指標理論

テンプレート:See also 数学、特に群論において、群の表現の指標（しひょう、テンプレート:Lang-en-short）は、群の各元に対応する行列のトレースを対応させる写像である。指標は表現の本質的な情報をより凝縮された形で持っている。ゲオルク・フロベニウスは最初に、指標のみに基づいて、表現の明示的な行列表示は用いずに、テンプレート:仮リンクを発展させた。これは有限群の複素表現はその指標によって（同型を除いて）決定されるから可能である。正標数の体上の表現、いわゆる「モジュラー表現」の場合には、状況はより繊細であるが、テンプレート:仮リンクはこの場合にも指標の強力な理論を発展させた。有限群の構造に関する多くの深い定理はモジュラー表現の指標を用いる。

応用

既約表現の指標には群の多くの重要な性質が反映されており、したがってその構造の研究に用いることができる。指標理論は有限単純群の分類において本質的な道具である。テンプレート:仮リンクの半分近くは指標の値の入り組んだ計算を伴う。指標理論を使う、より容易だがなお本質的な結果は、バーンサイドの定理（純粋に群論的な証明は見つかっているが、バーンサイドのもともとの証明のあと半世紀以上経ってからである）や、有限単純群は[[シローの定理|シロー テンプレート:Math-部分群]]として一般四元数群を持つことはできないというブラウアー・鈴木の定理である。

定義

テンプレート:Mvar を体 テンプレート:Mvar 上の有限次元ベクトル空間とし、テンプレート:Math を群 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 上の表現とする。テンプレート:Mvar の指標 (character) とは関数

${\chi }_{\rho }:G\to F;{\chi }_{\rho }(g)=\mathrm{T}\mathrm{r}(\rho (g))$

である、ただし テンプレート:Math はトレースである。

指標 テンプレート:Math が既約 (irreducible) あるいは単純 (simple) とは、テンプレート:Mvar が既約表現であることをいう。指標 テンプレート:Mvar の次数 (degree) は テンプレート:Mvar の次元である；標数 0 ではこれは値 テンプレート:Math に等しい。次数 1 の指標は線型 (linear) と呼ばれる。テンプレート:Mvar が有限で テンプレート:Mvar が標数 0 のとき、指標 テンプレート:Math の核 (kernel) は正規部分群

$\ker {\chi }_{\rho }:=\{g\in G\mid {\chi }_{\rho }(g)={\chi }_{\rho }(1)\}$

であり、これはちょうど表現 テンプレート:Mvar の核である。

性質

• 指標は類関数である、つまり、各共役類上で一定の値を取る。より精密には、与えられた群 テンプレート:Mvar の体 テンプレート:Mvar への既約指標の集合はすべての類関数 テンプレート:Math のなす テンプレート:Mvar ベクトル空間の基底をなす。
• 同型な表現は同じ指標を持つ。標数 テンプレート:Math の代数閉体上では、半単純表現が同型であることと同じ指標を持つことは同値である。
• 表現が部分表現の直和ならば、対応する指標はそれら部分表現の指標の和である。
• 有限群 テンプレート:Mvar の指標を部分群 テンプレート:Mvar に制限したものは、テンプレート:Mvar の指標である。
• 任意の指標の値 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 個の [[1の冪根|テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 乗根]]の和である、ただし テンプレート:Mvar は指標 テンプレート:Mvar を持つ表現の次数（つまり付随するベクトル空間の次元）であり、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の位数である。特に、テンプレート:Math のとき、指標の値は代数的整数である。
• テンプレート:Math で テンプレート:Mvar が既約のとき、

$[G:C_G(x)]\frac{\chi (x)}{\chi (1)}$

はすべての テンプレート:Math に対して代数的整数である。

• テンプレート:Mvar が代数閉体で標数 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の位数を割り切らないとき、テンプレート:Mvar の既約指標の個数は テンプレート:Mvar の共役類の個数に等しい。さらに、この場合、既約指標の次数は テンプレート:Mvar の位数の約数である（テンプレート:Math ならさらに テンプレート:Math をも割る）。

算術的性質

テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の表現とする。このとき以下の等式が成り立つ：

${\chi }_{\rho \oplus \sigma }={\chi }_{\rho }+{\chi }_{\sigma }$

${\chi }_{\rho \otimes \sigma }={\chi }_{\rho }\cdot {\chi }_{\sigma }$

${\chi }_{{\rho }^{*}}=\overline{{\chi }_{\rho }}$

${\chi }_{{\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{t}}^{\mathrm{2}}\rho }(g)=\frac{1}{2}[{({\chi }_{\rho }(g))}^2-{\chi }_{\rho }(g^2)]$

${\chi }_{{\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\rho }(g)=\frac{1}{2}[{({\chi }_{\rho }(g))}^2+{\chi }_{\rho }(g^2)]$

ここで、テンプレート:Math は直和で、テンプレート:Math はテンソル積で、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の共役転置を表し、テンプレート:Math は交代積 テンプレート:Math であり、テンプレート:Math は対称平方で次で決定される：

$\rho \otimes \rho =(\rho \wedge \rho )\oplus {\mathrm{Sym}}^2\rho .$

指標表

テンプレート:Details 有限群の既約複素指標は群 テンプレート:Mvar についての多くの有用な情報を凝縮された形で表現する指標表をなす。各行は既約表現によってラベルづけられ、行の成分は テンプレート:Mvar のそれぞれの共役類上の表現の指標である。列は テンプレート:Mvar の共役類（の代表元）によってラベル付けられる。第一行を自明指標でラベル付け、第一列を単位元（の共役類）でラベル付けるのが通例である。第一列の成分は単位元における既約指標の値、既約指標の次数である。

ここに テンプレート:Mvar を生成元とする位数3の巡回群

$C_3=⟨u\mid u^3=1⟩,$

の指標表を書く。

	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Mvar	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Mvar

ただし テンプレート:Mvar は 1 の原始3乗根である。

指標表は正方形である、なぜならば既約表現の同型類の個数は共役類の個数に等しいからであるテンプレート:Sfn。指標表の第一行は（上述の通例により） テンプレート:Math たちからなり、自明表現（成分が テンプレート:Math の テンプレート:Math 行列からなる テンプレート:Math 次元表現）に対応する。

直交関係式

テンプレート:Main 有限群 テンプレート:Mvar の複素数値類関数の空間は自然な内積を持つ：

$⟨\alpha ,\beta ⟩:=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\alpha (g)\overline{\beta (g)}$

ただし テンプレート:Math は テンプレート:Math の複素共役である。この内積に関して、既約指標は類関数の空間の正規直交基底をなし、これは指標表の行の直交関係を生む：

$⟨{\chi }_i,{\chi }_j⟩=\{\begin{array}{cc}0& \text{ if }i\ne j,\\ 1& \text{ if }i=j.\end{array}$

テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Math に対して、列の直交関係は次のようである：

$\sum _{{\chi }_i}{\chi }_i(g)\overline{{\chi }_i(h)}=\{\begin{array}{cc}|C_G(g)|,& \text{ if }g,h\text{ are conjugate }\\ 0& \text{ otherwise.}\end{array}$

ただし和は テンプレート:Mvar の既約指標 テンプレート:Math 全体を渡り、記号 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の中心化群の位数を表す。

直交関係式は以下を含む多くの計算の助けとなる：

• 未知の指標を既約指標の線型結合として分解する。
• 既約指標のいくつかしか分かっていないときに完全な指標表をつくる。
• 群の共役類の代表元の中心化群の位数を求める。
• 群の位数を求める。

指標表の性質

群 テンプレート:Mvar のある性質はその指標表から結論できる：

• テンプレート:Mvar の位数は第一列の成分（既約指標の次数）の平方和によって与えられる。（テンプレート:仮リンクを参照。）より一般に、任意の列の成分の絶対値の平方和は対応する共役類の元の中心化群の位数を与える。
• テンプレート:Mvar のすべての正規部分群（したがって テンプレート:Mvar が単純か否か）はその指標表から分かる。指標 テンプレート:Mvar の核は テンプレート:Math なる テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar の集合である；これは テンプレート:Mvar の正規部分群である。テンプレート:Mvar の各正規部分群は テンプレート:Mvar のいくつかの既約指標の核の共通部分である。
• テンプレート:Mvar の導来部分群は テンプレート:Mvar の線型指標の核全体の共通部分である。特に、テンプレート:Mvar が可換であることとすべての既約指標が線型であることは同値である。
• テンプレート:仮リンクのモジュラー表現論からのいくつかの結果を用いて、有限群の各共役類の元の位数の素因子はその指標表から分かることが分かる（テンプレート:仮リンクによるテンプレート:Sfn）。

指標表は一般には群を同型の違いを除いて決定しない：例えば、テンプレート:仮リンク テンプレート:Mvar と位数 テンプレート:Math の二面体群 テンプレート:Math は同じ指標表を持つ。ブラウアーは指標表を共役類の元の冪がどのように分布しているかの知識と合わせて有限群を同型を除いて決定できるかどうかを問うた。1964年、これは テンプレート:仮リンク によって否定的に解かれた。

線型指標たちは指標群をなし、これは数論と重要な関係があるテンプレート:Which。

誘導指標とフロベニウス相互律

テンプレート:Main この節で議論される指標は複素数値であると仮定する。テンプレート:Mvar を有限群 テンプレート:Mvar の部分群とする。テンプレート:Mvar の指標 テンプレート:Mvar が与えられたとき、テンプレート:Math でその テンプレート:Mvar への制限を表す。テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の指標とする。ファルディナンド・ゲオルグ・フロベニウスは今ではテンプレート:仮リンクと呼ばれるものを用いて テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar の指標を構成する方法を示した。テンプレート:Mvar の既約指標たちは テンプレート:Mvar の複素数値類関数の空間の正規直交基底をなすから、次の性質を持つ テンプレート:Mvar の類関数 テンプレート:Math が一意的に存在する：テンプレート:Mvar の各既約指標 テンプレート:Mvar に対して

$⟨{\theta }^G,\chi {⟩}_G=⟨\theta ,{\chi }_H{⟩}_H$

（左辺の内積は テンプレート:Mvar の類関数に対するもので、右辺の内積は テンプレート:Mvar の類関数に対するものである）。テンプレート:Mvar の指標の部分群 テンプレート:Mvar への制限は再び テンプレート:Mvar の指標であるから、この定義は テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の既約指標の非負線型結合でありしたがって実際 テンプレート:Mvar の指標であることを明らかにする。それは テンプレート:Mvar から誘導される テンプレート:Mvar の指標と呼ばれる。フロベニウス相互律の定義式は一般の複素数値類関数に拡張できる。

テンプレート:Mvar の行列表示 テンプレート:Mvar が与えられたとき、フロベニウスは後に テンプレート:Mvar の行列表現を構成する明示的な方法を与え、テンプレート:Mvar からテンプレート:仮リンク表現と呼ばれ、同様に テンプレート:Math と書かれる。これは誘導指標 テンプレート:Math の別の記述を導いた。この誘導指標は テンプレート:Mvar のどんな元とも共軛でない テンプレート:Mvar のすべての元上消える。誘導指標は テンプレート:Mvar の類関数であるから、テンプレート:Mvar の元での値の記述だけが必要である。テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の右剰余類の直和として

$G=H{t}_1\cup \cdots \cup H{t}_n$

と書けば、元 テンプレート:Math が与えられると、

${\theta }^G(h)=\sum _{1\le i\le n,t_{i}h{t}_i^{-1}\in H}\theta \left(t_{i}h{t}_i^{-1}\right)$

となる。テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の類関数だから、この値は剰余類の代表元の選び方に依存しない。

誘導指標のこの別の記述により テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への埋め込みについての比較的小さい情報から明示的な計算ができることがあり、特定の指標表の計算にしばしば有用である。テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の自明指標であるとき、得られる誘導指標は（テンプレート:Mvar の剰余類上の）テンプレート:Mvar の置換指標 (permutation character) と呼ばれる。

指標の誘導の一般的な技術と後の精密化は有限群論と数学のいたるところに多数の応用があり、フロベニウスの後にもエミール・アルティン、リチャード・ブラウアー、テンプレート:仮リンク, 鈴木通夫のような数学者によってなされた。

マッキー分解

マッキー分解はリー群の文脈でテンプレート:仮リンク (George Mackey) によって定義され研究されたが、有限群の指標理論や表現論において強力な道具である。その基本的な形は、有限群 テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Mvar から誘導された指標（あるいは加群）が テンプレート:Mvar の（異なってもよい）部分群 テンプレート:Mvar に再び制限したときにどのように振る舞うかを考え、テンプレート:Mvar の テンプレート:Math-両側剰余類 への分解を用いる。

$G=\bigcup _{t\in T}HtK$

が非交叉和で、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の複素類関数ならば、マッキーの公式は

${\left({\theta }^G\right)}_K=\sum _{t\in T}{\left({\left[{\theta }^t\right]}_{t^{-1}Ht\cap K}\right)}^K$

である、ただし テンプレート:Math はすべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math によって定義される テンプレート:Math の類関数である。誘導加群の部分群への制限に対する類似の公式もあり、任意の環上の表現に対して成り立ち、代数とトポロジーの広範な文脈で応用がある。

マッキー分解は、フロベニウスの相互律とあわせて、部分群 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar から誘導された2つの類関数 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の内積に対する有名で有用な公式を生む。その有用性は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の共役がお互いにどのように交わるかのみに依るという事実にある。（導出とともに）公式は：

$\begin{array}{cc}⟨{\theta }^G,{\psi }^G⟩& =⟨{\left({\theta }^G\right)}_K,\psi ⟩\\ & =\sum _{t\in T}⟨{\left({\left[{\theta }^t\right]}_{t^{-1}Ht\cap K}\right)}^K,\psi ⟩\\ & =\sum _{t\in T}⟨{\left({\theta }^t\right)}_{t^{-1}Ht\cap K},{\psi }_{t^{-1}Ht\cap K}⟩,\end{array}$

（ただし テンプレート:Mvar は前のように テンプレート:Math-両側剰余類の完全代表系）。この公式は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が線型指標であるときにしばしば用いられ、このとき右辺の和に現れるすべての内積は テンプレート:Math か テンプレート:Math で、線型指標 テンプレート:Math と テンプレート:Mvar が テンプレート:Math への制限で同じになるか否かに対応する。テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar がともに自明指標ならば、内積は単に テンプレート:Math となる。

“捩れ”次元

表現の指標をベクトル空間の「捩れ」次元と解釈できる。指標を群の元の関数 テンプレート:Math と扱うことで、その単位元での値は空間の次元である、なぜならば テンプレート:Math だからである。したがって、指標の他の値を「捩れ」次元と見ることができるテンプレート:Clarify。

次元についての主張の指標や表現についての主張への類似や一般化を見つけることができる。これの洗練された例はモンストラス・ムーンシャインの理論において現れる：[[j不変量|テンプレート:Mvar 不変量]]はモンスター群の無限次元次数付き表現のテンプレート:仮リンクであり、次元を指標で置き換えることでモンスター群の各元に対してテンプレート:仮リンクを得る。

リー群とリー環の指標

テンプレート:Main テンプレート:Mvar をリー群、$𝔤$ をそのリー環とし、テンプレート:Mvar と $𝔥$ をそれぞれカルタン部分群、カルタン部分環とする。

テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の表現とする。テンプレート:Mvar のウェイト空間を テンプレート:Mathと書いて、リー群とリー環の形式指標を

${\chi }_V=\sum \dim V_{\lambda }{e}^{\lambda }$

と定義できる、ここで和はウェイト格子のすべてのウェイトを走る。上の式で テンプレート:Math は テンプレート:Math を満たす形式的な対象である。この形式指標は他の群の通常の指標と関係する。テンプレート:Math, ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar のカルタン部分群（つまり テンプレート:Mvar は $𝔥$ に属する）、ならば、

$\mathrm{Tr}(e^X)=\sum \dim V_{\lambda }{e}^{\lambda (X)}$

である。テンソル積や他の表現の分解の上の議論は形式指標に対しても成り立つ。コンパクトリー群の場合には、ワイルの指標公式を形式指標を計算するのに使うことができる。

関連項目

• テンプレート:仮リンク、群指標の理論の組合せ論的一般化。
• テンプレート:仮リンクは、テンプレート:仮リンク により1937年に導入されたもので、有限群 テンプレート:Mvar の複素既約指標の正規部分群 テンプレート:Mvar への制限についての情報が得られる。
• テンプレート:仮リンク, 群の元 テンプレート:Mvar であって、テンプレート:Math がすべての指標 テンプレート:Mvar に対して実数であるもの。

参考文献

• Lecture 2 of テンプレート:Fulton-Harris online
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:PlanetMath