慣性モーメント

テンプレート:Physics navigation テンプレート:物理量 慣性モーメント（かんせいモーメント、テンプレート:Lang-en-short）あるいは慣性能率（かんせいのうりつ）、イナーシャ テンプレート:Mvar とは、物体の角運動量 テンプレート:Mvar と角速度 テンプレート:Mvar との間の関係を示す量である。

定義

質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル テンプレート:Mvar で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル テンプレート:Mvar は次のように書ける。 テンプレート:Indent ここでテンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 番目の質点の質量、テンプレート:Mvar は回転軸上の原点との相対座標でありテンプレート:Mvarはその大きさである。この式からわかるように、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar と向きは必ずしも一致しないが、テンプレート:Mvar を線形変換したものになっている。つまり、その線形変換をテンプレート:Mvarとすると、 テンプレート:Indent と表せる。この変換 テンプレート:Mvar は2階のテンソルであり、テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの各成分は

$\begin{array}{cc}{L}_j& =\sum _{k=1}^3{I}_{jk}{\omega }_k\\ I_{jk}& =\sum _i{m}_i(r_i^2{\delta }_{jk}-r_{i,j}{r}_{i,k})\end{array}$

という形に表される。ここに テンプレート:Mvar はクロネッカーのデルタ、テンプレート:Mvar はベクトル テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 成分である。テンプレート:Mvar を行列表示すると テンプレート:Indent となる。この定義から テンプレート:Mvar は対称テンソルである。この2階のテンソル テンプレート:Mvar を慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ。また、慣性テンソルの対角成分 テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvar を（それぞれ テンプレート:Mvar、 テンプレート:Mvar、 テンプレート:Mvar 軸に関する）慣性モーメント係数（テンプレート:Lang-en-short）と呼び、 テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvar は 慣性乗積（テンプレート:Lang-en-short）と呼ぶ。

なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソルは密度 テンプレート:Mvar を用いて テンプレート:Indent となる。

ある軸まわりの慣性モーメント

物体をある回転軸まわりに回転させたとき、テンプレート:Mvarと同じ向きをもつ単位ベクトルテンプレート:Mvarをもちいると、回転軸にそった角運動量成分は次のように与えられる。

ここで、テンプレート:Mathは角速度の大きさである。

ここに与えられたスカラー量 $I=𝒏\cdot (𝑰𝒏)=\sum _i{m}_i(r_i^2-({𝒓}_i\cdot 𝒏{)}^2)$ をその軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ。

慣性主軸と主慣性モーメント

慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 テンプレート:Mathを選ぶことで対角化（すなわち テンプレート:Math と）することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、慣性モーメント テンプレート:Mathを主慣性モーメントと呼ぶ。慣性主軸座標系では角運動量は

$\left(\begin{array}{c}{L}_1\\ L_2\\ L_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{I}_1& 0& 0\\ 0& I_2& 0\\ 0& 0& I_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\\ {\omega }_3\end{array}\right)$

と単純に表すことができる。

計算例

棒の両端の質量

重さの無視できる長さ テンプレート:Mvar の棒の両端に、質量 テンプレート:Mvar 、テンプレート:Mvar の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれ テンプレート:Mvar、テンプレート:Math とする。このとき、中心に対する慣性モーメント テンプレート:Mvar は、

$I=m{a}^2+M(L-a{)}^2=(m+M){(a-\frac{M}{m+M}L)}^2+\frac{mM}{m+M}{L}^2$

と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心（回転軸）のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。

円板

半径 テンプレート:Mvar 、全質量 テンプレート:Mvar の、一様な密度 テンプレート:Math をもつ円板の、中心軸まわりの慣性モーメントは テンプレート:Indent となる。

これは中心から半径 テンプレート:Mvar 、幅 テンプレート:Math のリングの質量 テンプレート:Math を考えると テンプレート:Indent より、このリングの慣性モーメント テンプレート:Math が テンプレート:Indent だから テンプレート:Indent より求めることができる。

リング状円板

円板外半径 テンプレート:Mvar 、くり抜き内半径 テンプレート:Mvar 、全質量 テンプレート:Mvar のリング状円板では、前出の テンプレート:Math を用いて テンプレート:Indent となる。

性質

テンプレート:節スタブ 一般に、剛体の慣性モーメントは、剛体の質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなる。

また、回転軸が重心を通るとき慣性モーメントは最小値 テンプレート:Mvar をとり、軸が重心から距離 テンプレート:Mvar だけ離れている場合、その軸の周りの慣性モーメント テンプレート:Mvar は テンプレート:Indent となる。

慣性テンソル テンプレート:Mvar の物体が角速度 テンプレート:Mvar で回転しているとき、その回転に伴う運動エネルギー テンプレート:Mvar は テンプレート:Indent と表示できる。

関連する物理量

回転半径

慣性モーメント テンプレート:Mvar は物体の質量 テンプレート:Mvar に比例するから、

$I=M{\kappa }^2$

と書くことができる。この テンプレート:Mvar は長さの次元を持ち、回転半径と呼ばれる。

はずみ車効果

慣性モーメントと同じ意味を持つ物理量として、直径 テンプレート:Mvar を用いて定義されるはずみ車効果 テンプレート:Math がある。

• 重力単位系では、剛体の重量 テンプレート:Mvar[kgf] と直径 テンプレート:Mvar[m] を用いた量 テンプレート:Math をはずみ車効果と呼び、単位は [kgf m²] である。慣性モーメント テンプレート:Mvar とは次元が異なり、テンプレート:Math で換算する（テンプレート:Mvar は重力加速度）。
• 国際単位系では、剛体の質量 テンプレート:Mvar[kg]と直径 テンプレート:Mvar[m] を用いた量 テンプレート:Math をはずみ車効果と呼び、単位は [kg m²] である。慣性モーメント テンプレート:Mvar と、テンプレート:Math で換算する。

応用

工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール（はずみ車）という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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関連項目

• オイラーの運動方程式
• 断面二次モーメント
• 慣性計測装置
• 慣性

回転運動と並進運動の対応一覧

量	回転運動		並進運動
力学変数（ベクトル）	角度	$\mathit{\theta }$	位置	$𝒓$
一階微分（ベクトル）	角速度	$\mathit{\omega }=\frac{d\mathit{\theta }}{dt}$	速度	$𝒗=\frac{d𝒓}{dt}$
二階微分（ベクトル）	角加速度	$\mathit{\alpha }=\frac{d\mathit{\omega }}{dt}$	加速度	$𝒂=\frac{d𝒗}{dt}$
慣性（スカラー）	慣性モーメント	$I$	質量	$m$
運動量（ベクトル）	角運動量	$𝑳=𝒓\times 𝒑$	運動量	$𝒑=m𝒗$
力（ベクトル）	力のモーメント	$𝑵=𝒓\times 𝑭$	力	$𝑭$
運動方程式	$I\frac{d^2\mathit{\theta }}{d{t}^2}=𝑵$		$m\frac{d^2𝒓}{d{t}^2}=𝑭$
運動エネルギー（スカラー）	$\frac{1}{2}I{\omega }^2$		$\frac{1}{2}m{v}^2$
仕事（スカラー）	$𝑵\cdot \mathrm{\Delta }\mathit{\theta }$		$𝑭\cdot \mathrm{\Delta }𝒓$
仕事率（スカラー）	$𝑵\cdot \mathit{\omega }$		$𝑭\cdot 𝒗$
ダンパーとばねに発生する力を 考慮した運動方程式	$I\alpha +c\omega +k\theta =N$		$ma+cv+kx=F$