環の局所化

抽象代数学における環の局所化（きょくしょか、テンプレート:Lang-en-short）あるいは分数環 テンプレート:Lang、商環 テンプレート:Lang は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 テンプレート:Mvar とその部分集合 テンプレート:Mvar が与えられたとき、環 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への環準同型を構成して、テンプレート:Mvar の準同型像が テンプレート:Mvar における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、テンプレート:Mvar が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 テンプレート:Mvar の部分集合 テンプレート:Mvar による局所化は テンプレート:Math で表され、あるいは テンプレート:Mvar が素イデアル $𝔭$ の補集合であるときには $R_{𝔭}$ で表される。テンプレート:Math のことを テンプレート:Mvar と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。

局所化は完備化と重要な関係があり、テンプレート:要検証。

用語について

「局所化」の名の起源は代数幾何学にある。テンプレート:Mvar はある幾何学的対象（代数多様体）の上で定義された函数環とする。この多様体を点 テンプレート:Mvar の近傍で「局所的に」調べようとするならば、テンプレート:Mvar の近傍で テンプレート:Math でないような函数全体の成す集合 テンプレート:Mvar を考えることになる。その意味で、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar に関して局所化して得られる環 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の近傍における テンプレート:Mvar の挙動についての情報のみをふくんでいる（局所環も参照）。

数論および代数的位相幾何学において、数 テンプレート:Mvar「における」環や空間とか、テンプレート:Mvar から「遠い」などという言及をすることがある。「テンプレート:Mvar から遠い」("away from テンプレート:Mvar") の意味は、「その環の中で テンプレート:Mvar が可逆」（従って、Z[1/テンプレート:Mvar]-代数になる）ということである。例えば、体については「素数 テンプレート:Mvar から遠い」と言えば「その体の標数は テンプレート:Mvar と異なる」という意味になる。テンプレート:Math は「テンプレート:Math から遠い」が テンプレート:Math や テンプレート:Math はそうではない。

形式的な構成

単元の積はふたたび単元であり、環準同型は積を保つことから、局所化に用いる テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の乗法モノイドの部分モノイドであることが求められる。すなわち、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math を含み、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の元ならば テンプレート:Mvar もやはり テンプレート:Mvar に含まれる。環 テンプレート:Mvar のこのような性質を持つ部分集合を乗法的集合（乗法系）あるいは積閉集合（乗法的閉集合）と呼ぶ。

環 テンプレート:Mvar が整域である場合には、局所化は容易に構成することができる。テンプレート:Math が単元となるような環は自明な環 テンプレート:Math のみであるから、テンプレート:Mvar に テンプレート:Math が含まれるときには、局所化 テンプレート:Math は必ず テンプレート:Math となる。それ以外の場合には、テンプレート:Mvar の商体 テンプレート:Mvar を利用することができる。すなわち、テンプレート:Math として、商体 テンプレート:Mvar の部分環であって、テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar によって テンプレート:Math の形に表される元全体になっているものをとればよい。この場合、自然写像 テンプレート:Math は標準的な埋め込みであり、特に単射になる（一般の場合にはこれは保証されない）。例えば、テンプレート:仮リンク の全体は、整数環 テンプレート:Math の[[2の冪| テンプレート:Math 冪]]全体の成す積閉集合に関する局所化である。この場合 テンプレート:Math が二進小数の全体で テンプレート:Mvar が整数全体、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math 冪の全体であって、テンプレート:Mvar から テンプレート:Math への自然写像は単射である。

一般の可換環に対しては商体は存在しないのだけれども、それでも テンプレート:Mvar の元を分母に持つような「分数」からなる局所化を構成することは可能である。整域の場合とは対照的に、分子と分母を安全に「約分」できるのは、テンプレート:Mvar の元の寄与の分だけである。

この構成は以下のようにして得られる。まず、テンプレート:Math 上の同値関係 テンプレート:Math を

$(r_1,s_1)\sim (r_2,s_2)⟺\mathrm{\exists }t\in S[t(r_1{s}_2-r_2{s}_1)=0]$

で定める。ここで、テンプレート:Math の属する同値類を「分数」テンプレート:Math の形に表すことにすると、同値類全体の成す集合 テンプレート:Math は（初等的な意味での分数が満たすのと同様の）演算

$a/s+b/t:=(at+bs)/st,(a/s)(b/t):=ab/st$

によって環となる。テンプレート:Mvar の各元 テンプレート:Mvar を同値類 テンプレート:Math に写す写像 テンプレート:Math は環準同型を定めるが、これは一般には単射でない（テンプレート:Mvar の二つの元が テンプレート:Mvar の零化域に入ることになる零因子の分だけしか違わないなら、それらの テンプレート:Mvar による像は等しい）。

局所化のもつ普遍性とは以下のようなものであるテンプレート:Sfn。

環の局所化の普遍性

環準同型 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の各元を テンプレート:Math の単元に写し、かつ テンプレート:Math を別の環準同型で テンプレート:Mvar の各元を テンプレート:Mvar の単元に写すものとすれば、環準同型 テンプレート:Math で テンプレート:Math を満たすものがただ一つ存在する。

この普遍性を圏論の言葉で書けば次のようになる。環 テンプレート:Mvar とその部分集合 テンプレート:Mvar をとり、テンプレート:Mvar 上の多元環 テンプレート:Mvar で標準準同型 テンプレート:Math のもと テンプレート:Mvar の各元が テンプレート:Mvar の単元となるようなもの全体の成す集合を考える。この集合の元を対象とし、テンプレート:Mvar-線型写像を射として圏が定まり、この圏の始対象を テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における局所化と呼ぶ。

例

整数環を テンプレート:Math, 有理数体を テンプレート:Math と表す。

• テンプレート:Math のとき、積閉集合 テンプレート:Math による局所化は テンプレート:Math である。
• テンプレート:Math で テンプレート:Mvar は素数とする。素イデアル テンプレート:Math の補集合 テンプレート:Math による局所化 テンプレート:Math は テンプレート:Math における整数環の局所化 テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。
• 可換環 テンプレート:Mvar が与えられたとき、テンプレート:Mvar の非零因子（すなわち、テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar であって、テンプレート:Mvar を掛けるという操作が テンプレート:Mvar 上の単射自己準同型となるようなもの）全体の成す集合 テンプレート:Mvar は積閉集合である。このときの環 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の全商環と呼ばれ、しばしば テンプレート:Math や テンプレート:Math などで表される。この テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar から テンプレート:Math への標準準同型が単射となるような積閉集合として最大のものである。さらに テンプレート:Mvar が整域ならば、これは テンプレート:Mvar の商体に他ならない。
• 整数の剰余環 [[剰余類環|テンプレート:Math]] は、テンプレート:Mvar が合成数のとき整域でない。テンプレート:Mvar が素冪ならば有限局所環であって、その元は単元かさもなくば冪零であるから、この場合の局所化が零環のみしかありえないことが示される。しかし テンプレート:Math と分解され、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が テンプレート:Math より大きく、互いに素ならば、テンプレート:Math は中国の剰余定理 によって テンプレート:Math に同型であり、テンプレート:Mvar として テンプレート:Math と テンプレート:Math のみからなる集合をとれば、対応する局所化は テンプレート:Math になる。
• テンプレート:Math の素イデアルは テンプレート:Math と テンプレート:Math の2つである（したがってクルル次元 テンプレート:Math である）。これらの極大イデアルによる局所化はそれぞれ テンプレート:Math, テンプレート:Math であり体である。実は、可換環が被約かつクルル次元 0 であることと、任意の極大イデアルにおける局所化が体であることは同値である。（さらにこれはフォン・ノイマン正則であることとも同値である。）
• テンプレート:Mvar が可換環で テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の元とするとき、積閉集合 テンプレート:Mathを考えると、これによる局所化は テンプレート:Mvar の冪を可逆にすることによって得られる。テンプレート:Mvar が冪零であった場合、局所化は零環となる。

性質

局所化 テンプレート:Math の性質をいくつか挙げる。

• 可換環 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の素イデアル $𝔭$ に対して、$𝔭$ の テンプレート:Mvar における補集合 $R\setminus 𝔭$ は積閉集合で、対応する局所化を $R_{𝔭}$ であらわす。このとき、$R_{𝔭}$ の唯一の極大イデアルは $𝔭R_{𝔭}=\{r/s\mid r\in 𝔭,s\in R\setminus 𝔭\}$ に等しいテンプレート:Sfn。よって $R_{𝔭}$ は局所環である。
• テンプレート:Math となる必要十分条件は テンプレート:Mvar が零元 テンプレート:Math を含むことであるテンプレート:Sfn。
• 環準同型 テンプレート:Math が単射である必要十分条件は テンプレート:Mvar が零因子を含まないことである。
• テンプレート:Math の素イデアル全体の成す集合と、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar と交わらない素イデアル全体の成す集合との間には全単射が存在するテンプレート:Sfn。この全単射は 環準同型 テンプレート:Math によって誘導される。

応用

主に可換環論と代数幾何学において生じる以下の二つの局所化のクラスは、環のスペクトル Spec(テンプレート:Mvar) のザリスキー位相に関する開集合上の函数環を構成するのに用いられる。

• 集合 テンプレート:Mvar は与えられた元 テンプレート:Mvar の冪全体からなるとする。このときの局所化は、函数 テンプレート:Mvar が零でないようなザリスキー開集合 テンプレート:Math（このような形の集合は「主ザリスキー開集合」と呼ばれる）への制限に対応する。例えば テンプレート:Math が多項式環で テンプレート:Math とすれば、局所化によってローラン多項式環 テンプレート:Math が得られる。この場合、局所化は埋め込み テンプレート:Math に対応する。ただし テンプレート:Math はアフィン直線であり、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の補集合であるようなザリスキー開集合である。
• 集合 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の与えられた素イデアル $𝔭$ の補集合とすると、$𝔭$ が素イデアルであることから テンプレート:Mvar は積閉集合となる。この場合、「素イデアル $𝔭$ による局所化」と呼ぶのが普通である。局所化に対応するのは、素イデアル $𝔭$ によって定まる既約ザリスキー閉集合 $V(𝔭)$ の テンプレート:Math における補集合 テンプレート:Mvar への制限である。

非可換の場合

非可換環の局所化はより難しく、単元を持つことが見込まれる集合 テンプレート:Mvar の中にも局所化が存在しない場合がある。局所化の存在を保証する条件の一つにテンプレート:仮リンク がある。

非可換環が局所化を持つ場合で、明らかに興味の対象となるのが、微分作用素の環の場合である。局所化によって、例えば、微分作用素 テンプレート:Mvar の形式逆元 テンプレート:Math を解釈することができる微分方程式に対する D⁻¹ の解釈はいろいろなやり方が様々な文脈で行われるが、局所化の方法による解釈は超局所解析 テンプレート:Lang と呼ばれる、いくつかの分野にわたる大きな数学的理論を形成している。接頭辞 micro- は特にフーリエ理論とも関連がある。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• Serge Lang, "Algebraic Number Theory," Springer, 2000. pages 3–4.
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 完備化 (環論)
• 準同型
• 付値環
• テンプレート:仮リンク
• 局所環
• 加群の局所化
• テンプレート:仮リンク
• 導来圏

外部リンク

• テンプレート:MathWorld