クリフォード代数

数学において、クリフォード代数 (クリフォードだいすう、テンプレート:Lang-en-short) は結合多元環の一種である。[[体上の多元環|テンプレート:Mvar-代数]]として、それらは実数、複素数、四元数、そしていくつかの他の超複素数系を一般化する。クリフォード代数の理論は二次形式と直交変換の理論と密接な関係がある。クリフォード代数は幾何学、理論物理学、デジタル画像処理を含む種々の分野において重要な応用を持つ。イギリス人幾何学者ウィリアム・キングドン・クリフォードにちなんだ名称である。

最もよく知られたクリフォード代数、あるいは直交クリフォード代数 (ちょっこうクリフォードだいすう、テンプレート:Lang-en-short) は、リーマンクリフォード代数 (リーマンクリフォードだいすう、テンプレート:Lang-en-short) とも呼ばれるテンプレート:Rp。

導入と基本的性質

クリフォード代数は二次形式 テンプレート:Mvar を伴った体 テンプレート:Mvar 上のベクトル空間 テンプレート:Mvar を含み，それによって生成される単位的結合多元環である。クリフォード代数 テンプレート:Math は次の条件を満たす テンプレート:Mvar から生成される「最も自由な」代数であるテンプレート:Efn：

$v^2=Q(v)1(\mathrm{\forall }v\in V),$

ただし左辺の積はクリフォード代数としての積であり、1 は乗法単位元である。

クリフォード代数の定義は「裸の」(bare) [[体上の多元環|テンプレート:Mvar-代数]]よりも多くの構造をそれに与える： 特にそれは テンプレート:Mvar に同型な特定の、あるいは特別に選ばれた部分空間を持つ。そのような部分空間はクリフォード代数に同型な テンプレート:Mvar-代数のみが与えられても一般には一意には決まらない。

基礎体 テンプレート:Mvar の標数が 2 でなければ、この基本関係式を次の形に書き直すことができる：

$uv+vu=2⟨u,v⟩1(\mathrm{\forall }u,v\in V),$

ただし

$⟨u,v⟩=\frac{1}{2}(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))$

は極化恒等式(polarization identity)によって テンプレート:Mvar と結びついた対称双線型形式である。この関係式を満たす「最も自由な」 (freest) あるいは「最も一般」 (most general) な代数であることのアイデアは普遍性の概念を通じて下記でされるように正式に表現できる。

標数 2 の場合の二次形式とクリフォード代数は例外的な場合になる。特に、テンプレート:Math であれば、二次形式が対称双線型形式を決定すること、あるいはすべての二次形式が直交基底を持つということは正しくない。この記事のステートメントの多くは標数が 2 でないという条件を含み、条件が除かれると誤りである。

外積代数の量子化として

クリフォード代数は外積代数と近い関係にある。実は、テンプレート:Math であればクリフォード代数 テンプレート:Math はちょうど外積代数 テンプレート:Math になる。零ではない テンプレート:Mvar に対して基礎体 テンプレート:Mvar の標数が 2 でないときにはいつでも テンプレート:Math と テンプレート:Math の間の自然な「線型」同型が存在する。つまり、それらはベクトル空間として自然に同型であるが、異なる乗法を与える（標数 2 の場合にはそれらはなおベクトル空間として同型であるが、自然にではない）。指定された部分空間とクリフォード乗法を合わせたものはその内容が外積代数にくらべるて真により豊かである、なぜならば テンプレート:Mvar がもたらす追加の情報を使うからである。

より正確には、ワイル代数が対称代数の量子化であるのと同じ方法で、クリフォード代数は外積代数の量子化（cf. 量子群）であると考えることができる。

ワイル代数とクリフォード代数ではさらに *-環という構造を持ち、CCR and CAR algebras において議論されているように、テンプレート:仮リンクの偶項と奇項として統一できる。

普遍的な性質と構成

テンプレート:Mvar を体 テンプレート:Mvar 上のベクトル空間とし、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 上の二次形式とする。興味のあるたいていのケースでは体 テンプレート:Mvar は実数体 R か複素数体 C か有限体である。

クリフォード代数 テンプレート:Math は次の普遍性によって定義されるすべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math を満たす線型写像 テンプレート:Math を伴った テンプレート:Mvar 上の単位的結合多元環である： テンプレート:Mvar 上の任意の結合代数 A と

テンプレート:Math

（ただし 1テンプレート:Sub は A の乗法単位元を表す）なる任意の線型写像 テンプレート:Math が与えられると、次の図式が交換する一意的なテンプレート:仮リンク テンプレート:Math （すなわち テンプレート:Math）が存在する：

（標数≠2 において）テンプレート:Mvar の代わりに対称双線型形式 テンプレート:Math で考えると、j に対する要求は次のようになる。

$j(v)j(w)+j(w)j(v)=2⟨v,w⟩1_A(\mathrm{\forall }v,w\in V).$

上で記述された性質をもつクリフォード代数はつねに存在して次のように構成できる： テンプレート:Mvar を含む最も一般的な代数、すなわちテンソル代数 テンプレート:Math で始め、それから適切な商を取ることによって基本関係式が成り立つようにする。この場合

$v\otimes v-Q(v)1(\mathrm{\forall }v\in V)$

の形のすべての元によって生成された テンプレート:Math の両側イデアル テンプレート:Mvar を取り除くために、テンプレート:Math を商代数

テンプレート:Math

として定義する。この商によって継承される環の積はときどきクリフォード積 (Clifford product) と呼ばれテンプレート:Sfn 外積やスカラー積などとは別のものとして区別される。

すると テンプレート:Math は テンプレート:Mvar を含みかつ上の普遍性質を満たすことが直ちに示せてそのことから テンプレート:Mvar は同型を除いて一意に決まる； われわれが "the" Clifford algebra テンプレート:Math というときはそのような意味である。この構成から テンプレート:Mvar が単射であることも従う。通常は テンプレート:Mvar を テンプレート:Math の部分線型空間であるように考えて テンプレート:Mvar を書かずに省く。

上記のようなクリフォード代数の普遍的な特徴づけは テンプレート:Math の構成が事実上関手的であることを示している。すなわち、テンプレート:Mvar は二次形式を持ったベクトル空間の圏（射は二次形式を保つ線型写像）から結合代数への関手と考えることができる。普遍性は（二次形式を保つ）ベクトル空間の間の線型写像を結合クリフォード代数の間のテンプレート:仮リンクとして一意に拡張できることを保証する。

基底と次元

ベクトル空間テンプレート:Mvar の体 テンプレート:Mvar 上の次元が テンプレート:Mvar であり テンプレート:Math が テンプレート:Math のテンプレート:仮リンクであれば、 クリフォード代数 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上自由でその基底（の 1 つ）は以下で与えられる。

$\{e_{i_1}{e}_{i_2}\cdots e_{i_k}\mid 1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n\text{ and }0\le k\le n\}$.

空積 (テンプレート:Math) は代数の乗法の単位元として定義される。k の各値に対して ${}_n{C}_k$ 個の基底元が存在する、したがってクリフォード代数の総次元は

$\dim C\ell (V,Q)=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=2^n.$

テンプレート:Mvar は二次形式を伴っているので、テンプレート:Mvar の 特別な基底として直交基底を選べる。テンプレート:仮リンク は

$⟨e_i,e_j⟩=0$ for $i\ne j$, and $⟨e_i,e_i⟩=Q(e_i)$

であるような基底である。ただし テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に伴う対称双線型形式である。基本クリフォード関係式とはこの直交基底に対する積が

$e_i{e}_j=-e_j{e}_i\text{ for }i\ne j,\text{ and }{e}_i^2=Q(e_i)$

であることを意味している。このことにより直交基底ベクトルの扱いは極めて簡単になる。テンプレート:Mvar の相異なる直交基底ベクトルの積 $e_{i_1}{e}_{i_2}\cdots e_{i_k}$ が与えられたとき、それを基底の添字が標準の順序になるように並べ替えることは、それに必要な二元ごとの入れ替えの回数により決まる符号（すなわち整列させるための置換の符号）を付ければできる。

例： 実および複素のクリフォード代数

最も重要なクリフォード代数は非退化2次形式を備えた実および複素ベクトル空間上のものである。

代数 テンプレート:Math と テンプレート:Math の各々は テンプレート:Mvar あるいは テンプレート:Math に同型である、ただし テンプレート:Mvar は成分が テンプレート:Mathbf あるいは テンプレート:Mathbf から来る全行列環、ということが明らかになる。これらの代数の完全な分類はテンプレート:仮リンクを見よ。

実係数の場合

テンプレート:Main 実クリフォード代数の幾何学的な解釈はテンプレート:仮リンクとして知られている。

有限次元実ベクトル空間上のすべての非退化2次形式は標準対角形式

$Q(v)=v_1^2+\cdots +v_p^2-v_{p+1}^2-\cdots -v_{p+q}^2$

に同値である、ただし テンプレート:Math はベクトル空間の次元である。整数の組 (p, q) は二次形式の符号数と呼ばれる。この二次形式を持った実ベクトル空間はしばしば テンプレート:Math と表記される。テンプレート:Math 上のクリフォード代数は テンプレート:Math と表記される。記号 テンプレート:Math は著者が正定値と不定値の空間どちらを好むかによって テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math を意味する。

テンプレート:Math の標準正規直交基底 テンプレート:Math は互いに直交する テンプレート:Math 個のベクトルからなり、そのうち p 個はノルム +1 を持ち、q 個はノルム −1 を持つ。代数 テンプレート:Math は従って平方して +1 になる p 個のベクトルと平方して −1 になる q 個のベクトルを持つ。

テンプレート:Math は自然に テンプレート:Mathbf に同型であることに注意する。0 でないベクトルはないからである。テンプレート:Math は平方して −1 になるただ 1 つのベクトル テンプレート:Math によって生成される 2 次元の代数なので複素数体 テンプレート:Mathbf に同型である。代数 テンプレート:Math は テンプレート:Math によって張られる 4 次元の代数である。後ろ 3 つの元は平方して −1 になりすべて反交換するので、代数は四元数体 テンプレート:Mathbf に同型である。テンプレート:Math は テンプレート:Ill2と呼ばれる直和 テンプレート:Math に同型な 8 次元の代数である。

複素係数の場合

複素ベクトル空間上でもクリフォード代数を考えることができる。複素ベクトル空間上のすべての非退化二次形式は標準対角形式

$Q(z)=z_1^2+z_2^2+\cdots +z_n^2$

ただし テンプレート:Math、に同型を除いて同値であり、したがって各次元 n に対してただ1つの非退化なクリフォード代数が存在する。標準二次形式を持った Cテンプレート:Sup 上のクリフォード代数を テンプレート:Math と表記しよう。

最初のいくつかの場合の計算は難しくはなくて

テンプレート:Math: 複素数体

テンプレート:Math: 双複素数環

テンプレート:Math: テンプレート:Ill2環

であることがわかる、ただし テンプレート:Math は テンプレート:Mathbf 上 テンプレート:Math 行列の代数を表す。

例：四元数と双対四元数の構成

四元数

このセクションにおいて、ハミルトンの四元数がクリフォード代数 テンプレート:Math の偶部分代数として構成される。

ベクトル空間 テンプレート:Mvar を実 3 次元空間 Rテンプレート:Sup とし、二次形式 テンプレート:Mvar を通常のユークリッド計量から入れる。すると、二次形式あるいはスカラー積は テンプレート:Math に対して

$𝐯\cdot 𝐰=v_1{w}_1+v_2{w}_2+v_3{w}_3.$

となる。いま次式で与えられるベクトル v と w のクリフォード積を導入する

$𝐯𝐰+𝐰𝐯=-2(𝐯\cdot 𝐰).$

この定式化は負の符号を用いることで四元数との対応を示すことを容易にしている。

Rテンプレート:Sup の直交単位ベクトルの集合を eテンプレート:Sub, eテンプレート:Sub, eテンプレート:Sub として表記すると、クリフォード積は関係

${𝐞}_2{𝐞}_3=-{𝐞}_3{𝐞}_2,{𝐞}_3{𝐞}_1=-{𝐞}_1{𝐞}_3,{𝐞}_1{𝐞}_2=-{𝐞}_2{𝐞}_1,$

および

${𝐞}_1^2={𝐞}_2^2={𝐞}_3^2=-1$

を生み出す。クリフォード代数 テンプレート:Math の一般の元は

$A=a_0+a_1{𝐞}_1+a_2{𝐞}_2+a_3{𝐞}_3+a_4{𝐞}_2{𝐞}_3+a_5{𝐞}_3{𝐞}_1+a_6{𝐞}_1{𝐞}_2+a_7{𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3$

によって与えられる。

テンプレート:Math の偶次数元の線型結合は一般元

$Q=q_0+q_1{𝐞}_2{𝐞}_3+q_2{𝐞}_3{𝐞}_1+q_3{𝐞}_1{𝐞}_2$

とともに テンプレート:Math の偶部分代数を定義する。基底元は四元数基底元 テンプレート:Mvar と

$i={𝐞}_2{𝐞}_3,j={𝐞}_3{𝐞}_1,k={𝐞}_1{𝐞}_2$

として同一視することができ、これは偶部分代数 テンプレート:Math はハミルトンの実四元数代数であることを示している。

これを見るには、

$i^2=({𝐞}_2{𝐞}_3{)}^2={𝐞}_2{𝐞}_3{𝐞}_2{𝐞}_3=-{𝐞}_2{𝐞}_2{𝐞}_3{𝐞}_3=-1,$

と

$ij={𝐞}_2{𝐞}_3{𝐞}_3{𝐞}_1=-{𝐞}_2{𝐞}_1={𝐞}_1{𝐞}_2=k$

を計算する。最後に、

$ijk={𝐞}_2{𝐞}_3{𝐞}_3{𝐞}_1{𝐞}_1{𝐞}_2=-1.$

双対四元数

このセクションにおいて、テンプレート:仮リンクが退化二次形式を持った実四次元空間の偶クリフォード代数として構成される。

ベクトル空間 テンプレート:Mvar を実四次元空間 Rテンプレート:Sup とし、二次形式 テンプレート:Mvar を Rテンプレート:Sup 上のユークリッド距離から入る退化形式とする。v, w ∈ Rテンプレート:Sup に対して、退化双線型形式

$d(𝐯,𝐰)=v_1{w}_1+v_2{w}_2+v_3{w}_3.$

を導入する。この退化スカラー積は Rテンプレート:Sup における距離測定を Rテンプレート:Sup の超平面に全射で射影する。

ベクトル v と w のクリフォード積は

$𝐯𝐰+𝐰𝐯=-2d(𝐯,𝐰)$

によって与えられる。負号は四元数との対応を簡単にするために導入していることに注意しよう。

Rテンプレート:Sup の直交単位ベクトルの集合を eテンプレート:Sub, eテンプレート:Sub, eテンプレート:Sub, eテンプレート:Sub として表記すると、クリフォード積は関係

${𝐞}_m{𝐞}_n=-{𝐞}_n{𝐞}_m,m\ne n,$

と

${𝐞}_1^2={𝐞}_2^2={𝐞}_3^2=-1,{𝐞}_4^2=0$

を生み出す。

クリフォード代数 テンプレート:Math の一般元は 16 個の成分を持つ。偶次数付けられた元の線型結合は次の形の一般元を持った偶部分代数 テンプレート:Math を定義する

$H=h_0+h_1{𝐞}_2{𝐞}_3+h_2{𝐞}_3{𝐞}_1+h_3{𝐞}_1{𝐞}_2+h_4{𝐞}_4{𝐞}_1+h_5{𝐞}_4{𝐞}_2+h_6{𝐞}_4{𝐞}_3+h_7{𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3{𝐞}_4.$

基底元は四元数基底元 テンプレート:Mvar と双対単位 テンプレート:Mvar と

$i={𝐞}_2{𝐞}_3,j={𝐞}_3{𝐞}_1,k={𝐞}_1{𝐞}_2,\epsilon ={𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3{𝐞}_4$

として同一視できる。これは テンプレート:Math の双対四元数代数との対応を提供する。

これを見るには、次式を計算する

${\epsilon }^2=({𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3{𝐞}_4{)}^2={𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3{𝐞}_4{𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3{𝐞}_4=-{𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3({𝐞}_4{𝐞}_4){𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3=0,$

と

$\epsilon i=({𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3{𝐞}_4){𝐞}_2{𝐞}_3={𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3{𝐞}_4{𝐞}_2{𝐞}_3={𝐞}_2{𝐞}_3({𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3{𝐞}_4)=i\epsilon .$

eテンプレート:Sub と eテンプレート:Sub の交換は偶数回符号を交代し、双対単位 テンプレート:Mvar が四元数基底元 テンプレート:Mvar と交換することを示す。

性質

外積代数との関係

ベクトル空間 テンプレート:Mvar が与えられると外積代数 テンプレート:Math を構成でき、その次元は テンプレート:Mvar 上のどんな二次形式からも独立である。テンプレート:Mvar が標数 2 でなければ テンプレート:Math と テンプレート:Math の間にベクトル空間として考えて自然な同型が存在する（そして標数が 2 でない場合には自然でないかもしれない同型が存在する）ということが判明する。これが代数同型であることと テンプレート:Math は同値である。したがってクリフォード代数 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar に依存した積で テンプレート:Mvar 上の外積代数を豊かにしたもの（あるいはより正確には、量子化、 cf. 導入）と考えることができる（外積はなお テンプレート:Mvar とは独立に定義できる）。

同型を確立する最も易しい方法は テンプレート:Mvar の直交基底 {eテンプレート:Sub} をとりそれを上で述べられたように テンプレート:Math の基底に拡張することである。写像 テンプレート:Math は

$e_{i_1}{e}_{i_2}\cdots e_{i_k}\mapsto e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge \cdots \wedge e_{i_k}$

によって決定される。これは基底 テンプレート:Math が直交しているときにのみうまくいくことに注意しよう。この写像は直交基底の選択とは独立であり従って自然同型を与えることを示すことができる。

テンプレート:Mvar の標数が 0 であれば、反対称化によっても同型を確立できる。関数 テンプレート:Math を

$f_k(v_1,\cdots ,v_k)=\frac{1}{k!}\sum _{\sigma \in S_k}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}$

によって定義する、ただし和は k 個の元の上の置換群を渡って取られる。fテンプレート:Sub はテンプレート:仮リンクなのでそれは一意的な線型写像 テンプレート:Math を誘導する。これらの写像の直和は テンプレート:Math と テンプレート:Math の間の線型写像を与える。この写像は線型同型であることを示すことができ、それは自然である。

関係を見るより洗練された方法は テンプレート:Math 上テンプレート:仮リンクを構成することである。テンソル代数 T(V) は自然なフィルトレーションを持つことを思い出そう： テンプレート:Math、ただし Fテンプレート:Sup は テンプレート:Mvar-階以下のテンソルの和を含む。これをクリフォード代数に射影することで テンプレート:Math 上のフィルトレーションが得られる。伴う次数代数

$\underset{F}{\mathrm{Gr}}C\ell (V,Q)=\underset{k}{⨁}{F}^k/F^{k-1}$

は自然に外積代数 テンプレート:Math に同型である。フィルター代数の伴う次数代数は（すべての テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Mvar のコンポーネントを Fテンプレート:Sup の中に選ぶことによって）つねにフィルターベクトル空間としてフィルター代数に同型であるから、これは任意の標数において、2 でさえも、（自然なものではないが）同型を提供する。

次数付け

以降では標数は 2 でないとするテンプレート:Efn。

クリフォード代数は Zテンプレート:Sub-次数代数（テンプレート:仮リンクとしても知られている）である。実際、テンプレート:Math によって定義される テンプレート:Mvar 上の線型写像（テンプレート:仮リンク）は二次形式 テンプレート:Mvar を保存ししたがってクリフォード代数の普遍性によって代数自己同型

テンプレート:Math

に拡張する。α は対合（すなわち自乗すると恒等関数になる）であるから、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の正と負の固有空間に分解できる

$C\ell (V,Q)=C{\ell }^0(V,Q)\oplus C{\ell }^1(V,Q)$

ただし テンプレート:Math。テンプレート:Mvar は自己同型であるから

$C{\ell }^i(V,Q)C{\ell }^j(V,Q)=C{\ell }^{i+j}(V,Q)$

が従う、ただし右上の添え字は modulo 2 で読まれる。これは テンプレート:Math に Zテンプレート:Sub-次数代数の構造を与える。部分空間 テンプレート:Math は テンプレート:Math の部分代数をなし、偶部分代数 (even subalgebra) と呼ばれる。部分空間 テンプレート:Math は テンプレート:Math の奇成分 (odd part) と呼ばれる（部分代数ではない）。この Zテンプレート:Sub-次数付けはクリフォード代数の解析と応用において重要な役割を果たす。自己同型 α は主対合 (main involution) あるいは次数付き対合 (grade involution) と呼ばれる。この Zテンプレート:Sub-次数付けにおいて pure な元は単に even あるいは odd と呼ばれる。

注意

標数が 2 でなければ テンプレート:Math の基礎ベクトル空間は N-次数付けと Z-次数付けを外積代数 テンプレート:Math の基礎ベクトル空間との自然な同型から受け継ぐテンプレート:Efn。しかしながら、これはベクトル空間の次数付けでしかないことに注意することは重要である。つまり、クリフォード乗法は N-次数付けや Z-次数付けをリスペクトせず、Zテンプレート:Sub-次数付けだけなのである： 例えば テンプレート:Math であれば テンプレート:Math だが テンプレート:Math であって テンプレート:Math に入らない。幸運なことに、次数付けは自然な方法で関係している： テンプレート:Math。さらに、クリフォード代数は Z-テンプレート:仮リンクである： テンプレート:Math。クリフォード数の次数 (degree) は通常 N-次数付けにおける次数のことである。

クリフォード代数の偶部分代数 テンプレート:Math はそれある自身クリフォード代数に同型であるテンプレート:Efnテンプレート:Efnテンプレート:Mvar がノルム テンプレート:Math の部分空間 U のベクトル a の直交直和であれば、テンプレート:Math は テンプレート:Math に同型である、ただし テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に制限され テンプレート:Math を掛けた形式 テンプレート:Mvar である。特に実数体上これは次を意味する

$C{\ell }_{p,q}^0(𝐑)\cong C{\ell }_{p,q-1}(𝐑)(q>0),$

$C{\ell }_{p,q}^0(𝐑)\cong C{\ell }_{q,p-1}(𝐑)(p>0)$

負定値の場合にはこれは包含 テンプレート:Math を与え、列を拡張する

テンプレート:Math;

同様に、複素の場合には、テンプレート:Math の偶部分代数は テンプレート:Math に同型であることを示せる。

反自己同型写像

自己同型 α に加えて、クリフォード代数の解析において重要な役割を果たす 2 つのテンプレート:仮リンクが存在する。テンソル代数 T(V) はすべての積の順序を逆にする反自己同型とともに来ることを思い出そう：

$v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_k\mapsto v_k\otimes \cdots \otimes v_2\otimes v_1.$

イデアル テンプレート:Mvar はこの反転の下で不変なので、この演算は テンプレート:Math の反自己同型に降り、転置 (transpose) あるいは反転 (reversal) 演算と呼ばれ、テンプレート:Mvar によって表記される。この反転は反自己同型である： テンプレート:Math。転置演算は Zテンプレート:Sub-次数付けを全く使わないので2つ目の反自己同型を テンプレート:Mvar と転置を合成することによって定義する。この演算をクリフォード共役 (Clifford conjugation) と呼び テンプレート:Math と表記する

$\overline{x}=\alpha {(}^{t}x)={}^t(\alpha (x)).$

2 つの反自己同型のうち転置はより基本的であるテンプレート:Efn。

これらの演算は全て対合であることに注意しよう。それらは Z-次数付けにおいて pure な元上 ±1 として作用することを示すことができる。実際、すべての 3 つの演算は次数 modulo 4 にしか依らない。つまり、テンプレート:Mvar が pure で次数 テンプレート:Mvar であれば、

$\alpha (x)=\pm x{}^{t}x=\pm x\overline{x}=\pm x$

ただし符号は以下の表によって与えられる：

k mod 4	0	1	2	3
$\alpha (x)$	+	−	+	−	(−1)テンプレート:Sup
${}^{t}x$	+	+	−	−	(−1)テンプレート:Sup
$\overline{x}$	+	−	−	+	(−1)テンプレート:Sup

クリフォードスカラー積

標数が 2 でないとき、テンプレート:Mvar 上の二次形式 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math のすべての上の二次形式に拡張することができる（これも テンプレート:Mvar によって表記する）。1 つのそのような拡張の基底に依存しない定義は

$Q(x)=⟨{}^{t}xx⟩$

ただし $⟨a⟩$ は a のスカラー部分（Z-次数付けにおいて次数 0 の部分）を表記する。

$Q(v_1{v}_2\cdots v_k)=Q(v_1)Q(v_2)\cdots Q(v_k)$

を示すことができる、ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の元である – この恒等式は テンプレート:Math の任意の元に対しては正しく「ない」。

テンプレート:Math 上の伴う対称双線型形式は

$⟨x,y⟩=⟨{}^{t}xy⟩$

によって与えられる。これは テンプレート:Mvar に制限されたときにもとの双線型形式に戻ることを確認できる。 テンプレート:Math のすべての上の双線型形式が非退化であることとそれが テンプレート:Mvar 上非退化であることは同値である。

転置はこの内積に関して左/右クリフォード乗法の随伴であることを証明するのは難しくない。つまり、

$⟨ax,y⟩=⟨x,{}^{t}ay⟩,$

および

$⟨xa,y⟩=⟨x,y{}^{t}a⟩.$

クリフォード代数の構造

この節ではベクトル空間 テンプレート:Mvar の次元は有限であり テンプレート:Mvar の双線型形式は非特異であると仮定する。テンプレート:Mvar 上の中心単純代数は中心が テンプレート:Mvar の（有限次元）可除代数上の行列代数である。例えば、実数体上の中心単純代数は実数体あるいは四元数体上の行列代数である。

• テンプレート:Mvar の次元が偶数であれば テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の中心単純代数である。
• テンプレート:Mvar の次元が偶数であれば テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の二次拡大上の中心単純代数であるかまたは テンプレート:Mvar 上の 2 つの同型な中心単純代数の和である。
• テンプレート:Mvar の次元が奇数であれば テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の二次拡大上の中心単純代数であるかまたは テンプレート:Mvar 上の 2 つの同型な中心単純代数の和である。
• テンプレート:Mvar の次元が奇数であれば テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の中心単純代数である。

以下の結果を用いるとクリフォード代数の構造は明示的に解明される。テンプレート:Mvar の次元は偶数で判別式 d の非特異双線型形式を持っているとし、テンプレート:Mvar は二次形式を持つ別の空間とする。テンプレート:Math のクリフォード代数は テンプレート:Mvar と テンプレート:Math のクリフォード代数のテンソル積に同型であり、後者はその二次形式に テンプレート:Math を掛けた空間 テンプレート:Mvar である。これは実数体上では特に次のことを意味する

$C{\ell }_{p+2,q}(𝐑)=M_2(𝐑)\otimes C{\ell }_{q,p}(𝐑)$

$C{\ell }_{p+1,q+1}(𝐑)=M_2(𝐑)\otimes C{\ell }_{p,q}(𝐑)$

$C{\ell }_{p,q+2}(𝐑)=𝐇\otimes C{\ell }_{q,p}(𝐑).$

これらの公式を用いることで実と複素のすべてのクリフォード代数の構造が導かれる。テンプレート:仮リンクを見よ。

とりわけ、クリフォード代数の森田同値類（その表現論： それ上の加群の圏の同値類）は符号 テンプレート:Math のみに依っている。これはテンプレート:仮リンクの代数的な形である。

クリフォード群

クリフォード群のクラスはルドルフ・リプシッツ (Rudolf Lipschitz) によって発見されたテンプレート:Sfn。

このセクションにおいて テンプレート:Mvar は有限次元で二次形式 テンプレート:Mvar は非退化であると仮定する。

クリフォード代数の元へのその可逆元の群による作用はひねられた共軛 (twisted conjugation) の言葉によって定義できる。テンプレート:Mvar は テンプレート:Math と写す、ただし テンプレート:Mvar は上で定義された main involution、による twisted conjugation。

クリフォード群 Γ はこの作用の下でベクトルを安定化する (stabilize vectors) 可逆元 テンプレート:Mvar の集合として定義される。これが意味するのは テンプレート:Mvar のすべての テンプレート:Mvar に対して：

$xv\alpha (x{)}^{-1}\in V.$

この公式はまたノルム テンプレート:Mvar を保つベクトル空間 テンプレート:Mvar 上のクリフォード群の作用を定義し、従ってクリフォード群から直交群への準同型を与える。クリフォード群はノルムが 0 でない テンプレート:Mvar のすべての元 r を含み、これらは v を テンプレート:Math に持っていく対応する鏡映によって テンプレート:Mvar 上作用する。（標数 2 においてこれらは鏡映ではなく「直交移換」(orthogonal transvection) と呼ばれる。）

クリフォード群 Γ は2 つの部分集合 Γテンプレート:Sup と Γテンプレート:Sup の非交和である、ただし Γテンプレート:Sup は次数 i の元の部分集合である。部分集合 Γテンプレート:Sup は Γ において指数 2 の部分群である。

V が正定値（あるいは負定値）二次形式を持った有限次元実ベクトル空間であればクリフォード群は（カルタン・デュドネの定理によって）その形式に関して テンプレート:Mvar の直交群に全射し核は体 テンプレート:Mvar の 0 でない元からなる。これは次の完全列を導く

$1\to K^{*}\to \mathrm{\Gamma }\to {\mathrm{O}}_V(K)\to 1,$

$1\to K^{*}\to {\mathrm{\Gamma }}^0\to {\mathrm{SO}}_V(K)\to 1.$

他の体上あるいは不定値形式では、写像は一般には全射ではなく、失敗はスピノルノルムによってとらえられる。

スピノルノルム

任意の標数において、スピノルノルム テンプレート:Mvar はクリフォード群上

$Q(x)={}^{t}xx.$

によって定義される。それはクリフォード群から テンプレート:Mvar の非零元の群 テンプレート:Mvar への準同型である。それは テンプレート:Mvar をクリフォード代数の部分空間と同一視したときに V の二次形式 テンプレート:Mvar と一致する。著者によってはスピノルノルムの定義が僅かに異なり、ここでのものとは Γテンプレート:Sup 上 −1, 2, あるいは −2 の因子によって異なる。違いは標数が 2 でなければそれほど重要ではない。

テンプレート:Mvar の 0 でない元は体 テンプレート:Mvar の非零元の平方の群 テンプレート:Math にスピノルノルムを持つ。なので V が有限次元で非特異なとき テンプレート:Mvar の直交群から群 テンプレート:Math への誘導写像を得、これもまたスピノルノルムと呼ばれる。ベクトル テンプレート:Mvar の鏡映のスピノルノルムは テンプレート:Math において像 テンプレート:Math を持ち、この性質は直交群上それを一意的に定義する。これは次の完全列を与える：

$1\to \{\pm 1\}\to {\mathrm{Pin}}_V(K)\to {\mathrm{O}}_V(K)\to K^{*}/K^{*2},$

$1\to \{\pm 1\}\to {\mathrm{Spin}}_V(K)\to {\mathrm{SO}}_V(K)\to K^{*}/K^{*2}.$

標数 2 においては群 {±1} はただ 1 つの元を持つことに注意せよ。

代数群のガロワコホモロジーの視点から、スピノルノルムはコホモロジーの連結準同型である。1 の平方根の代数群（標数が 2 でない体上それは大雑把には自明なガロワ作用を持った 2 元群と同じである）を μテンプレート:Sub と書くと、短完全列

$1\to {\mu }_2\to {\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{n}}_V\to {\mathrm{O}}_V\to 1$

はコホモロジーの長完全列を生み出し、それは

$1\to H^0({\mu }_2;K)\to H^0({\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{n}}_V;K)\to H^0({\mathrm{O}}_V;K)\to H^1({\mu }_2;K)$

で始まる。テンプレート:Mvar に係数を持つ代数群の 0 次ガロワコホモロジー群は単に テンプレート:Mvar-値点の群である： テンプレート:Math、および テンプレート:Math, よって前の列を復元する：

$1\to \{\pm 1\}\to {\mathrm{Pin}}_V(K)\to {\mathrm{O}}_V(K)\to K^{*}/K^{*2},$

ただしスピノルノルムは連結準同型 テンプレート:Math である。

スピン群とピン群

テンプレート:Main 本節において テンプレート:Mvar は有限次元でありその双線型形式は非特異であると仮定する。（テンプレート:Mvar が標数 2 であればこれは テンプレート:Mvar の次元が偶数であることを含む。）

ピン群 テンプレート:Math はスピノルノルム ±1 の元のクリフォード群 Γ の部分群であり、同様にスピン群 テンプレート:Math は テンプレート:Math においてディクソン不変量 0 の元の部分群である。標数が 2 でないとき、これらは行列式 1 の元である。スピン群は通常ピン群において指数 2 を持つ。

クリフォード群から直交群への全射準同型が存在することを直前のセクションから思い出そう。特殊直交群を Γテンプレート:Sup の像として定義する。テンプレート:Mvar の標数が 2 でなければこれは単に直交群の行列式 1 の元の群である。テンプレート:Mvar の標数が 2 であれば、直交群のすべての元は行列式 1 をもち、特殊直交群はディクソン不変量 0 の元の集合である。

ピン群から直交群への準同型が存在する。像はスピノルノルム テンプレート:Math の元からなる。核は元 +1 と −1 からなり、テンプレート:Mvar の標数が 2 でなければ位数 2 をもつ。同様にスピン群から テンプレート:Mvar の特殊直交群への準同型が存在する。

テンプレート:Mvar が実数上正あるいは負定値空間である共通の場合において、スピン群は特殊直交群の上へと写り テンプレート:Mvar の次元が少なくとも 3 であれば単連結である。さらにこの準同型の核は 1 と −1 からなる。なのでこの場合スピン群 Spin(n) は SO(n) の二重被覆である。しかしながら、スピン群の単連結性は一般には正しくないことに注意してください： テンプレート:Mvar がともに 2 以上の テンプレート:Math に対して テンプレート:Math であればスピン群は単連結ではない。この場合代数群 テンプレート:Math は代数群として単連結である。その実数値点の群 テンプレート:Math は単連結でないにもかかわらず。これはかなり微妙な点であり、少なくとも 1 冊のスピン群についての標準的な本の著者をすっかり混乱させた。

スピノル

クリフォード代数 テンプレート:Math で テンプレート:Math と偶数になるものは テンプレート:Math 次元の複素表現を持つ行列代数である。群 テンプレート:Math に制限することにより同じ次元の Pin 群の複素表現を得、これはテンプレート:仮リンクと呼ばれる。これをスピン群 テンプレート:Math に制限すれば次元 テンプレート:Math の 2 つの半スピン表現（あるいはワイル表現）の和として分解する。

テンプレート:Math と奇数になればクリフォード代数 テンプレート:Math はそれぞれが テンプレート:Math 次元の表現を持っているような 2 つの行列代数の和であり、これらもまた両方ともピン群 テンプレート:Math の表現である。スピン群 テンプレート:Math への制限上これらは同型になり、したがってスピン群は次元 テンプレート:Math の複素スピノル表現を持つ。

より一般に、任意の体上のスピノル群とピン群は正確な構造がテンプレート:仮リンクに依存する同様の表現を持つ：クリフォード代数がある可除代数上の行列代数である因子を持つときにはいつでもその可除代数上のピンとスピン群の対応する表現を得る。例えば実数体上の場合についてはスピノールの記事を見よ。

実スピノル

テンプレート:Main 実スピン表現を記述するために、スピン群がクリフォード代数の中にどのようにあるかを知らなければならない。ピン群 テンプレート:Math は単位ベクトルの積として書ける テンプレート:Mvar の可逆元の集合である：

$\underset{p,q}{\mathrm{Pin}}:=\{v_1{v}_2\dots v_r\mid \mathrm{\forall }i\Vert v_i\Vert =\pm 1\}.$

クリフォード代数の上の具体的な実現と比べて、ピン群は任意にたくさんの鏡映の積に対応する： それは全直交群 テンプレート:Math の被覆である。スピン群は単位ベクトルの偶数個の積であるような テンプレート:Math の元からなる。したがってカルタン・デュドネの定理によって テンプレート:Math は固有回転の群 テンプレート:Math の被覆である。

テンプレート:Math を pure ベクトルに作用する写像 テンプレート:Math によって与えられる自己同型とする。すると特に テンプレート:Math は元が テンプレート:Mvar によって固定される テンプレート:Math の部分群である。

$C{\ell }_{p,q}^0=\{x\in C{\ell }_{p,q}\mid \alpha (x)=x\}$

とする。（これらは テンプレート:Mvar においてちょうど偶数次の元である。）するとスピン群は テンプレート:Math の中にある。

テンプレート:Mvar の既約表現はピン群の表現を与えるために制限する。逆に、ピン群は単位ベクトルで生成されるから、その既約表現のすべてはこのようにして誘導される。したがって 2 つの表現は一致する。同じ理由のため、スピンの既約表現は テンプレート:Math の既約表現と一致する。

ピン表現を分類するためには、テンプレート:仮リンクにアピールするだけでよい。（偶部分代数の表現である）スピン表現を見つけるためには、まず次の同型のいずれかを利用できる（上記参照）

テンプレート:Math;

テンプレート:Math.

そして符号 テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math におけるピン表現として符号 テンプレート:Math におけるスピン表現を実現できる。

応用

微分幾何学

外積代数の主要な応用の一つは微分幾何学にありそこではそれが滑らかな多様体上の微分形式のファイバー束を定義するために使われる。（擬）リーマン多様体の場合には、接空間は計量によって誘導される自然な二次形式を持つ。したがって、テンプレート:Ill2とのアナロジーでテンプレート:Ill2を定義できる。これはリーマン幾何学においてたくさんの重要な応用を持つ。おそらくより重要なのはスピン多様体、その付随するテンプレート:仮リンクそして テンプレート:Math 多様体へのつながりであろう。

物理学

クリフォード代数は物理学においてたくさんの重要な応用を持つ。物理学者は通常クリフォード代数を次の性質を持つディラック行列と呼ばれる行列 テンプレート:Math によって生成された基底を持つ代数と考える。

${\gamma }_i{\gamma }_j+{\gamma }_j{\gamma }_i=2{\eta }_{ij}$

ただし テンプレート:Math は符号 テンプレート:Math の二次形式の行列である。これらはちょうど（重要でない因子 2 を除いて）クリフォード代数 テンプレート:Math の定義関係式であり、そのテンプレート:仮リンクは テンプレート:Math でありこれはクリフォード代数の分類によって複素 テンプレート:Math次行列の代数に同型である。

ディラック行列は最初ポール・ディラックによって、電子に対する相対論の一階波動方程式を書き、クリフォード代数から複素行列への明示的な同型を与えようとしていた時に、書き下された。結果はディラック方程式を定義しディラック作用素を導入するために用いられた。クリフォード代数全体はテンプレート:仮リンクの形式の場の量子論において現れる。

量子論を記述するためのクリフォード代数の使用は中でも Mario Schönbergによって、geometric calculus の言葉では David Hestenes と Basil Hiley と hierarchy of Clifford algebras の共同研究者によって、そして Elio Conte et al.によって進められてきた。

コンピュータビジョン

最近、クリフォード代数はコンピュータビジョンにおける action recognition と分類の問題において応用されている。Rodriguez et al. は伝統的な MACH filters を video (3D spatiotemporal volume) とオプティカルフローのようなベクトル値データに一般化するクリフォード埋め込みを提案する。ベクトル値データは Clifford Fourier Transform を用いて解析される。これらのベクトルに基づいてアクションフィルターはクリフォードフーリエドメインにおいてシンセサイズされアクションの認識は Clifford Correlation を用いて実行される。著者は古典的特徴フィルムとスポーツ報道テレビにおいて典型的に実行されるアクションを認識することによってクリフォード埋め込みの有効性を説明する。

関連項目

• テンプレート:Ill2 (APS)
• テンプレート:Ill2
• テンプレート:Ill2
• ガンマ行列
• 外積代数
• テンプレート:Ill2
• テンプレート:Ill2
• スピン群
• スピノール
• テンプレート:Ill2
• ケーリー＝ディクソンの構成法
• テンプレート:Ill2
• テンプレート:Ill2
• テンプレート:Ill2
• スピン構造
• 四元数
• 八元数
• 多元数
• テンプレート:Ill2

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参考文献

• テンプレート:Citation, section IX.9.
  • テンプレート:Citation
• Carnahan, S. Borcherds Seminar Notes, Uncut. Week 5, "Spinors and Clifford Algebras".
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation. An advanced textbook on Clifford algebras and their applications to differential geometry.
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• Sylvester, J. J., (1882), Johns Hopkins University Circulars I: 241-242; ibid II (1883) 46; ibid III (1884) 7-9. Summarized in The Collected Mathematics Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge University Press, 1909) v III .online and further.

関連文献

• テンプレート:Citation

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• Planetmath entry on Clifford algebras
• A history of Clifford algebras (unverified)
• John Baez on Clifford algebras
• Clifford Algebra: A Visual Introduction
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:Nlab