1の冪根

テンプレート:Expand English 1の冪根（いちのべきこん、テンプレート:Lang-en-short）または1の累乗根（いちのるいじょうこん）とは、数学において冪乗して 1 になる（冪単である）数のことである。すなわち、ある自然数テンプレート:Mvar が存在して

テンプレート:Math2

となるテンプレート:Mvar のことである。通常は複素数の範囲で考えるが、場合によっては [[p進数|テンプレート:Mvar進数]]のような他の数の体系内で考える場合もある。以下では主として複素数の場合について述べる。

1 のテンプレート:Mvar乗根の内、テンプレート:Math2 乗しても決して 1 にならず、テンプレート:Mvar乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。全ての自然数テンプレート:Mvar に対する 1 の原始テンプレート:Mvar乗根を総称し、1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。

1の原始冪根

複素数の範囲では、1 の原始テンプレート:Mvar乗根はテンプレート:Math2 のとき2つ以上存在する。ド・モアブルの定理より、

ζ_{n} = \cos \frac{2 π}{n} + i \sin \frac{2 π}{n}

方程式テンプレート:Math を考える。この方程式の解は、ド・モアブルの定理より、

x = \cos \frac{2 π k}{n} + i \sin \frac{2 π k}{n} (k = 1, 2, \dots, n)

であるが、1 の原始テンプレート:Mvar乗根テンプレート:Mvar を一つ選べば、

x = {ξ_{n}}^{k} (k = 1, 2, \dots, n)

と書くことができる。

また上記のように根を三角関数で表すことは容易であるが、それが根号を用いて表示できること、つまり方程式が代数的にも可解であることはガウスにより証明された。

1の原始冪根の例

以下、テンプレート:Mvar は虚数単位である。

$ξ_{2} = - 1$
$ξ_{3} = \frac{- 1 \pm \sqrt{3} i}{2}$ （[[立方根#性質|しばしばテンプレート:Mvar と書かれる]]）
$ξ_{4} = \pm i$
$ξ_{5} = \frac{- 1 + \sqrt{5} \pm i \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4}, \frac{- 1 - \sqrt{5} \pm i \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4}$
$ξ_{6} = \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2}$
$ξ_{8} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2} i}{2}, \frac{- \sqrt{2} \pm \sqrt{2} i}{2}$

性質

1 の冪根は全て、複素数平面における単位円周上にある。また概要で述べたことより、1 のテンプレート:Mvar乗根の全体は、位数テンプレート:Mvar の巡回群である。これは円周群の正規部分群である。
複素係数の方程式テンプレート:Math2（テンプレート:Mvar は複素数）の解は、テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar乗根を任意に一つ選んでテンプレート:Math と表せば、
テンプレート:Math

となる。

1 のテンプレート:Mvar乗根は、複素数平面では、単位円に内接する[[正多角形|正テンプレート:Mvar角形]]の頂点である。この正テンプレート:Mvar角形の重心は原点テンプレート:Math であるから、1 の原始テンプレート:Mvar乗根の一つをテンプレート:Mvar とすると、次の等式が成り立つ：

\sum_{k = 0}^{n - 1} {ξ_{n}}^{k} = 1 + ξ_{n} + {ξ_{n}}^{2} + \dots + {ξ_{n}}^{n - 2} + {ξ_{n}}^{n - 1} = 0

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1の原始冪根

1の原始冪根の例

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