単純群の存在と一意性

テンプレート:節stub

証明の歴史

ゴーレンシュタインの問題

テンプレート:節stub

証明のタイムライン

以下のリストは多くが テンプレート:Harvtxt より取られている。 年は一般に結果の完全な証明が成された出版日とする。[注釈 8]

出版年
1832 ガロアが正規部分群を導入し、テンプレート:Math と テンプレート:Math が単純群であることを発見する。
1854 ケイリーが抽象群を定義する。
1861 テンプレート:仮リンクが最初の2つのテンプレート:仮リンク テンプレート:Math と テンプレート:Math を発見し、また テンプレート:Math の存在も報告している。
1870 ジョルダンが幾つかの単純群を列挙した: 交代・射影特殊線型群。そして単純群の重要さを強調した。
1872 シローがシローの定理を証明した。
1873 マシューが更に3つのマシュー群 テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math を導入した。
1892 オットー・ヘルダーが、任意の非可換有限単純群の位数が少なくとも4つの（互いに異なるとは限らない）素数の積となることを証明した。また有限単純群の分類について問うた。
1893 コールが位数660までの単純群を分類する。
1896 フロベニウスとバーンサイドが有限群の指標理論の研究を開始した。
1899 バーンサイドが、全ての対合の中心化群が非自明な基本アーベル2-群であるような単純群の分類を行った。
1901 フロベニウスが、テンプレート:仮リンクがフロベニウス核を持ち、それ故に単純群でないことを証明した。
1901 ディクソンが、任意の有限体上のテンプレート:仮リンクおよび、標数が奇数の体上のテンプレート:Math型の例外群を定義した。
1901 ディクソンが テンプレート:Math 型の例外有限単純群を導入した。
1904 バーンサイドが指標理論を用いて、非可換な有限単純群の位数は少なくとも3つの異なる素数によって割り切れるというバーンサイドの定理を証明した。
1905 ディクソンが偶数標数の体上のテンプレート:Math型の単純群を導入した。
1911 バーンサイドが全ての非可換有限単純群は偶数の位数を持つのではないかと推測した。
1928 テンプレート:仮リンクが、可解群のホール部分群の存在を証明した。
1933 ホールが[[p-群|テンプレート:Mvar-群]]の研究を開始した。
1935 テンプレート:仮リンクがモジュラー指標の研究を開始した。
1936 テンプレート:仮リンクが有限強3重可移置換群を分類した。
1938 テンプレート:仮リンクがフィッティング部分群を導入し、可解群において、フィッティング部分群がその中心化群を含んでいるというフィッティングの定理の証明を行った。
1942 ブラウアーがある素数の1乗でちょうど割り切れる群のモジュラー指標を記述した。
1954 ブラウアーが テンプレート:Math を対合の中心化群としてもつ単純群を分類した。
1955 テンプレート:仮リンクが与えられた対合の中心化群を持つ有限単純群は有限個であることを示し、このことから対合の中心化群を用いて群の分類を進められることが提案される。
1955 シュヴァレーがテンプレート:仮リンクを導入し、テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math 型の例外単純群を与えた。
1956 テンプレート:仮リンク
1957 鈴木通夫が、奇数位数の全ての有限単純テンプレート:仮リンクは巡回的であることを示した。
1958 テンプレート:仮リンクがランク1の射影特殊線型群を特徴付け、単純CA群の分類を行う。
1959 テンプレート:仮リンクがテンプレート:仮リンクを導入し、テンプレート:Math, テンプレート:Math 型の新しい有限単純群を与えた（後者はジャック・ティッツによっても独立に発見されている）。
1959 ブラウアー・鈴木の定理により、特に一般四元数群をシロー2部分群にもつ群は単純ではないことが示された。
1960 トンプソンが、素数位数の固定点のない自己同型をもつ群が巾零であることを証明した。
1960 テンプレート:仮リンクとホールとトンプソンが、全ての奇数位数の有限単純テンプレート:仮リンクが巡回的であることを示した。
1960 鈴木がテンプレート:仮リンクを導入した、これは テンプレート:Math 型を持つ。
1961 テンプレート:仮リンクがテンプレート:仮リンクを導入した、これは テンプレート:Math, テンプレート:Math 型を持つ。
1963 ファイトとトンプソンがテンプレート:仮リンクを証明した。
1964 ティッツがリー型の群についてBN対を導入し、テンプレート:仮リンクを発見した。
1965 テンプレート:仮リンクにより2面体シロー2部分群をもつ群が分類される。
1966 テンプレート:仮リンクがテンプレート:仮リンクを証明する。
1966 テンプレート:仮リンクがテンプレート:仮リンクを導入する。これは20世紀になって初めての新しい散在型単純群の発見であった。
1968 グラウバーマンがテンプレート:仮リンクを証明する。
1968 テンプレート:仮リンクとテンプレート:仮リンクがテンプレート:仮リンクを導入する。
1968 コンウェイがテンプレート:仮リンクを導入する。
1969 テンプレート:仮リンクにより、可換シロー2部分群をもつ群が分類される。
1969 テンプレート:仮リンク・テンプレート:仮リンク・テンプレート:仮リンク・テンプレート:仮リンク・テンプレート:仮リンクが導入された。
1969 ゴーレンシュタインがトンプソンのアイディアに基づき、テンプレート:仮リンクを導入する。
1970 MacWilliams が、ランク3の正規可換部分群をもつ2群は多くとも4つの sectional 2ランクを持つことを示した。（後者の条件を満たすシロー部分群をもつ単純群は、後にゴーレンシュタインと原田耕一郎により分類される）
1970 テンプレート:仮リンクがテンプレート:仮リンクを導入する。
1970 テンプレート:仮リンクにより、準2面体や wreathed なシロー2部分群をもつ群が分類される。これにより、最大でもランク2の単純群の分類が完成する。
1971 テンプレート:仮リンクがテンプレート:仮リンクを導入する。
1971 トンプソンがテンプレート:仮リンクを導入する。
1971 ベンダーがテンプレート:仮リンクをもつ群を分類する。
1972 ゴーレンシュタインが有限単純群を分類するための16ステップのプログラムを提案する。最終的に得られた分類も、このアウトラインにとてもよく沿っている。
1972 テンプレート:仮リンクがテンプレート:仮リンクを導入する。
1973 テンプレート:仮リンクがテンプレート:仮リンクを導入する。
1973 フィッシャーがテンプレート:仮リンクを発見する（未出版）。これはフィッシャーとテンプレート:仮リンクがモンスター群を発見するために用いたものである。またモンスター群は、トンプソンをテンプレート:仮リンクへと、そしてテンプレート:仮リンクをテンプレート:仮リンクへと（ただしこれは原田により異なる手法で既に発見されていた）導いた。
1974 トンプソンがテンプレート:仮リンク（可解な局所部分群をもつ群）を分類する。
1974 テンプレート:仮リンクにより、sectional 2-rank at most 4 の単純群が分類された。その結果、残る有限単純群は成分型か指標2型の群へと分類される。
1974 ティッツが、最低でもランク3のBN対をもつ群がリー型の群であることを示す。
1974 アシュバッハーが テンプレート:En をもつ群を分類した。
1975 ゴーレンシュタインとウォルターが L-balance theorem を証明する。
1976 グラウバーマンが可解な信号関手定理を証明する。
1976 アシュバッハーが テンプレート:En を証明する。これは大ざっぱに言うと、幾つかの条件を満たす奇数型の群が標準形において成分を持つと言うことを示している。標準形の成分をもつ群は、多くの著者による論文の巨大なコレクションにおいて分類が成されている。
1976 テンプレート:仮リンクがテンプレート:仮リンクを導入する。
1976 ヤンコがテンプレート:仮リンクを導入する。これが最後に発見された散在型単純群である。
1977 アシュバッハーが奇数標数をもつリー型の群を、彼のテンプレート:仮リンクを基に特徴付ける。単純群の「ほとんど」を扱うこの定理により、分類の終わりが間近に迫ってきたと広く感じられるようになった。
1978 Timmesfeldが テンプレート:Math extra-special 定理を証明した。このことで、テンプレート:仮リンクの分類が、幾つかの小さな問題へと分割された。
1978 アシュバッハーがテンプレート:仮リンク、すなわち偶数標数の体上のリー型のランク1の群を分類した。
1981 ボンビエリがテンプレート:仮リンクを用いて李群の特徴付けにおけるトンプソンの仕事を完成させた。これは分類における最も困難なステップの一つであった。
1982 Patrick P. McBride がすべての有限群について信号関手定理を証明した。
1982 グライスが手作業によりモンスター群を構成した。
1983 テンプレート:仮リンクにより、標数2型かつ標準成分をもつ少なくともランク4の群が、テンプレート:仮リンクの3つのケースのどれか一つに分類される。
1983 アシュバッハーが テンプレート:En の仮説を満足する有限群が存在しないことを証明した。テンプレート:En とは、標数2型の群についての3分法定理が与える3つのケースの内の1つである、
1983 ゴーレンシュタインとライアンが、標数2型かつ少なくともランク4の群について3分法定理を証明する。一方アシュバッハーはランク3の群について証明した。

このことでこれらの群は、3つの小ケースに分割された：すなわち、テンプレート:En・テンプレート:Math 型の群・標準成分をもつ群である。

1983 ゴーレンシュタインが、分類の証明が完了したとアナウンスした。しかしテンプレート:仮リンクケースの証明が不完全であったため、これは尚早であった。
1994 ゴーレンシュタイン、ライアン、テンプレート:仮リンクが、改訂された分類の出版を開始した。
2004 アシュバッハーとテンプレート:仮リンクが準薄群（すなわち偶数標数の体上の多くともランク2のリー型の群）について彼らの仕事を出版し、この時点で知られている分類の最後のギャップが埋められた。
2008 原田とソロモンがテンプレート:仮リンク をカバーする、標準成分をもつ群についての分類の小さなギャップを埋めた。これは テンプレート:Math のテンプレート:仮リンクについての計算において、誤って証明に欠落が生じていたためである。
2012 テンプレート:仮リンクとその共同研究者達が、証明支援言語Coqを用いたファイト・トンプソンの定理の機械的チェックの成功をアナウンスした。[3]

第2世代の分類

テンプレート:節stub

何故この証明はこんなにも長いのか？

ゴーレンシュタインは、なぜ分類の証明がコンパクトリー群の分類のように短くならないのかについて、幾つかの理由を議論している。

  • 最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである：すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。そのため、ディンキン図形を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。
  • アティヤなどは、この分類は、幾何学的対象上の群の作用を構築し、それらの幾何学的構造を分類することにより単純化されるだろうと提案している。この問題は、単純群と関連するような幾何学的構造を発見するための簡単な方法を、誰も与えられるようにはなっていないということである。BN対のような幾何学的構造を発見することによりこの分類は機能する。しかしそれが叶うのは、有限単純群の構造のとても長く困難な解析の果てになるだろう。
  • 証明の簡略化ため、群の表現論をより一層利用しようという提案もある。しかし表現論は、群の部分群についてとてもタイトなコントロールを必要とすると言う問題がある。低い階数の群については、そのようなコントロールと表現論はとてもよく働く。しかし高い階数をもつ群については、表現論を用いて分類を単純化することには誰も成功しない。分類作業の初期においては、表現論を用いた努力も相当なされた。しかし高い階数においては、その試みは決して成功しなかった。

分類の結論

この説では、有限単純群の分類を用いて証明された結果を並べる。

脚注

テンプレート:脚注ヘルプ

注釈

テンプレート:Notelist

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

関連項目

外部リンク

  1. ↑ テンプレート:Cite web
  2. ↑ テンプレート:Cite web
  3. ↑ テンプレート:Cite web


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