1の冪根

テンプレート:Expand English 1の冪根（いちのべきこん、テンプレート:Lang-en-short）または1の累乗根（いちのるいじょうこん）とは、数学において冪乗して 1 になる（冪単である）数のことである。すなわち、ある自然数 テンプレート:Mvar が存在して

テンプレート:Math2

となる テンプレート:Mvar のことである。通常は複素数の範囲で考えるが、場合によっては [[p進数|テンプレート:Mvar進数]]のような他の数の体系内で考える場合もある。以下では主として複素数の場合について述べる。

1 の テンプレート:Mvar乗根の内、テンプレート:Math2 乗しても決して 1 にならず、テンプレート:Mvar乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。全ての自然数 テンプレート:Mvar に対する 1 の原始テンプレート:Mvar乗根を総称し、1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。

1の原始冪根

複素数の範囲では、1 の原始テンプレート:Mvar乗根は テンプレート:Math2 のとき2つ以上存在する。ド・モアブルの定理より、

${\zeta }_n=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$

は 1 の原始テンプレート:Mvar乗根の一つであることが分かる。この時、テンプレート:Mvar の共役複素数 テンプレート:Math も 1 の原始テンプレート:Mvar乗根である。テンプレート:Mvar と互いに素な自然数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar は 1 の原始テンプレート:Mvar乗根であり、逆に 1 の原始テンプレート:Mvar乗根はこの形に表せる。すなわち、1 の原始テンプレート:Mvar乗根は、オイラーのφ関数を用いて、テンプレート:Math 個だけ存在する。

方程式 テンプレート:Math を考える。この方程式の解は、ド・モアブルの定理より、

$x=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}(k=1,2,\cdots ,n)$

であるが、1 の原始テンプレート:Mvar乗根 テンプレート:Mvar を一つ選べば、

$x={{\xi }_n}^k(k=1,2,\cdots ,n)$

と書くことができる。

また上記のように根を三角関数で表すことは容易であるが、それが根号を用いて表示できること、つまり方程式が代数的にも可解であることはガウスにより証明された。

1の原始冪根の例

以下、テンプレート:Mvar は虚数単位である。

• ${\xi }_2=-1$
• ${\xi }_3=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$（[[立方根#性質|しばしば テンプレート:Mvar と書かれる]]）
• ${\xi }_4=\pm i$
• ${\xi }_5=\frac{-1+\sqrt{5}\pm i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4},\frac{-1-\sqrt{5}\pm i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$
• ${\xi }_6=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$
• ${\xi }_8=\frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{2}i}{2},\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{2}i}{2}$

性質

• 1 の冪根は全て、複素数平面における単位円周上にある。また概要で述べたことより、1 の テンプレート:Mvar乗根の全体は、位数 テンプレート:Mvar の巡回群である。これは円周群の正規部分群である。
• 複素係数の方程式 テンプレート:Math2（テンプレート:Mvar は複素数）の解は、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar乗根を任意に一つ選んで テンプレート:Math と表せば、

  テンプレート:Math

となる。

• 1 の テンプレート:Mvar乗根は、複素数平面では、単位円に内接する[[正多角形|正テンプレート:Mvar角形]]の頂点である。この正テンプレート:Mvar角形の重心は原点 テンプレート:Math であるから、1 の原始テンプレート:Mvar乗根の一つを テンプレート:Mvar とすると、次の等式が成り立つ：

$\sum _{k=0}^{n-1}{{\xi }_n}^k=1+{\xi }_n+{{\xi }_n}^2+\cdots +{{\xi }_n}^{n-2}+{{\xi }_n}^{n-1}=0$

関連項目

• 冪根
• 代数的数
• 円分多項式
• 円分体

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語

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