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[[圏論]]において'''離散圏'''（英：[[:en:Discrete_category]]）とは非自明な射を全く持たない[[圏 (数学)|圏]]である. つまり, 圏 <math>C</math> が離散であるとは, <math>C</math> の任意の異なる対象 <math>c,c'</math> に対し, <m …

圏 <math>\mathcal{C}</math> の対象 {{mvar|P}} が'''射影的'''とは，[[hom関手]] が[[完全関手]]であることをいう．ただし <math>\mathbf{Ab}</math> は[[アーベル群]]の[[圏 (数学)|圏]]である． …

[[圏 (数学)|圏]] {{mvar|C}} と {{mvar|C}} における[[射 (圏論)|射]] <math>f\colon X\to Y</math> が与えら [[集合の圏]]において射 <math>f\colon X \to Y</math> の像は通常の[[像 (数学)|像]] <math>\{f(x) \mid x \in X\}</math> から {{mvar|Y}} への包含である。[[群の圏]]や[[アーベ …

[[圏論]]という[[数学]]の分野において，与えられた圏 {{mvar|C}} の'''反対圏'''（はんたいけん，{{lang-en-short|opposite categ …

[[数学]]では、[[束 (束論)|束]]の[[圏 (数学)|圏]]における[[始対象]]がブール領域である。記号としては {F, T} 等を当てることもあるが、真偽値から離れた議論では {0, 1} や {<mat …

[[数学]]，特に[[圏論]]において，'''単射的対象'''（たんしゃてきたいしょう，{{lang-en-short|injective object}}, …mathfrak{C}</math> を圏とし，{{mvar|H}} を <math>\mathfrak{C}</math> の射のあるクラスとする；圏 <math>\mathfrak{C}</math> が''充分 {{mvar|H}} 単射的対象をもつ'' (have enough {{mvar|H …

…/math>からそれ自身への自然変換がなす群、すなわちガロア理論における副有限群は''T''からそれ自身へのテンソル構造を保つ自然変換のなす[[群 (数学)|群]]（単に[[モノイド]]とする場合もある）に置き換える。これは代数群ではないが、代数群の逆極限（すなわち副代数群）である。 …

'''不変量'''（ふへんりょう、<em lang="en">invariant</em>）とは、[[圏 (数学)|数学的対象]]を特徴付ける別種の数学的対象のことである。一般に、不変量は数や多項式など、不変量同士の[[準同型|同型性]]判定がもとの対象の同型性判 対象の含まれる[[圏 (数学)|圏]] ''C'' 、対象間の同型[[射 (圏論)|射]] &sim; が与えられているとする。 …

…，[[圏 (数学)|圏]] {{mvar|C}} の'''部分圏'''（ぶぶんけん，{{lang-en-short|subcategory}}）とは，圏 {{mvar|S}} であって対象が {{mvar|C}} の対象で[[射 (圏論)|射]]が {{mvar|C}} の射で同じ恒等射と射の合成をもつ * [[単位元 (環論)|単位元]]をもつ[[環 (数学)|環]]の圏（射は単位元を保つ環準同型）は環の圏の充満でない部分圏をなす． …

…された位相のことである。またそのような位相を持つ圏を'''サイト'''（仏、英: site）といい、その位相を用いることにより位相空間上での[[層 (数学)|層]]の理論が使えて[[コホモロジー]]理論を得ることができる。歴史的には[[代数幾何学]]の[[ヴェイユ予想]]を解決するために[[アレクサンドル …る射の族 <math>\{ \phi_i \colon T_i \rightarrow S \}_{i \in I}</math> が定義されるとき、圏 ''C'' に'''グロタンディーク位相'''が定義されたといい、その位相の構造も含めて圏 ''C'' をサイト（site）と呼ぶ。 …

…th|'''Ab'''}} は、[[アーベル群]]を[[対象 (圏論)|対象]]とし[[群準同型]]を[[射 (圏論)|射]]とする[[圏 (圏論)|圏]]である。アーベル群の圏は[[アーベル圏]]の原型であり{{sfn|Pedicchio|Tholen|2004|p=200}}、実際に任意の[[小さい * アーベル群の圏 {{math|'''Ab'''}} は[[デカルト閉圏|デカルト閉]]でない（したがって[[トポス (数学)|トポス]]にもならない）。これは[[指数対象]]がないためである。 …

[[数学]]において，2つの[[基点付き空間]]（すなわち区別された基点を持つ[[位相空間]]）{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} の'''スマッシ …は[[代数的位相幾何学]]の一分野[[ホモトピー論]]において現れる．ホモトピー論では，すべての[[位相空間の圏]]とは異なる空間の[[圏 (数学)|圏]]でしばしば考える．これらの圏のうちスマッシュ積の定義をわずかに修正しなければならないものがある．例えば，2つの[[CW複体]]のスマッシュ積は，定義 …

[[積 (圏論)|積]] <math>a\times a</math> が存在する任意の[[圏 (数学)|圏]] <math>\mathcal{C}</math> の任意の対象 <math>a</math> に対して、 …math>k</math> 次成分への[[射影|自然な射影射]]である。この射の存在は（[[同型]][[up to|を除いて]]）積を[[特徴づけ (数学)|特徴づける]][[普遍性]]の結果である。ここでの二項の積への制限は表記の簡単さのためである。対角射は同様に任意の積に対して存在する。[[集合の圏] …

正確なステートメントは以下のようになる： {{math|'''A'''}} が小さなアーベル圏であれば、ある[[環 (数学)|環]] {{mvar|R}} とある[[完全関手|完全]][[忠実関手|忠実]][[充満関手|充満]][[関手]] {{math|''F'': '' …

…く）は、すべての[[位相線型空間]]を[[対象 (圏論)|対象]]とし、すべての[[連続線型写像]]を[[射 (圏論)|射]]とする[[圏 (圏論)|圏]]である。これが圏を成すのは、二つの連続線型写像の[[写像の合成|合成]]がふたたび連続線型となることによる。 [[位相体]] {{mvar|K}} を一つ固定して、{{mvar|K}} 上の位相線型空間が連続 {{mvar|K}}-線型写像を射としてなす（部分）圏 {{math|'''TVect'''{{sub|''K''}}}} を考えることもできる。 …

…; 閉モノイド圏）とは、モノイド積（テンソル積）およびその右随伴として定まる「冪」（通常の[[冪対象]]とは異なる）を対象として持つ[[圏 (圏論)|圏]]である。言い換えれば、冪対象の類似物を持った[[モノイド圏]]である。モノイド積が通常の[[積 (圏論)|積]]であるときは（「冪」が本物の冪対象と …

…野において，'''部分対象'''（ぶぶんたいしょう，{{lang-en-short|subobject}}）は，大まかに言って，同じ[[圏 (数学)|圏]]の別の対象の中にいる対象である．この概念は，[[集合論]]における[[部分集合]]，[[群論]]における[[部分群]]，{{疑問点範囲|[[位相空間 圏 {{math|'''Set'''}} において，{{mvar|A}} の部分対象は {{mvar|A}} の部分集合 {{mvar|B}} に対応する …

…| zbl = | jfm = }}</ref>）は、唯一の元からなる[[集合]]である。[[タプル|一つ組]] (1-tuple) や[[列 (数学)|単項列]] (a sequence with one element) と言うこともできる。 単集合であることと、その集合の[[濃度 (数学)|濃度]]が 1 であることは[[同値]]である。[[自然数の集合論的構成]]において、自然数の 1 とは単集合 {0} のことと定義される。 …

[[Category:同値 (数学)]] …