ヤコビの公式

テンプレート:仮リンクにおいて、ヤコビの公式（テンプレート:Lang-en）は行列 テンプレート:Mvar の導函数および余因子を用いて行列式の導函数を表す方法である。

テンプレート:Mvar を実数から テンプレート:Math 行列への微分可能な写像とすると、テンプレート:Math を行列 テンプレート:Mvar の跡として

$\frac{d}{dt}\det A(t)=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A(t))\frac{dA(t)}{dt})=(\det A(t))\cdot \mathrm{tr}(A(t{)}^{-1}\cdot \frac{dA(t)}{dt})$

となる（右の等号は テンプレート:Math が正則な場合にのみ成立する）。

特殊例として、次の式が成り立つ。

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\mathrm{adj}(A{)}_{ji}$

テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の導函数とすると、公式は次のようになる。

$d\det (A)=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)dA)$

名称は数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビにちなむ。

導出

行列計算による方法

次の補題を先に証明する。

補題 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を同次元 テンプレート:Mvar での正方行列の組とする。このとき、次の式が成り立つ。

$\sum _i\sum _j{A}_{ij}{B}_{ij}=\mathrm{tr}(A^{\mathrm{T}}B)$

証明 行列の積 テンプレート:Mvar は次の成分を持つ。

$(AB{)}_{jk}=\sum _i{A}_{ji}{B}_{ik}$

行列 テンプレート:Mvar を転置行列 テンプレート:Math で置き換えることは、成分の添字を並び替えることと等しい。

$(A^{\mathrm{T}}B{)}_{jk}=\sum _i{A}_{ij}{B}_{ik}$

結果は両辺の跡を取ることで導かれる。

$\mathrm{tr}(A^{\mathrm{T}}B)=\sum _j(A^{\mathrm{T}}B{)}_{jj}=\sum _j\sum _i{A}_{ij}{B}_{ij}=\sum _i\sum _j{A}_{ij}{B}_{ij}◻$

定理（ヤコビの公式） 実数から テンプレート:Math 行列への微分可能な任意の写像 テンプレート:Mvar に対して

$d\det (A)=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)dA)$

が成り立つ。

証明 テンプレート:Mvar の行列式に対する余因子展開は次のように表せられる。

$\det (A)=\sum _j{A}_{ij}{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ij}$

和は行列の任意の行 テンプレート:Mvar に対して実行されることに注意。

テンプレート:Mvar の行列式は テンプレート:Mvar の要素の函数と見なせる。

$\det (A)=F(A_{11},A_{12},\dots ,A_{21},A_{22},\dots ,A_{nn})$

それゆえ、連鎖律より、導函数は

$d\det (A)=\sum _i\sum _j\frac{\partial F}{\partial A_{ij}}d{A}_{ij}$

となる。

この加算は行列の テンプレート:Math 要素すべてで実行される。

余因子展開右辺の テンプレート:Math を得るために、添字 テンプレート:Mvar は任意に定められる（計算を最適化するため。他の任意の選択からも同様の結果が得られるが、過程がより困難なものとなりうる）。特に、テンプレート:Math の最初の添字と一致するように選ぶことができる。

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\frac{\partial \sum _k{A}_{ik}{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}}{\partial A_{ij}}=\sum _k\frac{\partial (A_{ik}{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik})}{\partial A_{ij}}$

積の微分法則より

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\sum _k\frac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}}{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}+\sum _k{A}_{ik}\frac{\partial {\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}}{\partial A_{ij}}$

となる。

ここで、もし行列 テンプレート:Mvar の要素および要素 テンプレート:Mvar の余因子 テンプレート:Math が同じ行（あるいは列）にある場合、テンプレート:Mvar の余因子はその行（あるいは列）以外の要素で表されることから、余因子は テンプレート:Mvar の函数とならない。それゆえ

$\frac{\partial {\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}}{\partial A_{ij}}=0$

であり、

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\sum _k{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}\frac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}}$

テンプレート:Mvar のすべての要素は互いに独立であるから、テンプレート:Mvar をクロネッカーのデルタとして

$\frac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}}={\delta }_{jk}$

それゆえ

$\frac{\partial \det (A)}{\partial A_{ij}}=\sum _k{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ik}{\delta }_{jk}={\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ij}$

すなわち

$d(\det (A))=\sum _i\sum _j{\mathrm{adj}}^{\mathrm{T}}(A{)}_{ij}d{A}_{ij}$

となり、補題を用いることで次の結果が得られる。

$d(\det (A))=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)dA)◻$

連鎖律による方法

補題1 テンプレート:Math を テンプレート:Math の導函数として、テンプレート:Math である。この等式は単位行列によって定まる テンプレート:Math の導関数は跡と等しいことを意味している。導関数 テンプレート:Math は テンプレート:Math 行列を実数へ写す線形演算子である。

証明 方向微分の定義と微分可能な函数の基本的な性質を用いることで、次の式を得る。

${\det }^{\prime }(I)(T)={\mathrm{\nabla }}_T\det (I)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\det (I+\epsilon T)-\det I}{\epsilon }$

テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 次元での テンプレート:Mvar に関する多項式であり、テンプレート:Mvar の固有多項式と密接にかかわる。定数項（テンプレート:Math）は1であり、テンプレート:Mvar の一次項は テンプレート:Math となる。

補題2 正則行列 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math である。

証明 テンプレート:Mvar の函数

$\det X=\det (A{A}^{-1}X)=\det (A)\det (A^{-1}X)$

を考える。

テンプレート:Math の導函数を計算し、上式の通り補題1を用いて テンプレート:Math での値を求め、連鎖律を用いることで

${\det }^{\prime }(A)(T)=\det A{\det }^{\prime }(I)(A^{-1}T)=\det A\mathrm{t}\mathrm{r}(A^{-1}T)$

を得る。

定理（ヤコビの公式） $\frac{d}{dt}\det A=\mathrm{t}\mathrm{r}\left(\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}A\frac{dA}{dt}\right)$

証明 テンプレート:Mvar が正則な場合、補題2より、テンプレート:Math を用いて

$\frac{d}{dt}\det A=\det A\mathrm{t}\mathrm{r}\left(A^{-1}\frac{dA}{dt}\right)=\mathrm{t}\mathrm{r}\left(\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}A\frac{dA}{dt}\right)$

となる。

テンプレート:Mvar から テンプレート:Math への余因子と関連する等式を用いる。正則線形行列は行列空間上で稠密であるから公式はすべての行列に対し成り立つ。

対角化による方法

ヤコビ公式の両辺は テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar の係数に関して多項式である。それゆえ テンプレート:Mvar の固有値が相異なり、かつゼロでないような稠密な部分集合上で多項恒等式を示せば十分である。

テンプレート:Mvar の因子が テンプレート:Math のように微分可能ならば、

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A^{-1}{A}^{\prime })=\mathrm{t}\mathrm{r}((BC{)}^{-1}(BC{)}^{\prime })=\mathrm{t}\mathrm{r}(B^{-1}{B}^{\prime })+\mathrm{t}\mathrm{r}(C^{-1}{C}^{\prime })$

である。

特に、テンプレート:Mvar が正則ならば、テンプレート:Math かつ

$0=\mathrm{t}\mathrm{r}(I^{-1}{I}^{\prime })=\mathrm{t}\mathrm{r}(L(L^{-1}{)}^{\prime })+\mathrm{t}\mathrm{r}(L^{-1}{L}^{\prime })$

である。

テンプレート:Mvar は相異なる固有値を持つから、テンプレート:Math（テンプレート:Mvar は対角行列）を満たす微分可能な複素正則行列 テンプレート:Mvar が存在する。 このとき

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A^{-1}{A}^{\prime })=\mathrm{t}\mathrm{r}(L(L^{-1}{)}^{\prime })+\mathrm{t}\mathrm{r}(D^{-1}{D}^{\prime })+\mathrm{t}\mathrm{r}(L^{-1}{L}^{\prime })=\mathrm{t}\mathrm{r}(D^{-1}{D}^{\prime })$

である。

テンプレート:Mvar（テンプレート:Math）を テンプレート:Mvar の固有値とする。このとき

$\frac{\det (A{)}^{\prime }}{\det (A)}=\sum _{i=1}^n{{\lambda }_i}^{\prime }/{\lambda }_i=\mathrm{t}\mathrm{r}(D^{-1}{D}^{\prime })=\mathrm{t}\mathrm{r}(A^{-1}{A}^{\prime })$

すなわち相異なるゼロでない固有値を持つ行列 テンプレート:Mvar に対するヤコビ公式となる。

系

次の式は行列指数函数の行列式と跡を結びつける有用な関係式である。

$\det e^B=e^{\mathrm{tr}\left(B\right)}$

この事実は対角行列に対して明らかであり、以下に一般化された証明を述べる。

任意の正則行列 テンプレート:Math に対し、連鎖律の部分で次のことを示した。

$\frac{d}{dt}\det A(t)=\det A(t)\mathrm{tr}(A(t{)}^{-1}\frac{d}{dt}A(t))$

ここで テンプレート:Math の場合を考えることで、次の式を得る。

$\frac{d}{dt}\det e^{tB}=\mathrm{tr}(B)\det e^{tB}$

この微分方程式を解くことで、求める結果が得られる。

応用

ヤコビの公式は固有多項式を解くためのテンプレート:仮リンクや、ケイリー・ハミルトンの定理の応用で用いられる。例えば、上記で示された式

$\frac{d}{dt}\det A(t)=\det A(t)\mathrm{tr}(A(t{)}^{-1}\frac{d}{dt}A(t))$

に対して テンプレート:Math を用いることで

$\frac{d}{dt}\det (tI-B)=\det (tI-B)\mathrm{tr}[(tI-B{)}^{-1}]=\mathrm{tr}[\mathrm{adj}(tI-B)]$

が得られる。ただし テンプレート:Math は余因子行列を表す。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book