フォイエルバッハの定理

幾何学において、フォイエルバッハの定理（フォイエルバッハのていり、テンプレート:Lang-en-short、テンプレート:Lang-de-short）は、三角形の九点円と内接円ないし傍接円が接するという定理であるテンプレート:Sfnm。カール・フォイエルバッハの名を冠する。

フォイエルバッハの定理は平面幾何学の中で最も美しい定理の一つに数えられるテンプレート:Sfn。

主張

三角形の辺の各中点、頂点と垂心の中点、三角形の頂点から対辺に降ろした垂線の足は共円である。この円を九点円という。半径は、外接円の半径の半分である。

三角形の3辺に、内接する円を内接円という。三角形の3辺の1つと内部で接し、2つと外部で接する円を傍接円という。

非正三角形の九点円と、内接円または傍接円は接するテンプレート:Sfn。これをフォイエルバッハの定理という。内接円と九点円の接点は、フォイエルバッハ点と呼ばれる。

正三角形の九点円と内接円は一致するためテンプレート:Sfn、厳密にいえば、正三角形に対して内接円と九点円は接するということはないテンプレート:Sfn。これは、正三角形の場合は例外として排除するかテンプレート:Sfn、極限の場合として見るテンプレート:Sfnことで解決できるテンプレート:Efn。

歴史

テンプレート:See also

フォイエルバッハの定理の歴史はテンプレート:仮リンクの九点円に関する作品 History of the Nine-point Circle に詳しいテンプレート:Sfnm^[1]。テンプレート:仮リンクの書籍テンプレート:Sfnにも、フォイエルバッハの定理の歴史や作品がまとめられている。

フォイエルバッハの定理は、1822年のカール・フォイエルバッハのモノグラフ Eigenschaften einiger merkwiirdigen Punkte des geridlinigen Dreiecks の§57で初めて証明されたテンプレート:Sfn。フォイエルバッハによる証明は九点円の中心と内心の距離を計算する方法による。1828年、ヤコブ・シュタイナーは Annales de Gergonne でフォイエルバッハの功績について知らぬまま定理について述べたテンプレート:Sfn。その後彼は論文 Die geometrischen Con structionen, ausgefuhrt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises の最後の脚注でフォイエルバッハにこの定理を帰したテンプレート:Sfn。

フォイエルバッハの論文は即座に広まらなかったため、再発見をする者も存在したテンプレート:Sfn。1842年、オルリー・テルケムが解析的な証明でフォイエルバッハの定理を再発見したテンプレート:Sfn。初等幾何学的証明は、雑誌 Nouvelles Annales における1850年のJ. メンションの作品 Note sur le triangle rectiligne で示されたテンプレート:Sfn。1854年に、W. H. レヴィが テンプレート:仮リンク において、2つ目の初等的証明を示したテンプレート:Sfn。同年同雑誌で、 T. T. ウィルキンソンは、テンプレート:仮リンクを成す4つの三角形の内接円と傍接円の延べ16円が、九点円に接するという問題を投げかけたテンプレート:Sfn テンプレート:Efn。これは、1855年の同雑誌で解決されたテンプレート:Sfn。1860年頃テンプレート:Sfn、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってフォイルバッハの定理が再発見されたテンプレート:Sfn。1860年6月17日、ジョージ・サーモンは、The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics で、フォイエルバッハの定理について、次の様に述べたテンプレート:Sfn。

" The following elementary theorems may interest some of the readers of the Quarterly Journal..."

1864年、ジョン・ケイシーは、Quarterly Journal で、現在ケイシーの定理と呼ばれる定理を用いてフォイエルバッハの定理を示したテンプレート:Sfn。ケイシーの書籍 Sequel to Euclid にも、証明が示されているテンプレート:Sfn。

テンプレート:仮リンクは1868年にその時点で定理を拡張できるような証明方法がないことを述べたテンプレート:Sfnm。1874年の論文ではフォイエルバッハやケイシー、テンプレート:仮リンクテンプレート:Sfnの証明をあくまで代数的で本質が欠けると指摘し、自身で純粋幾何学的な証明を行ったテンプレート:Sfn テンプレート:Efn。

1882年、ヴィルヘルム・フィードラーは円点投象法テンプレート:Efn（Zyklographie）と呼ばれる空間的な手法によって証明を試みたテンプレート:Sfn。フィードラーの証明は一部不足があった。この不足は1911年にテンプレート:仮リンクによって修正されテンプレート:Sfn、更に1922年、テンプレート:仮リンクによって単純な解法が示されたテンプレート:Sfn。

他に、C. Leudesdorf（1884）テンプレート:Sfn、テンプレート:仮リンク（1887）テンプレート:Sfn、ヴィクトル・テボー（1910）テンプレート:Sfnなど多くの数学者が、フォイエルバッハの定理を独自に証明しているテンプレート:Sfn。

日本では、和算の時代においてフォイエルバッハの定理に到達することはできなかったテンプレート:Sfn。明治時代に入り、澤山勇三郎がフォイエルバッハの定理を約20通りの方法で証明したテンプレート:Sfnm テンプレート:Efn。

証明

フォイエルバッハの定理の証明にはさまざまなものが知られ、現代でも新たな証明が発見されるテンプレート:Sfn。自動定理証明テンプレート:Sfnを用いるものも存在する。ジョン・マッケイの論文内でも、マッケイ自身やE. M. ラングレーなどによる、9つの証明が紹介されている。テンプレート:Collapse top 次の証明はケイシーの定理テンプレート:Sfn、特にパーサーの定理を使うものであるテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mathについて、テンプレート:Mvarの中点をそれぞれテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarと内接円の接点をそれぞれテンプレート:Mvarとする。

$\overline{E F} = \frac{a}{2}, \overline{F D} = \frac{b}{2}, \overline{D E} = \frac{c}{2}, \overline{D X} = | \frac{b - c}{2} |, \overline{E Y} = | \frac{c - a}{2} |, \overline{Y Z} = | \frac{a - b}{2} | .$

が計算できる。適切に符号を選ぶことで、

$\overline{D X} \cdot \overline{E F} \pm \overline{E Y} \cdot \overline{F D} \pm \overline{F Z} \cdot \overline{D E} = 0$

とすることができるため、ケイシーの定理の逆より、内接円と九点円は接する。同様にして傍接円と九点円が接することも証明できる。テンプレート:Collapse bottom テンプレート:Collapse top J. P. テイラーテンプレート:Sfnなどによる反転幾何学を使った証明テンプレート:Sfnを紹介する。

テンプレート:Mvarの中点をそれぞれテンプレート:Mvar、テンプレート:Mathの二等分線とテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarからテンプレート:Mvarに降ろした垂線の足をテンプレート:Mvar、内心をテンプレート:Mvar、それぞれテンプレート:Mvarと内接円・テンプレート:Mvar傍接円の接点をテンプレート:Mvar、九点円の直径をテンプレート:Mvarとする。

テンプレート:Mathが成立する。中心テンプレート:Mvar、半径テンプレート:Mvarの円による反転を施すと、内接円と傍接円は自身に移り、九点円はテンプレート:Mvarに垂直なテンプレート:Mvarを通る直線に移動する。この直線とテンプレート:Mvarの成す角は

\begin{matrix} ∠ M D P = ∠ M M^{'} P = ∠ C M^{'} P - ∠ C M^{'} M \\ = 2 ∠ C A P - ∠ C A B = ∠ C A P - ∠ B A P = ∠ B - ∠ C \end{matrix}

である。今、テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarを通る内接円の接線とすると、反転より、この直線は傍接円とも接する。更にテンプレート:Mvarと

∠ Q I S = 2 ∠ Q I R = 2 ∠ P A R = ∠ B - ∠ C

で交わる。したがって九点円の反転像は直線テンプレート:Mvarである。ゆえに九点円は内接円及び傍接円と接する。テンプレート:Collapse bottom テンプレート:Collapse top 次の証明では、三角形の相似を利用して内心と九点円中心の距離を計算するテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mathの外心、内心、垂心、九点円中心をそれぞれテンプレート:Mvar、外接円半径と内接円半径をそれぞれテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarからテンプレート:Mvarに降ろした垂線の足をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarと内接円の接点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarの中点をそれぞれテンプレート:Mvarとする。

テンプレート:Mathの二等分線が三角形の外接円と再び交わる点は弧テンプレート:Mvarの中点テンプレート:Mvarである（南極定理参照）。

トリリウムの定理からテンプレート:Math、テンプレート:Math。

テンプレート:Mvarの中点はともにテンプレート:Mvarであるのでテンプレート:Math。ゆえにテンプレート:Mvarは平行。

テンプレート:Mvarからテンプレート:Mvarに降ろした垂線の足をテンプレート:Mvar、半直線テンプレート:Mvarと九点円の弧テンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mvarとする。

∠ P M Y = \frac{1}{2} ∠ P K Y = \frac{1}{2} ∠ P A O .

テンプレート:Mvarを通るテンプレート:Mvarの平行線とそれぞれテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mvarとして、テンプレート:Math。テンプレート:Mathとテンプレート:Mathとテンプレート:Mathは相似なので

\begin{matrix} I Z : I A = Q P : I A = X Y : Y M \\ W I : I U = M Q : I U = X Y : Y M \\ ∴ P Q \cdot M Q : A I \cdot I U = X Y^{2} : Y M^{2} \end{matrix}

テンプレート:Mathと、テンプレート:Mathとテンプレート:Mathの相似による式 $Y M^{2} = R \cdot X Y$ より、

\begin{matrix} P Q \cdot M Q = 2 r X Y \\ M X^{2} - X Q^{2} = 2 r X Y \end{matrix}

今、ピタゴラスの定理より、

\begin{matrix} I N^{2} = (N X - r)^{2} + X Q^{2} \\ = (N X - r)^{2} + M X^{2} - 2 r X Y \\ = N X^{2} + M X^{2} - 2 r (N X + X Y) + r^{2} \\ = \frac{1}{4} R^{2} - r R + r^{2} \\ = (\frac{R}{2} - r)^{2} \end{matrix}

オイラーの不等式テンプレート:Mathよりテンプレート:Mathなので

I N = \frac{R}{2} - r

よって九点円と内接円は接する。

相似などを用いた円の中心の距離の計算による証明は上記の方法以外にもいくつかの方法がある（出典テンプレート:Sfnmなどを参照せよ）。テンプレート:Collapse bottom テンプレート:Collapse top シムソン線による特徴づけを用いた解法も存在するテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mathの外心テンプレート:Mvarと内心テンプレート:Mvarを結ぶ直線と外接円の交点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarからそれぞれ各辺に降ろした垂線の足をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarのシムソン線テンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mvar、各辺の中点をそれぞれテンプレート:Mvar、内接円と各辺の接点をテンプレート:Mvarとする。

テンプレート:Mathである。テンプレート:Mvarは九点円上にある。シムソン線テンプレート:Mvarは垂直に交わるから、テンプレート:Math。

平行線と比の定理より、テンプレート:Math。したがってテンプレート:Math。

ここで、ある2円について、方べきの比が一定な点の軌跡は2円の共軸円である。2円を内接円と点円テンプレート:Mvarとすると、九点円は内接円と点円テンプレート:Mvarの共軸円である。今、テンプレート:Mvarは九点円上にあるから、根軸はテンプレート:Mvarにおける九点円の接線であり、内接円もこの接線に接する。ゆえに内接円と九点円はテンプレート:Mvarで接する。テンプレート:Collapse bottom テンプレート:Collapse top テンプレート:Mathの内接円とテンプレート:Mvarの接点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mathの二等分線とテンプレート:Mvarの交点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarの中点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarからテンプレート:Mvarに降ろした垂線の足をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarを通りテンプレート:Mvarとは異なる内接円の接線の内接円との接点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarが内接円と再び交わる点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarにおける九点円の接線をテンプレート:Mvarとする。

テンプレート:Mathより、テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarは平行。テンプレート:Mathより、テンプレート:Mvarは共円。ゆえにテンプレート:Math。したがってテンプレート:Mvarは九点円上にある。

さらに、テンプレート:Mvarをテンプレート:Mathとなるように配置すると、テンプレート:Mvarは内接円及び九点円の接線となる。したがって、内接円と九点円はテンプレート:Mvarで接するテンプレート:Sfnm。テンプレート:Collapse bottom

一般化

フォイエルバッハの定理の一般化・拡張もまた様々なものが知られている。

ロビンソン

1857年、ジョン・ジョシュア・ロビンソンは The Lady's and Gentleman's Diary で次の定理を示したテンプレート:Sfnm。

三角形の内接円及び傍接円の根心4つを取り、これら根心からなる三角形の内接円と傍接円の根心を取る。このような操作を繰り返して得られるすべての円は、最初の三角形の九点円に接する。

ハート

テンプレート:Main

1861年、アンドルー・サール・ハートは、六円定理を九円定理に拡張するように、3辺が直線でなくともよいことを示したテンプレート:Sfnm。ハートの定理は、ラーモアの示した定理の様に、非ユークリッド平面上の三角形の4つの外接円がある円に接するということに他ならないテンプレート:Sfn。

フォントネー

テンプレート:Main

次の定理は、1867年にグリフィステンプレート:Sfn、1880年にヴェイユテンプレート:Sfn、1889年にW. S. マッケイテンプレート:Sfn、1905年にジョルジュ・フォントネーテンプレート:Sfnmが示したものであるテンプレート:Sfn。

点テンプレート:Mvarとその等角共役点テンプレート:Mvarと三角形の外心が共線ならば、テンプレート:Mvarの垂足円は九点円に接するテンプレート:Sfnm。

テンプレート:Mvarを内心か傍心とすればフォイエルバッハの定理となる。テンプレート:Mvarが外心と共線になるようなテンプレート:Mvarはマッケイ三次曲線上にある。

一般に、等角共役な2点テンプレート:Mvarの垂足円と九点円の2交点は、三角形の3頂点とそれぞれテンプレート:Mvarを通る直角双曲線の中心であるテンプレート:Sfn。

ロジャース

1930年、レナード・ジェームズ・ロジャースは、Mathematical Gazette において、円錐曲線の連合準円を用いて、一般化を行ったテンプレート:Sfnm。1897年にV・ラマスワミ・エイヤールも、同様の結果を導出しているテンプレート:Sfn。

三角形の内接円錐曲線と、その円錐曲線と焦点を共有する外心を通る円錐曲線の連合準円は九点円に接する。

内接円錐曲線の2焦点が外心と共線であるとき、フォントネーの定理を得るテンプレート:Efn。

荻野修作は、フォントネーの定理やロジャースの定理の拡張を2つ示しているテンプレート:Sfnm。次はその1つ目の定理である。

三角形の外心と九点円の中心をそれぞれテンプレート:Mvarとする。焦点をテンプレート:Mvarとする内接円錐曲線テンプレート:Mathについて、テンプレート:Mathにおける等角共役線テンプレート:Mvarを書く。テンプレート:Mathとテンプレート:Mathに共焦点でテンプレート:Mvarに接する円錐曲線の連合準円と、九点円の交点テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarの直極点である。さらに、直線テンプレート:Mvarの成す角はテンプレート:Mvarの成す角の2倍の角に等しい。

テンプレート:Mvarの成す角が、0, 180度ならば、ロジャースの定理を得る。テンプレート:Mvarがテンプレート:Mvarに一致すれば、1907年にペレットテンプレート:Sfn、1933年にフランク・モーリーが著書 Inversive Geometry で示したテンプレート:Sfn、フォントネーの定理の拡張になる。ペレットによれば、このときテンプレート:Mvarは、それぞれ中点三角形に内接しテンプレート:Mvarを準線とする放物線の焦点である。

ラオー

次の定理は1927年、M. Bhimasena Rao（ラオー）がテンプレート:仮リンクの雑誌 The Journal of the Indian Mathematical Society（JIMS）で発表したものであるテンプレート:Sfnm。

点テンプレート:Mvarとその等角共役点テンプレート:Mvarと類似重心が共線ならば、それぞれテンプレート:Mvarを中心とする内接円錐曲線と辺の接点を通る円は九点円と接する。

テンプレート:Mvarを内心か傍心とすれば、フォイエルバッハの定理を得る。逸見伝三郎、濱田隆資らは、この定理の拡張を示しているテンプレート:Sfn。また、テンプレート:Mvarが類似重心と共線になるようなテンプレート:Mvarはグリーブ三次曲線K102上にある^[2]。

ラオーなどJIMSへの寄稿者はまた、他にもフォイエルバッハの定理に関する定理を多く残しているテンプレート:Sfnm。次の定理はその一例テンプレート:Sfn。

点テンプレート:Mvarの垂足円が九点円に接するときテンプレート:Math テンプレート:Efn

ハミルトン

ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、2つの内接円錐曲線の第四共通接線（3辺と異なる接線）と三線極線を用いて拡張を行ったテンプレート:Sfnm。

テンプレート:Mvarをシュタイナーの内接楕円、テンプレート:Mvarを内接円としたとき、テンプレート:Mvarは重心、テンプレート:Mvarの三線極線は無限遠直線で、テンプレート:Mvarは2つの虚円点を通るため円になって、フォイエルバッハの定理が導かれる。

テンプレート:Mvarを重心、テンプレート:Mvarを放物線とすると、1939年にデ・チッコが得た定理テンプレート:Sfnとなる。

この性質から、フォイエルバッハ点は、シュタイナーの内接楕円と内接円の第四共通接線と内接円の接点であることが分かるテンプレート:Sfn。

ヴォンドラチェク

1933年、ヴォンドラチェクは円錐曲線の交点を用いて一般化したテンプレート:Sfn。

3つの直線に接するかつ共通の2点を通る4つの円錐曲線を用意する。この4つの円錐曲線に接するかつその2点を通る円錐曲線が存在する。

ブリカール

1907年、ラウル・ブリカールは、Nouvelles Annales de Mathématiques において、有向直線を用いた拡張を発表したテンプレート:Sfnm。

3対の平行な同じ向きの有向直線テンプレート:Mathについて、テンプレート:Mathに接する同じ向きの有向円は、ある一つの有向円に接する。

テンプレート:Mathの成す三角形を中点三角形にすると、フォイエルバッハの定理を得る。この定理は1892年にアレクサンダー・ラーモアが示した、ハートの定理に幾何学的変換を行って得られる定理と双対的であるテンプレート:Sfn。

濱田

1943年、東北数学雑誌において濱田隆資は根円を用いて拡張を行ったテンプレート:Sfn。2021年には、Tran Quang HungとNguyen Thi Thuy Duongも同様の定理を得ているテンプレート:Sfn。

任意の点テンプレート:Mvarの垂足三角形をテンプレート:Mathとする。テンプレート:Mvarの中点を中心とし、それぞれテンプレート:Mvarを通る円の根円は九点円に接する。

1925年、J. P. Gabbattは、一般に任意の点テンプレート:Mvarの辺に対する垂足を反転によって移すような、辺の中点を中心とする3円の根円と、九点円の2交点は、テンプレート:Mvarと外心を結ぶ直線の直極点であることを示したテンプレート:Sfn。更に、3円の中心が、辺の中点以外（外心以外の垂足三角形の頂点）では成立しないことも示している。

グエンとレ

2023年、Nguyen Ngoc GiangとLe Viet Anは3つの一般化を示したテンプレート:Sfn。次の定理はその一つである。

テンプレート:Mathとその垂心でないかつ辺上、外接円上にない任意の点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarにおけるテンプレート:Mvarの直交射影を結ぶ直線をテンプレート:Mvarとして、テンプレート:Mvarも同様に定義する。テンプレート:Mvarから成る三角形の外接円は、テンプレート:Mvarの垂足円に接する。

モーリー

1916年、フランク・モーリーは雑誌 Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America において、三級曲線（任意の点から実あるいは虚の接線を3本引くことができる代数曲線）への拡張を発表したテンプレート:Sfnm。

テンプレート:仮リンクを成す4点を結ぶすべての直線に接する、かつ2つの虚円点を通る三級曲線は、垂心系の作る三角形の九点円に接する。

三級曲線を内接円（傍接円）と垂心の和集合とすれば、フォイエルバッハの定理となる。

マルグーズー

1919年、マルグーズー（Malgouzou）は、三次曲線への拡張を示したが、複雑な手順を要しており、また、ハートの定理のように、直接的な拡張とはなっていないテンプレート:Sfnm。

三次曲線テンプレート:Mvarと点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarを通る直線テンプレート:Mvarがテンプレート:Mvarと3点テンプレート:Mvarで交わっているとする。今、

$(\frac{1}{O X} - \frac{1}{O P}) (\frac{1}{O X} - \frac{1}{O Q}) + (\frac{1}{O X} - \frac{1}{O Q}) (\frac{1}{O X} - \frac{1}{O R}) + (\frac{1}{O X} - \frac{1}{O R}) (\frac{1}{O X} - \frac{1}{O P}) = 0$

を満たす点テンプレート:Mvarが2つ存在する。テンプレート:Mvarを動かしたとき、テンプレート:Mvarの軌跡は極円錐曲線と呼ばれる円錐曲線になる。さらにある定直線テンプレート:Mvarに極円錐曲線が接するようにテンプレート:Mvarを動かしたとき、テンプレート:Mvarの軌跡はPoloconicと呼ばれる円錐曲線になる。Poloconicが円となるようなテンプレート:Mvarは4つ存在するが、このときの4円は、一つの円に接する。

テンプレート:Mvarが3直線へ退化したとき、フォイエルバッハの定理を間接的に得る。Gabbattはマルグーズーの一般化をさらに空間へ一般化しているテンプレート:Sfn。

ユークリッド空間テンプレート:Sfnmや、双曲平面などの非ユークリッド平面テンプレート:Sfn、ミンコフスキー平面テンプレート:Sfn、ヒルベルト平面テンプレート:Sfn、あるいは九点円錐曲線テンプレート:Sfnmなどへの拡張なども示されている。

脚注

注釈

テンプレート:Notelist

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

The Mathematical Gazette

The Mathematical Gazette（テンプレート:ISSN）にはフォイエルバッハの定理を扱うものが数多く存在する。

他

外部リンク

[1] テンプレート:Cite web

[2] テンプレート:Cite web

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[2]

フォイエルバッハの定理

目次

主張

歴史

証明