ヤコビ行列

テンプレート:Redirect テンプレート:Calculus 多変数微分積分学およびベクトル解析におけるヤコビ行列（ヤコビぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short）あるいは単にヤコビアンまたは関数行列（かんすうぎょうれつ、テンプレート:Lang-de-short）は、一変数スカラー値関数における接線の傾きおよび一変数ベクトル値函数の勾配の、多変数ベクトル値関数に対する拡張、高次元化である。名称はカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに因む。多変数ベクトル値関数 テンプレート:Mvar のヤコビ行列は、テンプレート:Mvar の各成分の各軸方向への方向微分を並べてできる行列で

$J_f=D_{x}f=\frac{\partial f}{\partial x}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right](f=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x_1,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ f_m(x_1,\dots ,x_n)\end{array}\right])$

のように表される。

ヤコビ行列の行列式は、ヤコビ行列式 (テンプレート:Lang-en-short) あるいは単にヤコビアンと呼ばれる。ヤコビ行列式は変数変換に伴う面積要素や体積要素の無限小変化の比率を符号つきで表すもので、しばしば重積分のテンプレート:仮リンクに現れる。

これらは多変数微分積分学、多様体論などで基本的な役割を果たすほか、最適化問題等の応用分野でも重要な概念である。

定義

テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 次元ユークリッド空間 テンプレート:Math の開集合とし、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上で定義され、テンプレート:Math に値を取る [[Ck級|テンプレート:Math 級]]関数とする。 点 テンプレート:Math における テンプレート:Mvar のヤコビ行列は、

$\frac{\partial f}{\partial x}(p)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(p)& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(p)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(p)& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(p)\end{array}\right]$

なる テンプレート:Mvar 行列をいう。これをしばしば テンプレート:Math や テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math, テンプレート:Math などと表す。

テンプレート:Math の場合、ヤコビ行列は正方行列となり、その行列式を考えることができる。ヤコビ行列の行列式 テンプレート:Math をヤコビ行列式、関数行列式あるいは簡単にヤコビアンと呼ぶ。ヤコビ行列式も テンプレート:Math, テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math, テンプレート:Math などとも書かれる。

性質

ヤコビ行列は、実関数に関する微分係数および導函数の自然な拡張となっている。つまり、テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math-型行列とその唯一の成分である実数とを同一視することにより、ヤコビ行列の概念は微分係数および導函数の概念に一致する。

テンプレート:Mvar が点 テンプレート:Mvar において任意の偏微分を持つならば テンプレート:Mvar においてヤコビ行列は存在する。しかし、テンプレート:Mvar の偏微分可能性だけでは テンプレート:Mvar の微分可能性は言えないから、ヤコビ行列が存在しても テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar において必ずしも全微分可能でない。

テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上の点 テンプレート:Mvar で微分可能、すなわち

$\underset{x\to p}{\lim }\frac{\Vert f(x)-f(p)-𝑑𝑓(x-p)\Vert }{\Vert x-p\Vert }=0$

なる線型写像 テンプレート:Mvar が存在するとき、この線型写像 テンプレート:Mvar の標準基底に関する表現行列は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar におけるヤコビ行列 テンプレート:Math によって与えられる（すなわち、テンプレート:Math のベクトルの各成分への射影 テンプレート:Math に対して

$f_i:={\pi }_i\circ f$

と書けば、点 テンプレート:Math におけるヤコビ行列 テンプレート:Math は

$(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}{|}_{x=p}{)}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{i=1,\dots ,m}{j=1,\dots ,n}}$　

と書くことができる）。またこれは テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の全域で微分可能であるとき、テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math を対応させる写像 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の全微分であると言っても同じことである。

テンプレート:Mvar が点 テンプレート:Mvar において微分可能であるとき、点 テンプレート:Mvar におけるヤコビ行列 テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に十分近いとき

$f(x)=f(p)+J_f(p)(x-p)+o(\Vert x-p\Vert )$

なる関係を満足する（ここで テンプレート:Mvar はランダウの記号）という意味で テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における一次近似であり、接空間の間の線型写像とみなせる。この線型写像の合成は行列積と等価であり、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math を含む領域 テンプレート:Mvar から テンプレート:Math への関数であり、テンプレート:Math において微分可能であるとき、

$J_{g\circ f}(p)=J_g(f(p))\cdot J_f(p)$

が成り立つ。これは、合成関数の微分に相当する。

逆関数の定理

ここでは、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上で[[滑らかな関数| テンプレート:Mvar 級]] テンプレート:Math であるとする。

テンプレート:Math のとき、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar におけるヤコビ行列は正方行列であるが、ヤコビ行列が正則行列である場合、テンプレート:Mvar は 局所的に全単射となり、その逆関数は テンプレート:Math 級であり、テンプレート:Math でのヤコビ行列は テンプレート:Math の逆行列となる。 つまり、テンプレート:Mvar を含むある領域 テンプレート:Mvar について、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への制限

$h:=f{|}_{D^{\prime }}:D^{\prime }\to f(D^{\prime })$

が テンプレート:Mvar 級全単射で、

$J_{h^{-1}}(h(p))=(J_h(p){)}^{-1}$

となる。

一方、テンプレート:Math が退化している（階数が落ちる）場合には、以下の二つの状況がありうる。

• テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar のまわりで局所的に全単射だが、逆関数が テンプレート:Math にて微分不可能

  例

  テンプレート:Math は 0 付近で全単射だが、逆関数は 0 で微分不可能

• テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar のまわりで局所的にも全単射でない

  例

  テンプレート:Math は 0 付近で局所的にも全単射でない

この時、テンプレート:Mvar を特異点、または臨界点という。ヤコビ行列及びヤコビアンは、特異点を見つけるのにしばしば用いられる。

多様体論におけるヤコビ行列

ここでは、多様体間の写像のヤコビ行列について述べる。

テンプレート:Mvar をそれぞれ テンプレート:Mvar 次元、テンプレート:Mvar 次元の テンプレート:Math 多様体で、テンプレート:Mvar をその間の テンプレート:Mvar 級写像だとする。 このとき、テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Math での微分 テンプレート:Mvar は、点 テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の接ベクトル空間 テンプレート:Mvar と、点 テンプレート:Math における テンプレート:Mvar の接ベクトル空間 テンプレート:Math の間の線型写像となる。テンプレート:Mvar のまわりの テンプレート:Mvar の局所座標 テンプレート:Math および テンプレート:Math のまわりの テンプレート:Mvar の局所座標 テンプレート:Math を定めると、それぞれの接ベクトル空間における基底が定まる。 この基底に関する テンプレート:Mvar の表現行列を テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar におけるヤコビ行列と呼ぶ。

写像の微分は局所座標に依存しないが、ヤコビ行列は局所座標の選び方に依存する。 ただし、同じ写像の、局所座標の選び方を変えたヤコビ行列同士は互いに共役である。

この定義は、冒頭の定義の拡張となっている。 テンプレート:Math（の開集合）、テンプレート:Math とし、それぞれに自明な局所座標を選ぶことによって、冒頭の定義と一致する。

極座標系に関する具体例

テンプレート:Seealso ここでは、いくつかの極座標系から直交座標系への座標変換で、ヤコビアンがどのようになるか述べる。

円座標

円座標は、直交座標への座標変換 テンプレート:Math を与えるから、ヤコビアンは

$|J_f|=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|=r$

となる。従って、特異点は テンプレート:Math となる点、即ち テンプレート:Math である。これは直交座標での テンプレート:Math を表す。

円柱座標

円柱座標は、直交座標への座標変換 テンプレート:Math を与えるから、ヤコビアンは

$|J_f|=\left|\begin{array}{ccc}\cos \theta & -r\sin \theta & 0\\ \sin \theta & r\cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=r$

となる。従って、円座標のときと同じく、特異点は テンプレート:Math となる点、即ち テンプレート:Math である。これは直交座標での テンプレート:Math すなわち テンプレート:Mvar–軸を表す。

球座標

球座標は、直交座標への座標変換 テンプレート:Math を与えるから、ヤコビアンは

$|J_f|=\left|\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & r\cos \theta \cos \varphi & -r\sin \theta \sin \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi & r\cos \theta \sin \varphi & r\sin \theta \cos \varphi \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right|=r^2\sin \theta$

となる。従って、特異点は テンプレート:Math または テンプレート:Math となる点、即ち テンプレート:Math と テンプレート:Math である。これは直交座標での テンプレート:Math すなわち テンプレート:Mvar–軸を表す。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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• テンプレート:Citation
  • テンプレート:Cite book
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• テンプレート:Citation

関連項目

• ヘッセ行列