リー環の拡大

テンプレート:Lie groups リー群論，リー環論，およびそれらの表現論において，リー環の拡大 (Lie algebra extension) テンプレート:Mathbf とは，与えられたリー環 テンプレート:Mathbf を別のリー環 テンプレート:Mathbf によって「拡大」することである．拡大はいろいろな方法で生じる．2つのリー環の直和を取ることによって得られる自明な拡大 (trivial extension) がある．別の種類の拡大は分裂拡大 (split extension) や中心拡大 (central extension) である．拡大は，例えばテンプレート:仮リンクからリー環を作るときに，自然に生じる．そのようなリー環は中心電荷を持つ． ｗ 有限次元単純リー環上の多項式ループ代数から始めて，2つの拡大，中心拡大と微分による拡大を施すと，untwisted アファインカッツ・ムーディ代数に同型なリー環を得る．中心拡大したループ代数を用いて2次元時空のテンプレート:仮リンクを構成できる．ヴィラソロ代数はヴィット代数の普遍中心拡大である．

中心拡大は物理学で必要とされる，なぜならば量子化された系の対称性を表す群は通常古典的な対称変換群の中心拡大であり，同様に量子系の対応する symmetry リー環は一般に古典的な symmetry algebra の中心拡大であるからであるテンプレート:Sfn．カッツ・ムーディ代数は統一超弦理論の対称変換群であると予想されている．中心拡大されたリー環は場の量子論，特に共形場理論，弦理論とM理論において，支配的な役割を果たすテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn．

後半の大部分はリー環の拡大が実際有用である分野である数学と物理学双方での応用の背景資料に割かれている．かっこつきリンク，（背景資料），はそれが有益であろうところで提供される．

歴史

テンプレート:仮リンクのため，理論は，したがってリー環の拡大の歴史は，群の拡大の理論と歴史と密接に関係している．群の拡大の系統的な研究はオーストリアの数学者テンプレート:仮リンク (Otto Schreier) によって1923年の彼の PhD 論文（後に出版）においてなされたテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn．オットー・ヘルダー (Otto Hölder) によってシュライアーの論文のために出された問題は次のものであった：「2つの群 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が与えられたとき，群 テンプレート:Mvar であって テンプレート:Mvar と同型な正規部分群 テンプレート:Mvar を持ち剰余群 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar と同型であるものをすべて求めよ．」

リー環の拡大は無限次元リー環に対して最も興味深く有用である．1967年ヴィクトル・カッツ (Victor Kac) とテンプレート:仮リンク (Robert Moody) は独立に古典的なリー環の概念を一般化し，今ではカッツ・ムーディ代数と呼ばれる無限次元リー環の新しい理論を拓いたテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn．それらは有限次元単純リー環を一般化し，しばしば拡大として具体的に構成できる．

記法と証明

以下では次のような記号の濫用が用いられる：指数写像 テンプレート:Math で引数が与えられたとき テンプレート:Math, 直積 テンプレート:Math の元 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar（テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の単位元），リー環の直和でも同様（さらに テンプレート:Math と書かれる）．半直積と半直和についても同様．標準的単射（群とリー環両方）は暗黙の同一視のために用いられる．さらに．テンプレート:Math, テンプレート:Math, ..., が群であれば，テンプレート:Math, テンプレート:Math, ..., の元のデフォルトの名前は テンプレート:Math, テンプレート:Math, ..., であり，それらのリー環は テンプレート:Math, テンプレート:Math, ... である．テンプレート:Math, テンプレート:Math, ..., の元のデフォルトの名前は テンプレート:Math, テンプレート:Math, ... であり（群と同じ！），乏しいアルファベット資源を節約する意味もあるが，主に統一的な表記のためである．

拡大の材料となるリー環は，何も言わずに，同じ体上のものが取られる．

総和規約が使われ，上下両方の添え字に関わる場合もある．

警告：以下の証明や証明の概略のすべてが普遍的な有効性を持っているわけではない．主な理由はリー環がしばしば無限次元であるために，リー環に対応するリー群がないかもしれないからである．さらに，そのような群が存在したとしても，「通常の」性質を持っているとは限らず，例えば指数写像があるとは限らず，もしあっても「通常の」性質をすべては持たないかもしれない．そのような場合には，群を「リー群」と呼ぶべきかどうか疑わしい．文献は画一的でない．明示的な例にはたぶん，妥当な構造が適切な位置に書かれる．

定義

リー環の拡大は短完全列を用いて定式化される．短完全列とは，長さ3の完全列 テンプレート:NumBlk であって，テンプレート:Mvar が単射で，テンプレート:Mvar が全射で，テンプレート:Math なるものである．完全列のこれらの性質から，テンプレート:Math（の像）が テンプレート:Math のイデアルであることが従う．さらに，

$𝔤\cong 𝔢/\mathrm{Im}i=𝔢/\mathrm{Ker}s$

であるが，テンプレート:Math が テンプレート:Math の部分環に同型であるとは限らない．この構成は群の拡大という密接に関連した概念における類似の構成を反映している．

同じ体上のリー環に対して完全列 テンプレート:EquationNote が成り立っているとき，テンプレート:Math は テンプレート:Math の テンプレート:Math による拡大であるという．

性質

定義性質は言い換えられる．リー環 テンプレート:Math が テンプレート:Math の テンプレート:Math による拡大であるとは， テンプレート:NumBlk が完全であることをいう．ここで両端の テンプレート:Math は（零ベクトル テンプレート:Math のみからなる）零リー環を表し，写像は明らかなものである，つまり，テンプレート:Math は テンプレート:Math を テンプレート:Math に写し，テンプレート:Math は テンプレート:Mathbf のすべての元を テンプレート:Math に写す．この定義では，テンプレート:Mvar が単射で テンプレート:Mvar が全射であることは自動的に従う．

テンプレート:Math の テンプレート:Math による拡大は一意とは限らない．テンプレート:Math を2つの拡大とし，以下プライムは明らかな意味で用いる．このとき，リー環の同型 テンプレート:Math であって

$f\circ i=i^{\prime },s^{\prime }\circ f=s$

なるものが存在するとき，拡大 テンプレート:Math と テンプレート:Math は同値な拡大であるといわれる．拡大の同値性は同値関係である．

拡大の種類

自明

リー環の拡大

$𝔥\stackrel{i}{\hookrightarrow }𝔱\stackrel{s}{\twoheadrightarrow }𝔤,$

が自明とは，部分空間 テンプレート:Math であって，テンプレート:Math かつ テンプレート:Math は テンプレート:Math のイデアルとなるものが存在することをいう．

分裂

リー環の拡大

$𝔥\stackrel{i}{\hookrightarrow }𝔰\stackrel{s}{\twoheadrightarrow }𝔤,$

が分裂とは，部分空間 テンプレート:Math であって，ベクトル空間として テンプレート:Math かつ，テンプレート:Math が テンプレート:Math の部分代数となるものが存在することをいう．

イデアルは部分代数だが，部分代数はイデアルとは限らない．したがって自明な拡大は分裂拡大である．

中心

リー環 テンプレート:Math の可換リー環 テンプレート:Math による中心拡大は，テンプレート:Mathbf 上のいわゆる（非自明な）テンプレート:仮リンク（背景）の助けを借りて得ることができる．非自明な 2-コサイクルはリー群のテンプレート:仮リンク（背景）の文脈で現れる．このことは読み進めばそれとなく言及される．

リー環の拡大

$𝔥\stackrel{i}{\hookrightarrow }𝔠\stackrel{s}{\twoheadrightarrow }𝔤,$

が中心拡大とは，テンプレート:Math が テンプレート:Math の中心 テンプレート:Math に含まれることをいう．

性質

• 中心はすべてと可換だから，この場合 テンプレート:Math は可換である．
• テンプレート:Mathbf の中心拡大 テンプレート:Math が与えられると，テンプレート:Math 上の 2-コサイクルを構成できる．テンプレート:Math を テンプレート:Math の テンプレート:Math による中心拡大とする．テンプレート:Math を テンプレート:Math から テンプレート:Math への線型写像であって テンプレート:Math という性質を持つもの，すなわち テンプレート:Math のセクションとする．このセクションを用いて テンプレート:Math を次で定義する：

$ϵ(G_1,G_2)=l([G_1,G_2])-[l(G_1),l(G_2)],G_1,G_2\in 𝔤.$

写像 テンプレート:Math は

$ϵ(G_1,[G_2,G_3])+ϵ(G_2,[G_3,G_1])+ϵ(G_3,[G_1,G_2])=0\in 𝔢$

を満たす．これを見るには，左辺で テンプレート:Math の定義を用い，それから テンプレート:Math の線型性を用いる．テンプレート:Math 上のヤコビの恒等式を用い，6つの項のうち半分を取り除く．Use the definition of テンプレート:Math again on terms テンプレート:Math sitting inside three Lie brackets, bilinearity of Lie brackets, and the Jacobi identity on テンプレート:Math, and then finally use on the three remaining terms that テンプレート:Math and that テンプレート:Math so that テンプレート:Math brackets to zero with everything. It then follows that テンプレート:Math satisfies the corresponding relation, and if テンプレート:Math in addition is one-dimensional, then テンプレート:Math is a 2-cocycle on テンプレート:Math (via a trivial correspondence of テンプレート:Math with the underlying field).

中心拡大

$0\stackrel{\iota }{\hookrightarrow }𝔥\stackrel{i}{\hookrightarrow }𝔢\stackrel{s}{\twoheadrightarrow }𝔤\stackrel{\sigma }{\twoheadrightarrow }0$

が普遍とは，任意の他の中心拡大

$0\stackrel{\iota }{\hookrightarrow }{𝔥}^{\prime }\stackrel{i^{\prime }}{\hookrightarrow }{𝔢}^{\prime }\stackrel{s^{\prime }}{\twoheadrightarrow }𝔤\stackrel{\sigma }{\twoheadrightarrow }0$

に対して，準同型 テンプレート:Math, テンプレート:Math が存在して，図式

が可換になること，すなわち テンプレート:Math, テンプレート:Math となることをいう．

構成

直和により

テンプレート:Math を同じ体 テンプレート:Mvar 上のリー環とする．

$𝔢=𝔥\times 𝔤$

と定義し，テンプレート:Math 上に加法を点ごとに定義する．スカラー乗法は

$\alpha (H,G)=(\alpha H,\alpha G),\alpha \in F,H\in 𝔥,G\in 𝔤$

によって定義される．これらの定義により，テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上のベクトル空間である．リーブラケット テンプレート:NumBlk により，テンプレート:Math はリー環である．さらに

$i:𝔥\hookrightarrow 𝔢;H\mapsto (H,0),s:𝔢\twoheadrightarrow 𝔤;(H,G)\mapsto G$

と定義する．テンプレート:EquationNote が完全列として成り立つことは明らかである．テンプレート:Math の テンプレート:Math によるこの拡大は自明な拡大と呼ばれる．これはもちろん，リー環の直和に他ならない．定義の対称性により，テンプレート:Math は テンプレート:Math の テンプレート:Math による拡大でもあるが，テンプレート:Math である．テンプレート:EquationNote から部分環 テンプレート:Math がイデアルであることは明らかである．リー環の直和のこの性質は自明な拡大の定義に昇格する．

半直和により

準同型 テンプレート:Math を用いた群の半直積（背景）の構成に触発されて，リー環の対応する構成を作ることができる．

テンプレート:Math がリー環の準同型であるとき，テンプレート:Math 上のリーブラケットを テンプレート:NumBlk で定義する．このリーブラケットにより得られるリー環は テンプレート:Math と書かれ，テンプレート:Math と テンプレート:Math の半直和と呼ばれる．

テンプレート:EquationNote を検査して テンプレート:Math は テンプレート:Math の部分環であり テンプレート:Math は テンプレート:Math のイデアルであることが分かる．テンプレート:Math を テンプレート:Math によって，テンプレート:Math を テンプレート:Math によって定義する．テンプレート:Math は明らかである．したがって テンプレート:Math は テンプレート:Math の テンプレート:Math による拡大である．

自明な拡大と同様に，この性質は分裂拡大の定義に一般化する．

例

テンプレート:Mvar をローレンツ群 テンプレート:Math とし，テンプレート:Math を テンプレート:Math と同型な4次元の平行移動群とし，ポワンカレ群 テンプレート:Math の乗法規則を考える：

$(a_2,{\mathrm{\Lambda }}_2)(a_1,{\mathrm{\Lambda }}_1)=(a_2+{\mathrm{\Lambda }}_2{a}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2{\mathrm{\Lambda }}_1),a_1,a_2\in \mathrm{T}\subset P,{\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2\in \mathrm{O}(3,1)\subset \mathrm{P},$

（ただし テンプレート:Math と テンプレート:Math は テンプレート:Math におけるそれらの像と同一視される）．ポワンカレ群において テンプレート:Math であることが直ちに従う．したがってすべてのローレンツ変換 テンプレート:Math は逆写像が テンプレート:Math の テンプレート:Math の自己同型 テンプレート:Math に対応し，テンプレート:Math は明らかに準同型である．さて

$\bar{\mathrm{P}}=\mathrm{T}{\otimes }_S\mathrm{O}(3,1)$

と定義し，乗法を テンプレート:EquationNote で与える．定義を解きほぐすことで乗法が最初の乗法と同じであることが分かり，テンプレート:Math であることが従う．テンプレート:EquationNote より テンプレート:Math なので テンプレート:EquationNote より テンプレート:Math である．

導分により

テンプレート:Math を テンプレート:Mathbf の導分（背景）とし，テンプレート:Math で テンプレート:Mvar で張られる1次元リー環を表す．テンプレート:Math 上のリーブラケットを

$[H_1+G_1,H_2+G_2]=[G_1,G_2]+\delta (G_1)-\delta (G_2)$

によって定義する．ブラケットの定義から テンプレート:Math が テンプレート:Math のイデアルで テンプレート:Math が テンプレート:Math の部分環であることは明らかである．さらに，テンプレート:Math は テンプレート:Mathbf において テンプレート:Mathbf に complementary である．テンプレート:Math を テンプレート:Math で与え，テンプレート:Math を テンプレート:Math で与える．テンプレート:Math は明らかである．したがって テンプレート:Math は テンプレート:Math の テンプレート:Math による分裂拡大である．そのような拡大は導分による拡大と呼ばれる．

2-コサイクルにより

テンプレート:Math がリー環 テンプレート:Mathbf 上の 2-コサイクル（背景）で，テンプレート:Math が任意の1次元ベクトル空間であるとき，テンプレート:Math（線型直和）とし，テンプレート:Math 上のリーブラケットを

$[\mu H+G_1,\nu H+G_2]=[G_1,G_2]+ϵ(G1,G2)H,\mu ,\nu \in F$

で定義する．ここで テンプレート:Mvar は テンプレート:Mathbf の任意に1つ固定された元である．反対称性は テンプレート:Mathbf 上のリーブラケットの反対称性と 2-コサイクルの反対称性から従う．ヤコビ律は テンプレート:Mathbf と テンプレート:Mvar の対応する性質から従う．したがって テンプレート:Mathbf はリー環である．テンプレート:Math とおき，テンプレート:Math が従う．また，テンプレート:Math と テンプレート:Math により テンプレート:Math が従う．したがって テンプレート:Math は テンプレート:Math の テンプレート:Math による中心拡大である．それは 2-コサイクルによる拡大と呼ばれる．

定理

以下に中心拡大と 2-コサイクルに関するいくつかの結果を述べるテンプレート:Sfn．

定理

テンプレート:Math と テンプレート:Math をリー環 テンプレート:Mathbf 上のコホモロガスな 2-コサイクルとし，テンプレート:Math と テンプレート:Math をそれぞれこれらの 2-コサイクルで構成される中心拡大とする．このとき中心拡大 テンプレート:Math と テンプレート:Math は同値な拡大である．

証明

定義により，テンプレート:Math である．

$\psi :G+\mu c\in {𝔢}_1\mapsto G+\mu c+f(G)c\in {𝔢}_2$

と定義する．定義から テンプレート:Mvar がリー環の同型であり テンプレート:EquationNote が成り立つことが従う．

系

コホモロジー類 テンプレート:Math は同型を除いて一意的な テンプレート:Mathbf の中心拡大を定義する．

自明な 2-コサイクルは自明な拡大を与え，2-コバウンダリは自明な 2-コサイクルとコホモロガスだから，

系

コバウンダリによって定義される中心拡大は自明な中心拡大に同値である．

定理

有限次元単純リー環の中心拡大は自明なものしかない．

証明

任意の中心拡大は 2-コサイクル テンプレート:Math から来るから，任意の 2-コサイクルがコバウンダリであることを示せばよい．テンプレート:Math を テンプレート:Math 上の 2-コサイクルとする．やるべきはこの 2-コサイクルを用いて テンプレート:Math なる 1-コチェイン テンプレート:Mvar を作り出すことである．

最初の段階は各 テンプレート:Math に対して テンプレート:Mvar を用いて線型写像 テンプレート:Math を定義することである．しかし線型写像は テンプレート:Math の元である．同型 テンプレート:Mvar を用いて テンプレート:Mvar を テンプレート:Math のことばで書けば十分である．次に，導分であると判明する線型写像 テンプレート:Math が定義される．すべての導分は内部だから，ある テンプレート:Math に対して テンプレート:Math である．テンプレート:Math と テンプレート:Math による テンプレート:Mvar の表示が得られた．したがって，テンプレート:Mvar が導分であることを信じて，次のようにおく：

$\begin{array}{cc}\phi (G_1,G_2)& \equiv {\rho }_{G_1}(G_2)=K({\nu }^{-1}({\rho }_{G_1}),G_2)\equiv K(d(G_1),G_2)\\ & =K({\mathrm{a}\mathrm{d}}_{G_d}(G_1),G_2)=K([G_d,G_1],G_2)=K(G_d,[G_1,G_2]).\end{array}$

テンプレート:Mvar を

$f(G)=K(G_d,G)$

で定義された 1-コチェインとする．すると

$\delta f(G_1,G_2)=f([G_1,G_2])=K(G_d,[G_1,G_2])=\phi (G_1,G_2)$

であり，テンプレート:Math はコバウンダリである．前の結果により，任意の中心拡大は自明である．

テンプレート:Math proof 対称非退化結合形式 テンプレート:Mvar と 2-コサイクル テンプレート:Mvar が与えられると，導分 テンプレート:Mvar を

$K({\nu }^{-1}({\rho }_{G_1}),G_2)\equiv K(d(G_1),G_2)$

によって，あるいは テンプレート:Mvar の対称性と テンプレート:Mvar の反対称性を用いて

$K(d(G_1),G_2)=-K(G_1,d(G_2))$

によって定義できるという観察は系を導く．

系

テンプレート:Math を非退化対称結合的双線型形式とし，テンプレート:Mvar を導分であって

$L(d(G_1),G_2)=-L(G_1,d(G_2))$

を満たすものとすると，

$\phi (G_1,G_2)=L(d(G_1),G_2)$

によって定義される テンプレート:Mvar は 2-コサイクルである．

証明

テンプレート:Mvar についての条件は テンプレート:Mvar の反対称性を保証する．2-コサイクルのヤコビ律は，

$\phi ([G1,G_2],G_3)=L(d[G1,G_2],G_3)=L([d(G1),G_2],G_3)+L([G1,d(G_2)],G_3)$

からはじめて，形式の対称性とブラケットの反対称性と，再び テンプレート:Mvar のことばでの テンプレート:Mvar の定義を用いて，従う．

テンプレート:Math がリー群 テンプレート:Mvar のリー環で テンプレート:Math が テンプレート:Math の中心拡大であるとき，リー環が テンプレート:Mathbf のリー群 テンプレート:Mvar が存在するかどうかを問うことができる．答えは，テンプレート:仮リンクにより，肯定的である．しかしリー環が テンプレート:Mathbf の テンプレート:Mvar の"中心拡大" テンプレート:Mvar は存在するだろうか？ この問いへの答えはある機械が必要で，テンプレート:Harvtxt に見つけることができる．

応用

上述の定理の「否定的」な結果は，少なくとも半単純リー環に対しては，中心拡大の有用な応用を見つけるには無限次元リー環に行かなければならないことを示している．実際そのようなものはある．ここではアファイン・カッツ・ムーディ代数とヴィラソロ代数を紹介する．これらはそれぞれ多項式ループ代数とヴィット環の拡大である．

多項式ループ代数

テンプレート:Math を多項式ループ代数（背景）

$𝔤=C[\lambda ,{\lambda }^{-1}]\otimes {𝔤}_0$

とする，ただし テンプレート:Math は複素有限次元単純リー環である．目標はこの代数の中心拡大を見つけることである．定理の2つが適用する．1つには，テンプレート:Mathbf 上の 2-コサイクルが存在すれば，中心拡大を定義できる．もう1つには，この 2-コサイクルが テンプレート:Math パート（のみ）に作用していれば，得られる拡大は自明である．さらに，テンプレート:Math（のみ）に作用する導分は 2-コサイクルの定義に使えない，なぜならばこれらの導分はすべて内部的であり同じ問題が起こるからである．したがって テンプレート:Math 上の導分を探す．導分の1つのそのような集合は

$d_k\equiv {\lambda }^{k+1}\frac{d}{dk},k\in \mathbb{Z}$

である．

テンプレート:Mathbf 上の非退化双線型結合反対称形式 テンプレート:Mvar を作るために，注意はまず，テンプレート:Math を固定して引数の制限に向けられる．要求を満たす“全て”の形式は テンプレート:Math 上のキリング形式 テンプレート:Mvar の倍数であることは定理であるテンプレート:Sfn．これより

$L({\lambda }^l\otimes G_1,{\lambda }^m\otimes G_2)={\gamma }_{lm}K(G_1,G_2)$

でなければならない，テンプレート:Mvar の対称性により

${\gamma }_{mn}={\gamma }_{nm}$

であり，結合性により

${\gamma }_{k+l,m}={\gamma }_{k,l+m}$

である．テンプレート:Math として テンプレート:Math が分かる．この最後の条件は前のを含んでいる．このことを用いて，テンプレート:Math と定義する．すると定義方程式は

$L({\lambda }^m\otimes G_1,{\lambda }^m\otimes G_2)=f(l+m)K(G_1,G_2)$

となる．すべての テンプレート:Math に対して，定義

$f(n)={\delta }_{ni}\iff {\gamma }_{lm}={\delta }_{l+m,i}$

は実際対称結合双線型形式

$L_i({\lambda }^l\otimes G_1,{\lambda }^m\otimes G_2)={\delta }_{l+m,i}K(G_1,G_2)$

を定義する．しかしこれらはすべての形式が正しい性質をもつベクトル空間の基底をなす．

手元の導分と条件

$L_i(d_k({\lambda }^l\otimes G_1),{\lambda }^m\otimes G_2)=-L_i({\lambda }^l\otimes G_1,d_k({\lambda }^m\otimes G_2))$

に戻り，定義を用いて次が分かる：

$l{\delta }_{k+l+m,i}=-m{\delta }_{k+l+m,i},$

あるいは，テンプレート:Math として，

$n{\delta }_{k+n,i}=0.$

これ（と反対称性条件）は，テンプレート:Math ならば成り立つ，とくに テンプレート:Math のとき成り立つ．

したがって テンプレート:Math および テンプレート:Math と選ぶ．これらの選択により，系の前提が満たされる．

$\phi (P(\lambda )\otimes G_1),Q(\lambda )\otimes G_2))=L(\lambda \frac{dP}{d\lambda }\otimes G_1,Q(\lambda )\otimes G_2)$

で定義される 2-コサイクル テンプレート:Mvar が テンプレート:Mathbf の中心拡大

$𝔢=𝔤\oplus ℂC$

を定義するために最後に雇われ，そのリーブラケットは

$[P(\lambda )\otimes G_1+\mu C,Q(\lambda )\otimes G_2+\nu C]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_1,G_2]+\phi (P(\lambda )\otimes G_1,Q(\lambda )\otimes G_2)C$

である．基底元に対して，適切に正規化し反対称構造定数により次が成り立つ：

$\begin{array}{cc}[{\lambda }^l\otimes G_i+\mu C,{\lambda }^m\otimes G_j+\nu C]& ={\lambda }^{l+m}\otimes [G_i,G_j]+\phi ({\lambda }^l\otimes G_i,{\lambda }^m\otimes G_j)C\\ & ={\lambda }^{l+m}\otimes {C_{ij}}^k{G}_k+L(\lambda \frac{d{\lambda }^l}{d\lambda }\otimes G_i,{\lambda }^m\otimes G_j)C\\ & ={\lambda }^{l+m}\otimes {C_{ij}}^k{G}_k+lL({\lambda }^l\otimes G_i,{\lambda }^m\otimes G_j)C\\ & ={\lambda }^{l+m}\otimes {C_{ij}}^k{G}_k+l{\delta }_{l+m,0}K(G_i,G_j)C\\ & ={\lambda }^{l+m}\otimes {C_{ij}}^k{G}_k+l{\delta }_{l+m,0}{C_{ik}}^m{C_{jm}}^{k}C\\ & ={\lambda }^{l+m}\otimes {C_{ij}}^k{G}_k+l{\delta }_{l+m,0}{\delta }^{ij}C.\end{array}$

これは多項式ループ代数の普遍中心拡大であるテンプレート:Sfn．

用語の注意：物理学の用語では，上の代数はカッツ・ムーディ代数で通用するかもしれないが，数学ではそうではない．そのためには追加の次元，導分による拡大が必要である．それにもかかわらず，物理への応用で，テンプレート:Math の固有値あるいはその代表が（通常の）量子数と解釈されると，生成元の追加の superscript はレベルと呼ばれる．それは追加の量子数である．固有値がちょうどレベルである追加の作用素はさらに以下で導入される．

カレント代数

Murray Gell-Mannは，1969年のノーベル物理学賞受賞者で，1960年代にカレント代数の分野を創始した．それは，Adler–Weisberger sum rule のような，予測を引き出す台となる力学の知識さえなしに，知られている局所的な対称性を開発する．

テンプレート:Main article 多項式ループ代数の中心拡大の応用として，量子的場の理論のテンプレート:仮リンクが考えられる（背景）．Suppose one has a current algebra, with the interesting commutator being テンプレート:NumBlk with a Schwinger term. To construct this algebra mathematically, let テンプレート:Math be the centrally extended polynomial loop algebra of the previous section with

$[{\lambda }^l\otimes G_i+\mu C,{\lambda }^m\otimes G_j+\nu C]={\lambda }^{l+m}\otimes {C_{ij}}^k{G}_k+l{\delta }_{l+m,0}{\delta }_{ij}C$

as one of the commutation relations, or, with a switch of notation (テンプレート:Math) with a factor of テンプレート:Math under the physics convention,

$[T_a^m,T_b^n]=i{C_{ab}}^c{T}_c^{m+n}+m{\delta }_{m+n,0}{\delta }_{ab}C.$

Define using elements of テンプレート:Math,

$J_a(x)=\frac{\hslash }{L}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{2\pi inx}{L}}{T}_a^{-n},x\in ℝ.$

One notes that

$J_a(x+L)=J_a(x)$

so that it is defined on a circle. Now compute the commutator,

$\begin{array}{cc}[][J_a(x),J_b(y)]& ={\left(\frac{\hslash }{L}\right)}^2[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{2\pi inx}{L}}{T}_a^{-n},\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{2\pi imy}{L}}{T}_b^{-m}]\\ & ={\left(\frac{\hslash }{L}\right)}^2\sum _{m,n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{2\pi inx}{L}}{e}^{\frac{2\pi imy}{L}}[T_a^{-n},T_b^{-m}].\end{array}$

For simplicity, switch coordinates so that テンプレート:Math and use the commutation relations,

$\begin{array}{cc}[][J_a(z),J_b(0)]& ={\left(\frac{\hslash }{L}\right)}^2\sum _{m,n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{2\pi inz}{L}}[i{C_{ab}}^c{T}_c^{-m-n}+m{\delta }_{m+n,0}{\delta }_{ab}C]\\ & ={\left(\frac{\hslash }{L}\right)}^2\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{2\pi i(-m)z}{L}}\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}i{e}^{\frac{2\pi i(l)z}{L}}{C_{ab}}^c{T}_c^{-l}+{\left(\frac{\hslash }{L}\right)}^2\sum _{m,n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{2\pi inz}{L}}m{\delta }_{m+n,0}{\delta }_{ab}C\\ & =\left(\frac{\hslash }{L}\right)\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{2\pi imz}{L}}i{C_{ab}}^c{J}_c(z)-{\left(\frac{\hslash }{L}\right)}^2\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{2\pi inz}{L}}n{\delta }_{ab}C\end{array}$

Now employ the Poisson summation formula,

$\frac{1}{L}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{-2\pi inz}{L}}=\frac{1}{L}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (z+nL)=\delta (z)$

for テンプレート:Mvar in the interval テンプレート:Math and differentiate it to yield

$-\frac{2\pi i}{L^2}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}n{e}^{\frac{-2\pi inz}{L}}={\delta }^{\prime }(z),$

and finally

$[J_a(x-y),J_b(0)]=i\hslash {C_{ab}}^c{J}_c(x-y)\delta (x-y)+\frac{i{\hslash }^2}{2\pi }{\delta }_{ab}C{\delta }^{\prime }(x-y),$

or

$[J_a(x),J_b(y)]=i\hslash {C_{ab}}^c{J}_c(x)\delta (x-y)+\frac{i{\hslash }^2}{2\pi }{\delta }_{ab}C{\delta }^{\prime }(x-y),$

since the delta functions arguments only ensure that the arguments of the left and right arguments of the commutator are equal (formally テンプレート:Math).

By comparison with テンプレート:EquationNote, this is a current algebra in two spacetime dimensions, including a Schwinger term, with the space dimension curled up into a circle. In the classical setting of quantum field theory, this is perhaps of little use, but with the advent of string theory where fields live on world sheets of strings, and spatial dimensions are curled up, there may be relevant applications.

カッツ・ムーディ代数

テンプレート:仮リンク（左）はカナダの数学者で，カナダ王立協会の Fellow であり，アルバータ大学で働いている．Moody は Victor Kac とともにカッツ・ムーディ代数の co-discoverer である．Kac は MIT で働いているロシアの数学者で，American Mathematical Society の Fellow である．

前の節で 2-コサイクル テンプレート:Mvar の構成において用いられた導分 テンプレート:Math は中心拡大された多項式ループ代数，カッツ・ムーディ代数を実現するためここでは テンプレート:Math と書く，上の導分 テンプレート:Mvar に拡張できるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn（背景）．単純に

$D(P(\lambda )\otimes G+\mu C)=\lambda \frac{dP(\lambda )}{d\lambda }\otimes G)$

とおく，次に，ベクトル空間として

$𝔢=ℂd+𝔤$

と定義する．テンプレート:Math 上のリーブラケットは，導分との標準的な構成によれば，基底上次で与えられる：

$\begin{array}{cc}& [{\lambda }^m\otimes G_1+\mu C+\nu D,{\lambda }^n\otimes G_2+{\mu }^{\prime }C+{\nu }^{\prime }D]\\ & ={\lambda }^{m+n}\otimes [G_1,G_2]+m{\delta }_{m+n,0}K(G_1,G_2)C+\nu D({\lambda }^n\otimes G_1)-{\nu }^{\prime }D({\lambda }^m\otimes G_2)\\ & ={\lambda }^{m+n}\otimes [G_1,G_2]+m{\delta }_{m+n,0}K(G_1,G_2)C+\nu n{\lambda }^n\otimes G_1-{\nu }^{\prime }m{\lambda }^m\otimes G_2.\end{array}$

便宜上，

$G_i^m\leftrightarrow {\lambda }^m\otimes G_i$

と定義する．さらに，台有限次元単純リー環の基底は構造係数がすべての添え字で反対称となるようとられ基底は適切に正規化されていると仮定する．このとき定義より直ちに次の交換関係が分かる：

$\begin{array}{cc}[G_i^m,G_j^n]& ={C_{ij}}^k{G}_k^{m+n}+m{\delta }_{ij}{\delta }^{m+n,0}C,\\ [C,G_i^m]& =0,1\le i,j,N,m,n\in \mathbb{Z}\\ [D,G_i^m]& =m{G}_i^m\\ [D,C]& =0.\end{array}$

これらがちょうど untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数の簡略な記述である．要約するため，有限次元単純リー環からはじめる．係数がその有限次元単純リー環の形式ローラン多項式の空間を定義する．対称非退化交代双線型形式と導分の援助のうけ，2-コサイクルが定義され，続いて 2-コサイクルによる中心拡大の標準的な処方箋に用いられる．この新しい空間に導分を拡張し，導分による分裂拡大の標準的な処方箋を用い，untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数が得られる．

ヴィラソロ代数

テンプレート:Main article 目的はテンプレート:仮リンクによるヴィラソロ代数をヴィット代数 テンプレート:Mvar（背景）の 2-コサイクル テンプレート:Mvar による中心拡大として構成することである．2-コサイクルのヤコビ律より次が成り立つ： テンプレート:NumBlk テンプレート:Math とし テンプレート:Mvar の反対称性を用いて

$(m+p){\eta }_{mp}=(m-p){\eta }_{m+p,0}$

を得る．拡大において，元 テンプレート:Math に対する交換関係は

$[d_0+\mu C,d_m+\nu C{]}_{\phi }=-m{d}_m+{\eta }_{0m}C=-m(d_m-\frac{{\eta }_{0m}}{m}C)$

である．右辺の中心電荷を取り除くことが望ましい．このために

$f:W\to ℂ;d_m\to \frac{\phi (d_0,d_m)}{m}=\frac{{\eta }_{0m}}{m}$

と定義する．そして，テンプレート:Math を 1-コチェインとして用いて，

$\eta {\text{'}}_{0n}={\phi }^{\prime }(d_0,d_n)=\phi (d_0,d_n)+\delta f([d_0,d_n])=\phi (d_0,d_n)-n\frac{{\eta }^{0n}}{n}=0$

であるので，前のと同値なこの 2-コサイクルにより，

$[d_0+\mu C,d_m+\nu C{]}_{{\phi }^{\prime }}=-m{d}_m$

が成り立つ．この新しい 2-コサイクルにより（プライムは外して）条件は

$(n+p){\eta }_{mp}=(n-p){\eta }_{m+p,0}=0$

となり，したがって

${\eta }_{mp}=a(m){\delta }_{m.-p},a(-m)=-a(m)$

である，ただし最後の条件はリーブラケットの反対称性による．これと テンプレート:Math（テンプレート:Math の「平面」を切り出す）により テンプレート:EquationNote は

$(2m+p)a(p)+(m-p)a(m+p)+(m+2p)a(m)=0$

となり，テンプレート:Math（テンプレート:Math の「直線」を切り出す）として

$(m-1)a(m+1)-(m+2)a(m)+(2m+1)a(1)=0$

となる．これは一般に

$a(m)=\alpha m+\beta m^3$

で解かれる差分方程式である．すると テンプレート:Mvar の元の拡大における交換子は

$[d_l,d_m]=(l-m)d_{l+m}+(\alpha m+\beta m^3){\delta }_{l,-m}C$

である．テンプレート:Math のとき基底を変換して（あるいは 2-コサイクルを 2-コバウンダリによって修正して）

$[d{\text{'}}_l,d{\text{'}}_m]=(l-m)d_{l+m}$

とでき，中心電荷が全く現れず，したがって拡大は自明である．（これは テンプレート:Math のみがもともとの関係を得た前の修正の場合では（一般には）ない．）テンプレート:Math のとき基底の変換

$d{\text{'}}_l=d_l+{\delta }_{0l}\frac{\alpha +\gamma }{2}C$

により交換関係は

$[d{\text{'}}_l,d{\text{'}}_m]=(l-m)d{\text{'}}_{l+m}+(\gamma m+\beta m^3){\delta }_{l,-m}C$

の形で，テンプレート:Mvar について線型な部分は自明である．それはまた テンプレート:Math が 1 次元である（テンプレート:Mvar の選択に対応）ことも示している．慣習的な選択は テンプレート:Math と取り任意の対象 テンプレート:Mvar に任意の因子を吸収することによって自由性をなお保持する．するとヴィラソロ代数 テンプレート:Mvar は

$𝒱=𝒲+ℂC$

であり，交換関係は

$[d_l+\mu C,d_m+\nu C]=(l-m)d_{l+m}+\frac{(m-m^3)}{12}{\delta }_{l,-m}C$

である．

ボゾン開弦

テンプレート:Main article The relativistic classical open string (background) is subject to quantization. This roughly amounts to taking the position and the momentum of the string and promoting them to operators on the space of states of open strings. Since strings are extended objects, this results in a continuum of operators depending on the parameter テンプレート:Mvar. The following commutation relations are postulated in the Heisenberg picture.

$\begin{array}{cc}[X^I(\tau ,\sigma ),{𝒫}^{\tau J}(\tau ,\sigma )]& =i{\eta }^{IJ}\delta (\sigma -{\sigma }^{\prime }),\\ [x_0^{-}(\tau ),p^{+}(\tau )]& =-i.\end{array}$

All other commutators vanish.

Because of the continuum of operators, and because of the delta functions, it is desirable to express these relations instead in terms of the quantized versions of the Virasoro modes, the Virasoro operators. These are calculated to satisfy

$[{\alpha }_m^I,{\alpha }_n^J]=m{\eta }^{IJ}{\delta }_{m+n,0}$

They are interpreted as creation and annihilation operators acting on Hilbert space, increasing or decreasing the quantum of their respective modes. If the index is negative, the operator is a creation operator, otherwise it is an annihilation operator. (If it is zero, it is proportional to the total momentum operator.) In view of the fact that the light cone plus and minus modes were expressed in terms of the transverse Virasoro modes, one must consider the commutation relations between the Virasoro operators. These were classically defined (then modes) as

$L_n=\frac{1}{2}\sum _{p\in \mathbb{Z}}{\alpha }_{n-p}^I{\alpha }_p^I.$

Since, in the quantized theory, the alphas are operators, the ordering of the factors matter. In view of the commutation relation between the mode operators, it will only matter for the operator テンプレート:Math (for which テンプレート:Math). テンプレート:Math is chosen normal ordered,

$L_0=\frac{1}{2}{\alpha }_0^I{\alpha }_0^I+\sum _{p=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_{-p}^I{\alpha }_p^I,={\alpha }^{\prime }{p}^I{p}^I+\sum _{p=1}^{\mathrm{\infty }}p{\alpha }_p^{I†}{\alpha }_p^I+c$

where テンプレート:Mvar is a possible ordering constant. One obtains after a somewhat lengthy calculation the relations

$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n},m+n\ne 0.$

If one would allow for テンプレート:Math above, then one has precisely the commutation relations of the Witt algebra. Instead one has

$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{D-2}{12}(m^3-m){\delta }_{m+n,0},\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{Z}.$

upon identification of the generic central term as テンプレート:Math times the identity operator, this is the Virasoro algebra, the universal central extension of the Witt algebra.

The operator テンプレート:Math enters the theory as the Hamiltonian, modulo an additive constant. Moreover, the Virasoro operators enter into the definition of the Lorentz generators of the theory. It is perhaps the most important algebra in string theory. The consistency of the Lorentz generators, by the way, fixes the spacetime dimensionality to 26. While this theory presented here (for relative simplicity of exposition) is unphysical, or at the very least incomplete (it has, for instance, no fermions) the Virasoro algebra arises in the same way in the more viable superstring theory and M-theory.

群の拡大

テンプレート:Main article リー群 テンプレート:Mvar の射影表現 テンプレート:Math（背景）は，いわゆる群拡大 テンプレート:Math を定義するのに使うことができる．

量子力学において，ウィグナーの定理は，テンプレート:Mvar が対称変換群であるとき，それはユニタリあるいは反ユニタリ作用素によってヒルベルト空間上射影的に表現されるということを述べている．これはしばしば，テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクにうつりそれを対称変換群ととることで扱われる．これは回転群 テンプレート:Math やローレンツ群 テンプレート:Math に対してはうまくいくが，対称変換群がテンプレート:仮リンクのときはうまくいかない．この場合その中心拡大であるバーグマン群テンプレート:Sfnにうつらなければならない．これはシュレディンガー方程式の対称変換群である．同様に，テンプレート:Math, 位置と運動量の空間の平行移動の群のとき，その中心拡大であるハイゼンベルク群にうつらなければならない．

テンプレート:Mvar を テンプレート:Math から誘導される テンプレート:Mvar 上の 2-コサイクルとする．集合として

$G_{\mathrm{e}\mathrm{x}}={ℂ}^{*}\times G=\{(\lambda ,g)\mid \lambda \in ℂ,g\in G\}$

と定義し，乗法を

$({\lambda }_1,g_1)({\lambda }_2,g_2)=({\lambda }_1{\lambda }_2\omega (g_1,g_2),g_1{g}_2)$

で定義する．結合性は テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上の 2-コサイクルだから成り立つ．単位元については

$(1,e)(\lambda ,g)=(\lambda \omega (e,g),g)=(\lambda ,g)=(\lambda ,g)(1,e)$

が成り立ち，逆元は

$(\lambda ,g{)}^{-1}=(\frac{1}{\lambda \omega (g,g^{-1})},g^{-1})$

である．集合 テンプレート:Math は テンプレート:Math の可換部分群である．これは テンプレート:Math が半単純でないことを意味する．テンプレート:Mvar の中心 テンプレート:Math はこの部分群を含む．中心はより大きいかもしれない．

リー環のレベルでは，テンプレート:Math のリー環 テンプレート:Math はベクトル空間としては

${𝔤}_{\mathrm{e}\mathrm{x}}=ℂC\oplus 𝔤$

で与えられリーブラケットは

$[\mu C+G_1,\nu C+G_2]=[G_1,G_2]+\eta (G_1,G_2)C$

であることを示すことができる．ここで テンプレート:Mvar は テンプレート:Mathbf 上の 2-コサイクルである．この 2-コサイクルはおおいに非自明な方法ではあるが テンプレート:Mvar から得ることができる

さて射影表現 テンプレート:Math を用いて写像 テンプレート:Math を

${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{e}\mathrm{x}}((\lambda ,g))=\lambda \mathrm{\Pi }(g)$

で定義できる．それは次の性質を持つ：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{e}\mathrm{x}}(({\lambda }_1,g_1)){\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{e}\mathrm{x}}(({\lambda }_2,g_2))\\ & ={\lambda }_1{\lambda }_2\mathrm{\Pi }(g_1)\mathrm{\Pi }(g_2)={\lambda }_1{\lambda }_2\omega (g_1,g_2)\mathrm{\Pi }(g_1{g}_2)\\ & ={\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{e}\mathrm{x}}({\lambda }_1{\lambda }_2\omega (g_1,g_2),g_1{g}_2)={\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{e}\mathrm{x}}(({\lambda }_1,g_1)({\lambda }_2,g_2)).\end{array}$

なので テンプレート:Math は テンプレート:Math の本物の表現である．

ウィグナーの定理の文脈では，状況をそのようなものとして描写できる（テンプレート:Math を テンプレート:Math でおきかえる）；テンプレート:Math でヒルベルト空間 テンプレート:Mvar における単位球面を表し，テンプレート:Math をその内積とする．テンプレート:Math で テンプレート:仮リンク を表し，テンプレート:Math で テンプレート:仮リンク を表す．さらに波矢印で群作用を表す．すると図式

は可換である，すなわち

${\pi }_2\circ {\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{e}\mathrm{x}}((\lambda ,g))(\psi )=\mathrm{\Pi }\circ \pi (g)({\pi }_1(\psi )),\psi \in S\mathscr{H}$

である．さらに，テンプレート:Math が テンプレート:Math を保つ テンプレート:Math の対称性であるのと同様に，テンプレート:Math は テンプレート:Math を保つ テンプレート:Math の対称性である．テンプレート:Math のファイバーはすべて円である．これらの円は テンプレート:Math の作用で不変である．これらのファイバーへの テンプレート:Math の作用は推移的で固定点がない．結論は，テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の主ファイバー束で，構造群は テンプレート:Math である．

背景資料

拡大を適切に議論するためには，リー環の定義性質を超えた構造が必要である．これらについての基本的な事実がクイック・リファレンスのためここに集められている．

導分

リー環 テンプレート:Mathbf 上の導分（微分）テンプレート:Mvar とは，写像

$\delta :𝔤\to 𝔤$

であって，ライプニッツ則

$\delta [G_1,G_2]=[\delta G_1,G_2]+[G_1,\delta G_2]$

が成り立つもののことである．リー環 テンプレート:Mathbf 上の導分全体の集合は テンプレート:Math と書かれる．それはそれ自身リーブラケット

$[{\delta }_1,{\delta }_2]={\delta }_1\circ {\delta }_2-{\delta }_2\circ {\delta }_1$

のもとでリー環である．それは テンプレート:Mathbf の自己同型の群 テンプレート:Math のリー環であるテンプレート:Sfn．

$\delta [G_1,G_1]=[\delta G_1,G_2]+[G_1,\delta G_2]⟺e^{t\delta }[G_1,G_2]=[e^{t\delta }{G}_1,e^{t\delta }{G}_2],\mathrm{\forall }t\in ℝ$

を示さなければならない．右側が成り立てば，微分して テンプレート:Math とおけば左側が成り立つ．左側 テンプレート:Math が成り立てば，右側を

$[G_1,G_2]\stackrel{?}{=}{e}^{-t\delta }[e^{t\delta }{G}_1,e^{t\delta }{G}_2]$

と書き，この式の右辺を微分する．それは，テンプレート:Math を用いて，恒等的に テンプレート:Math である．したがってこの式の右辺は テンプレート:Mvar に依らず，テンプレート:Math に対するその値に等しく，これはこの式の左辺である．

テンプレート:Math ならば，テンプレート:Math によって作用する テンプレート:Math は導分である．集合 テンプレート:Math は テンプレート:Mathbf 上の内部微分全体の集合である．有限次元単純リー環に対して，すべての微分は内部微分であるテンプレート:Sfn．

半直積（群）

テンプレート:Main article 2つのリー群 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar と，テンプレート:Mvar の自己同型群 テンプレート:Math を考える．後者は テンプレート:Mvar の同型の群である．リー群の準同型 テンプレート:Math があれば，各 テンプレート:Math に対して，ある テンプレート:Math が存在して，性質 テンプレート:Math を持つ．テンプレート:Mvar で"集合" テンプレート:Math を表し，乗法を次で定義する： テンプレート:NumBlk このとき テンプレート:Math は単位元 テンプレート:Math を持つ群であり，逆元は テンプレート:Math によって与えられる．逆元の式と式 テンプレート:EquationNote を用いて，テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar において正規であることが分かる．この半直積による群を テンプレート:Math と書く．

逆に，テンプレート:Math が群 テンプレート:Mvar の与えられた半直積表示ならば，定義により テンプレート:Math は テンプレート:Math において正規であり，各 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math, ただし テンプレート:Math, であり，写像 テンプレート:Math は準同型である．

さてリー対応を利用しよう．写像 テンプレート:Math はそれぞれ，リー環のレベルで，写像 テンプレート:Math を誘導する．この写像は テンプレート:NumBlk によって計算される．例えば，テンプレート:Math と テンプレート:Math がともに大きい群 テンプレート:Mvar の部分群であり，テンプレート:Math であるとき， テンプレート:NumBlk であり，テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の テンプレート:Mathbf 上の随伴作用 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar に制限したものと認識する．さて テンプレート:Math [ テンプレート:Math if テンプレート:Math is finite-dimensional] は準同型であり，もう1度リー対応に訴え，一意的なリー環準同型 テンプレート:Math が存在する．この写像は（形式的には） テンプレート:NumBlk で与えられ，例えば，テンプレート:Math ならば，（形式的には） テンプレート:NumBlk である，ただし テンプレート:Math と随伴作用 テンプレート:Math とのテンプレート:仮リンクで厳密に証明されている関係が使われている．

リー環

リー環は，ベクトル空間として，テンプレート:Math である．これは テンプレート:Math が テンプレート:Math を生成し テンプレート:Math だから明らかである．リーブラケットは次で与えられるテンプレート:Sfn：

$[H_1+G_1,H_2+G_2{]}_{𝔢}=[H_1,H_2{]}_{𝔥}+{\psi }_{G_1}(H_2)-{\psi }_{G_2}(H_1)+[G_1,G_2{]}_{𝔤}.$

コホモロジー

テンプレート:Main article 現在の目的，理論の限られた部分の考察には，リー環のコホモロジーが十分である．定義は最も可能な一般的なものではなく，最もよく使われるものでさえないが，それらの言い及ぶ対象はより一般の定義の真正の例である．

2-コサイクル

主な興味の対象は テンプレート:Mathbf 上の 2-コサイクルであり，双線型交代関数

$\varphi :𝔤\times 𝔤\to F$

であって，ヤコビ律に似た 2-コサイクルのヤコビ律と呼ばれる性質

$\varphi (G_1,[G_2,G_3])+\varphi (G_2,[G_3,G_1])+\varphi (G_3,[G_1,G_2])=0$

を持つものとして定義される．

テンプレート:Math 上のすべての 2-コサイクルの集合は テンプレート:Math と書かれる．

1-コチェインからくる 2-コサイクル

ある 2-コサイクルは 1-コチェインから得ることができる．テンプレート:Mathbf 上の 1-コチェインは単に線型写像 テンプレート:Math である．すべてのそのような写像の集合は テンプレート:Math と書かれ，もちろん（少なくとも有限次元の場合には）テンプレート:Math である．1-コチェイン テンプレート:Mvar を用いて，2-コサイクル テンプレート:Math が

$\delta f(G_1,G_2)=f([G_1,G_2])$

によって定義できる．交代性は直ちに分かり，2-コサイクルのヤコビ律は（通常どおり）それを書き出して材料の定義と性質（ここでは テンプレート:Mathbf 上のヤコビ律と テンプレート:Mvar の線型性）を用いて示される．線型写像

テンプレート:Math

は（ここでは テンプレート:Math に制限されているが）コバウンダリ作用素と呼ばれる．

第二コホモロジー群

テンプレート:Math の テンプレート:Mvar による像を テンプレート:Math と書く．商

$H^2(𝔤,𝔽)=Z^2(𝔤,𝔽)/B^2(𝔤,𝔽)$

は テンプレート:Mathbf の第二コホモロジー群と呼ばれる．テンプレート:Math の元は 2-コサイクルの同値類であり，二つの 2-コサイクル テンプレート:Math, テンプレート:Math が同値なコサイクルであるとは，それらの差が 2-コバウンダリであること，すなわち テンプレート:Math となる テンプレート:Math があることをいう．同値な 2-コサイクルはコホモロガス (cohomologous) と呼ばれる．テンプレート:Math の同値類は テンプレート:Math と書かれる．

これらの概念はいくつかの方向に一般化される．各記事を参照．

構造定数

テンプレート:Main article テンプレート:Math を テンプレート:Mathbf のハメル基底とする．このとき各 テンプレート:Math は適切な大きさのある添え字集合 テンプレート:Mvar に対して

$G=\sum _{\alpha \in A}{c}_{\alpha }{G}_{\alpha },c_{\alpha }\in F,G_{\alpha }\in B$

と一意的に書ける．この表示において，有限個の テンプレート:Math だけが 0 でない．以下では（簡単のため）基底は可算であり，添え字にはラテン文字が使われ，添え字集合は テンプレート:Math にとれると仮定する．ただちに基底元に対して

$[G_i,G_j]={C_{ij}}^k{G}_k$

が分かる，ただしアインシュタインの和の規約を用いている．構造定数の添え字の配置（上か下か）は重要ではない．次の定理は有用である：

定理：構造定数がすべての添え字について反対称な基底がそんざいすることと，リー環が単純コンパクトリー環と テンプレート:Math リー環の直和であることは同値である．これは テンプレート:Mathbf 上の実正定値計量 テンプレート:Mvar であって不変性条件

$g_{\alpha \beta }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }=-g_{\gamma \beta }{C^{\beta }}_{\alpha \delta }$

を任意の基底について満たすものが存在することと同値である．この最後の条件は場の量子論において非可換ゲージ理論の物理的理由のため必要である．したがって，単純リー環のコンパクト形上の Cartan catalog（テンプレート:Math など）を用いて，可能なゲージ理論の無限リストを作ることができる．1つのそのようなゲージ理論は標準模型の テンプレート:Math ゲージ理論でありそのリー環は テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn．

キリング形式

テンプレート:Main article キリング形式は次で定義される テンプレート:Mathbf 上の対称双線型形式である：

$K(G_1,G_2)=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}({\mathrm{a}\mathrm{d}}_{G_1}{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{G_2}).$

ここで テンプレート:Math はベクトル空間 テンプレート:Mathbf に作用する行列と見なされる．必要な大事な性質は，テンプレート:Math が半単純ならばテンプレート:仮リンクにより テンプレート:Mvar は非退化であるということである．そのような場合 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math と テンプレート:Math を同一視するのに使うことができる．テンプレート:Math ならば，ある テンプレート:Math が存在して，

$⟨\lambda ,G⟩=K(G_{\lambda },G)\mathrm{\forall }G\in 𝔤$

となる．これはリースの表現定理に似ており，証明は実質的には同じである．キリング形式は性質

$K([G_1,G_2],G_3)=K(G_1,[G_2,G_3])$

を持ち，これは結合性と呼ばれる．テンプレート:Math と定義し中のブラケットを構造定数により展開することで，キリング形式は上の不変性条件を満たすことが分かる．

ループ代数

テンプレート:Main article テンプレート:仮リンクは単位円周 テンプレート:Math からリー群 テンプレート:Mvar への滑らかな写像の群に群構造を テンプレート:Mvar 上の群構造によって定義したものとして取られる．するとループ群のリー環は テンプレート:Math から テンプレート:Mvar のリー環 テンプレート:Math への写像のベクトル空間である．そのようなリー環の任意の部分環はループ代数と呼ばれる．ここでは注意は次の形の多項式ループ代数に当てられる：

$\{h:S^1\to 𝔤\mid h(\lambda )=\sum {\lambda }^n{G}_n,n\in \mathbb{Z},\lambda =e^{i\theta }\in S^1,G_n\in 𝔤\}.$

少し考えるとこれらは テンプレート:Mvar が テンプレート:Math から テンプレート:Math まで行くとき テンプレート:Math 内のループであることが確かめられる．演算は テンプレート:Math の演算によって点ごとに定義されるものである．この代数は代数

$C[\lambda ,{\lambda }^{-1}]\otimes 𝔤$

に同型である，ただし テンプレート:Math はローラン多項式の代数であり，

$\sum {\lambda }^k{G}_k\leftrightarrow \sum {\lambda }^k\otimes G_k$

と対応する．リーブラケットは

$[P(\lambda )\otimes G_1,Q(\lambda )\otimes G_2]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_1,G_2]$

である．この後者の視点により元は（定数！）係数が テンプレート:Mathbf の多項式と考えることができる．基底と構造定数のことばでは，

$[{\lambda }^m\otimes G_i,{\lambda }^n\otimes G_j]={C_{ij}}^k{\lambda }^{m+n}\otimes G_k$

である．異なる表記

${\lambda }^m\otimes G_i\cong {\lambda }^m{G}_i\leftrightarrow T_i^m(\lambda )\equiv T_i^m$

をすることも一般的である，ただし テンプレート:Mvar の省略は混乱を避けるため心に留めておくべきである；元は実際には関数 テンプレート:Math である．するとリーブラケットは

$[T_i^m,T_j^n]={C_{ij}}^k{T}_k^{m+n}$

であり，これは以下で導入される untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数において中心項"なし"の交換関係の1つとして実現可能である．テンプレート:Math として，テンプレート:Math に同型な部分代数が得られる．（定義をさかのぼることで分かるように）それは テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への定数写像の集合を生成し，これは テンプレート:Math が全射のとき（たとえば テンプレート:Mvar がコンパクトのとき）明らかに）テンプレート:Math に同型である．テンプレート:Math がコンパクトならば，テンプレート:Mathbf の基底 テンプレート:Math を テンプレート:Math が歪エルミートであるように選ぶことができる．結果として，

$T_i^{n†}=({\lambda }^n{G}_i{)}^{†}=-{\lambda }^{-n}{G}_i=-T_i^{-n}$

である．そのような表現はユニタリと呼ばれる，なぜならば代表元

$H(\lambda )=e^{{\theta }_n^k{T}_k^{-n}}\in G$

がユニタリだからである．ここで，テンプレート:Mvar の下の添え字のマイナスは慣習であり，和の規約が使われ，テンプレート:Mvar は（定義により）右辺の テンプレート:Math たちに埋もれている．

カレント代数（物理）

テンプレート:Anchors カレント代数は場の量子論において大域的ゲージ対称性の結果として生じる． Conserved currents occur in classical field theories whenever the Lagrangian respects a continuous symmetry. This is the content of Noether's theorem. Most (perhaps all) modern quantum field theories can be formulated in terns of classical Lagrangians (prior to quantization), so Noether's theorem applies in the quantum case as well. Upon quantization, the conserved currents are promoted to position dependent operators on Hilbert space. These operators are subject to commutation relations, generally forming an infinite-dimensional Lie algebra. A model illustrating this is presented below.

To enhance the flavor of physics, factors of テンプレート:Math will appear here and there as opposed to in the mathematical conventions.

Consider a column vector テンプレート:Math of scalar fields テンプレート:Math. Let the Lagrangian density be

$ℒ={\partial }_{\mu }{\varphi }^{†}{\partial }^{\mu }\varphi -m^2{\varphi }^{†}\varphi .$

This Lagrangian is invariant under the transformation

$\varphi \mapsto e^{-i\sum _{a=1}^r{\alpha }^a{F}_a}\varphi ,$

where テンプレート:Math are generators of either テンプレート:Math or a closed subgroup thereof, satisfying

$[F_a,F_b]=i{C_{ab}}^c{F}_c.$

Noether's theorem asserts the existence of テンプレート:Math conserved currents,

$J_a^{\mu }=-{\pi }^{\mu }i{F}_a\varphi ,{\pi }^{k\mu }=\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\mu }{\varphi }_k)},$

where テンプレート:Math is the momentum canonically conjugate to テンプレート:Math. The reason these currents are said to be conserved is because

${\partial }_{\mu }{J}_a^{\mu }=0,$

and consequently

$Q_a(t)=\int J_a^0{d}^{3}x=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\equiv Q_a,$

the charge associated to the charge density テンプレート:Math is constant in time. This (so far classical) theory is quantized promoting the fields and their conjugates to operators on Hilbert space and by postulating (bosonic quantization) the commutation relationsテンプレート:Sfn

$\begin{array}{cc}[{\varphi }_k(t,x),{\pi }^l(t,x)]& =i\delta (x-y){\delta }_k^l,\\ [{\varphi }_k(t,x),{\varphi }_l(t,x)]& =[{\pi }^k(t,x),{\pi }^l(t,x)]=0.\end{array}$

The currents accordingly become operators They satisfy, using the above postulated relations, the definitions and integration over space, the commutation relations

$\begin{array}{cc}[J_a^0(t,𝐱),J_b^0(t,𝐲)]& =i\delta (𝐱-𝐲){C_{ab}}^c{J}_c^0(ct,𝐱)\\ [Q_a,Q_b]& =i{Q_{ab}}^c{Q}_c\\ [Q_a,J_b^{\mu }(t,𝐱)]& =i{C_{ab}}^c{J}_c^{\mu }(t,𝐱),\end{array}$

where the speed of light and the reduced Planck's constant have been set to unity. The last commutation relation does not follow from the postulated commutation relations (these are fixed only for テンプレート:Math, not for テンプレート:Math), except for テンプレート:Math For テンプレート:Math the Lorentz transformation behavior is used to deduce the conclusion. The next commutator to consider is

$[J_a^0(t,𝐱),J_b^i(t,𝐲)]=i{C_{ab}}^c{J}_c^i(t,𝐱)\delta (𝐱-𝐲)+S_{ab}^{ij}{\partial }_j\delta (𝐱-𝐲)+\cdots .$

The presence of the delta functions and their derivatives is explained by the requirement of microcausality that implies that the commutator vanishes when テンプレート:Math. Thus the commutator must be a distribution supported at テンプレート:Math.テンプレート:Sfn The first term is fixed due to the requirement that the equation should, when integrated over テンプレート:Math, reduce to the last equation before it. The following terms are the Schwinger terms. They integrate to zero, but it can be shown quite generallyテンプレート:Sfn that they must be nonzero.

アファイン・カッツ・ムーディ代数

テンプレート:Anchors テンプレート:Main article テンプレート:Math を テンプレート:Math 次元複素単純リー環で次のような正規化された基底をもつものとする：構造定数はすべての添え字について反対称であり，交換関係は

$[G_i,G_j]={C_{ij}}^k{G}_k,1\le i,j,N$

である．untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数 テンプレート:Math は次のようにして得られる．各 テンプレート:Math に対して基底をコピーし（コピーたちを相異なると見て），ベクトル空間として

$\overline{𝔤}=FC\oplus FD\oplus \underset{1\le i\le \mathbb{N},m\in \mathbb{Z}}{⨁}F{G}_m^i$

とおき，交換関係を

$\begin{array}{cc}[G_i^m,G_j^n]& ={C_{ij}}^k{G}_k^{m+n}+m{\delta }_{ij}{\delta }^{m+n,0}C,\\ [C,G_i^m]& =0,1\le i,j,N,m,n\in \mathbb{Z}\\ [D,G_i^m]& =m{G}_i^m\\ [D,C]& =0\end{array}$

と定める．テンプレート:Math ならば，テンプレート:Math で張られる部分代数は明らかに上の多項式ループ代数と同一である．

ヴィット代数

エルンスト・ヴィット (1911–1991), ドイツの数学者．ヴィット環は，1930年代に有限体上彼によって研究されたが，最初1909年にカルタンによって複素数の場合に調べられた．

テンプレート:Main article ヴィット代数は，エルンスト・ヴィットに因んで名づけられており，円周 テンプレート:Math 上の滑らかなベクトル場のリー環 テンプレート:Math の複素化である．座標では，そのようなベクトル場は

$X=f(\phi )\frac{d}{d\phi }$

と書け，リーブラケットはベクトル場のリーブラケットで，テンプレート:Math 上単に次で与えられる：

$[X,Y]=[f\frac{d}{d\phi },g\frac{d}{d\phi }]=(f\frac{dg}{d\phi }-g\frac{df}{d\phi })\frac{d}{d\phi }.$

代数は テンプレート:Math と書かれる．テンプレート:Mvar の基底は次の集合で与えられる：

$\{d_n,n\in \mathbb{Z}\}=\{i{e}^{in\phi }\frac{d}{d\phi }=-z^{n+1}\frac{d}{dz}|n\in \mathbb{Z}\}.$

この基底は次を満たす：

$[d_l,d_m]=(l-m)d_{l+m}\equiv {C_{lm}}^n{d}_n=(l-m){\delta }_{l+m}^n{d}_n,l,m,n\in \mathbb{Z}.$

このリー環は有用な中心拡大，ヴィラソロ代数をもつ．それは テンプレート:Math と テンプレート:Math に同型な 3 次元部分代数を持つ．各 テンプレート:Math に対し，集合 テンプレート:Math は テンプレート:Math に同型な部分代数を張る．

射影表現

テンプレート:Main article テンプレート:Mvar がテンプレート:仮リンクのとき，リー環の元 テンプレート:Mvar は

$G=\frac{d}{dt}{(g(t))|}_{t=0}$

によって与えることができる，ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Math で単位元を通る テンプレート:Mvar 内の微分可能な道である．リー環の元の交換子は2つの道 テンプレート:Math と群の交換子を用いて計算できる：

$[G_1,G_2]=\frac{d}{dt}{g_1(t)g_2(t)g_1(t{)}^{-1}{g}_2(t{)}^{-1}|}_{t=0},G_1={g_1}^{\prime }(0),G_2={g_2}^{\prime }(0).$

同様に，群の表現 テンプレート:Math が与えられると，そのリー環 テンプレート:Math は次で計算される：

$\begin{array}{cc}[][U_1,U_2]& =\frac{d}{dt}{U(g_1(t))U(g_2(t))U(g_1(t){)}^{-1}U(g_2(t){)}^{-1}|}_{t=0}\\ & =\frac{d}{dt}{U(g_1(t)g_2(t)g_1(t{)}^{-1}{g}_2(t{)}^{-1})|}_{t=0},G_1={g_1}^{\prime }(0),G_2={g_2}^{\prime }(0).\end{array}$

すると テンプレート:Math と テンプレート:Math の間の基底を基底に送りしたがって テンプレート:Math が テンプレート:Mathbf の忠実表現であるようなリー環の同型が存在する．

しかしながら テンプレート:Math がテンプレート:仮リンク，すなわち位相因子を除いた表現ならば，群の表現から計算されるリー環は，テンプレート:Math に同型ではない．射影表現において乗法の規則は

$U(g_1)U(g_2)=\omega (g_1,g_2)U(g_1{g}_2)=e^{i\xi (g_1,g_2)}U(g_1{g}_2)$

である．関数 テンプレート:Mvar は，しばしば滑らかと仮定されるが，次を満たす：

$\begin{array}{cc}\omega (g,e)& =\omega (e,g)=1,\\ \omega (g_1,g_2{g}_3)\omega (g_2,g_3)& =\omega (g_1,g_2)\omega (g_1{g}_2,g_3)\\ \omega (g,g^{-1})& =\omega (g^{-1},g).\end{array}$

それは テンプレート:Mvar じょうの 2-コサイクルと呼ばれる．

次が成り立つ：

$\begin{array}{cc}[][U_1,U_2]& =\frac{d}{dt}{U(g_1(t))U(g_2(t))U(g_1(t){)}^{-1}U(g_2(t){)}^{-1}|}_{t=0}\\ & =\frac{d}{dt}{e^{i\xi (g_1,g_2)\xi (g_1^{-1},g_2^{-1})\xi (g_1{g}_2,g_1^{-1}{g}_2^{-1})}U(g_1(t)g_2(t)g_1(t{)}^{-1}{g}_2(t{)}^{-1})|}_{t=0}\\ & \equiv \frac{d}{dt}{\mathrm{\Omega }(g_1,g_2)U(g_1(t)g_2(t)g_1(t{)}^{-1}{g}_2(t{)}^{-1})|}_{t=0}\\ & ={\frac{dU(g_1(t)g_2(t)g_1(t{)}^{-1}{g}_2(t{)}^{-1})}{dt}|}_{t=0}+{\frac{d\mathrm{\Omega }(g_1,g_2)}{dt}|}_{t=0}I,G_1={g_1}^{\prime }(0),G_2={g_2}^{\prime }(0),\end{array}$

なぜならば テンプレート:Math と テンプレート:Mvar はともに テンプレート:Math において単位元になるからである．位相因子 テンプレート:Mvar の説明は，テンプレート:仮リンクを参照．テンプレート:Mathbf における基底に対する交換関係

$[G_i,G_j]=C_{ij}^k{G}_k$

は テンプレート:Math において

$[U_i,U_j]=C_{ij}^k{U}_k+D_{ij}I$

となるので， テンプレート:Math がブラケットで閉じている（したがって実際にリー環である可能性を持つ）ためには，中心電荷 テンプレート:Math が含まれていなければならない．

Relativistic classical string theory

テンプレート:Main article A classical relativistic string traces out a world sheet in spacetime, just like a point particle traces out a world line. This world sheet can locally be parametrized using two parameters テンプレート:Mvar and テンプレート:Mvar. Points テンプレート:Math in spacetime can, in the range of the parametrization, be written テンプレート:Math. One uses a capital テンプレート:Mvar to denote points in spacetime actually being on the world sheet of the string. Thus the string parametrization is given by テンプレート:Math. The inverse of the parametrization provides a local coordinate system on the world sheet in the sense of manifolds.

The equations of motion of a classical relativistic string derived in the Lagrangian formalism from the Nambu–Goto action are

$\begin{array}{cc}\frac{\partial {𝒫}_{\mu }^{\tau }}{\partial \tau }+\frac{\partial {𝒫}_{\mu }^{\sigma }}{\partial \sigma }=0,{𝒫}_{\mu }^{\tau }& =-\frac{T_0}{c}\frac{(\dot{X}\cdot X^{\prime })X{\text{'}}_{\mu }-(X^{\prime }{)}^2{\dot{X}}_{\mu }}{\sqrt{(\dot{X}\cdot X^{\prime }{)}^2-(\dot{X}{)}^2(X^{\prime }{)}^2}},\\ {𝒫}_{\mu }^{\sigma }& =-\frac{T_0}{c}\frac{(\dot{X}\cdot X^{\prime })X{\text{'}}_{\mu }-(\dot{X}{)}^{2}X{\text{'}}_{\mu }}{\sqrt{(\dot{X}\cdot X^{\prime }{)}^2-(\dot{X}{)}^2(X^{\prime }{)}^2}}.\end{array}$

A dot over a quantity denotes differentiation with respect to テンプレート:Mvar and a prime differentiation with respect to テンプレート:Mvar. A dot between quantities denotes the relativistic inner product.

These rather formidable equations simplify considerably with a clever choice of parametrization called the light cone gauge. In this gauge, the equations of motion become

${\ddot{X}}^{\mu }-{X^{\mu }}^{″}=0,$

the ordinary wave equation. The price to be paid is that the light cone gauge imposes constraints,

${\dot{X}}^{\mu }\cdot {X^{\mu }}^{\prime }=0,(\dot{X}{)}^2+(X^{\prime }{)}^2=0,$

so that one cannot simply take arbitrary solutions of the wave equation to represent the strings. The strings considered here are open strings, i.e. they don't close up on themselves. This means that the Neumann boundary conditions have to be imposed on the endpoints. With this, the general solution of the wave equation (excluding constraints) is given by

$X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_0^{\mu }+2{\alpha }^{\prime }{p}_0^{\mu }\tau -i\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n=1}(a_n^{\mu *}{e}^{in\tau }-a_n^{\mu }{e}^{-in\tau })\frac{\cos n\sigma }{\sqrt{n}},$

where テンプレート:Math is the slope parameter of the string (related to the string tension). The quantities テンプレート:Math and テンプレート:Math are (roughly) string position from the initial condition and string momentum. If all the テンプレート:Math are zero, the solution represents the motion of a classical point particle.

This is rewritten, first defining

${\alpha }_0^{\mu }=\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{a}_{\mu },{\alpha }_n^{\mu }=a_n^{\mu }\sqrt{n},{\alpha }_{-n}^{\mu }=a_n^{\mu *}\sqrt{n},$

and then writing

$X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_0^{\mu }+\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{\alpha }_0^{\mu }\tau +i\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n\ne 0}\frac{1}{n}{\alpha }_n^{\mu }{e}^{-in\tau }\cos n\sigma .$

In order to satisfy the constraints, one passes to light cone coordinates. For テンプレート:Math, where テンプレート:Math is the number of space dimensions, set

$\begin{array}{cc}{X}^I(\sigma ,\tau )& =x_0^I+\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{\alpha }_0^I\tau +i\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n\ne 0}\frac{1}{n}{\alpha }_n^I{e}^{-in\tau }\cos n\sigma ,\\ X^{+}(\sigma ,\tau )& =\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{\alpha }_0^{+}\tau ,\\ X^{-}(\sigma ,\tau )& =x_0^{-}+\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{\alpha }_0^{-}\tau +i\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}\sum _{n\ne 0}\frac{1}{n}{\alpha }_n^{-}{e}^{-in\tau }\cos n\sigma .\end{array}$

Not all テンプレート:Math are independent. Some are zero (hence missing in the equations above), and the "minus coefficients" satisfy

$\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{\alpha }_n^{-}=\frac{1}{2p^{+}}\sum _{p\in \mathbb{Z}}{\alpha }_{n-p}^I{\alpha }_p^I.$

The quantitity on the left is given a name,

$\sqrt{2{\alpha }^{\prime }}{\alpha }_n^{-}\equiv \frac{1}{p^{+}}{L}_n,L_n=\frac{1}{2}\sum _{p\in \mathbb{Z}}{\alpha }_{n-p}^I{\alpha }_p^I,$

the transverse Virasoro mode.

When the theory is quantized, the alphas, and hence the テンプレート:Math become operators.

関連項目

• 群コホモロジー
• テンプレート:仮リンク (Inönu–Wigner contraction)
• 群の拡大
• リー環のコホモロジー
• テンプレート:仮リンク

参考文献

書籍

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