同型定理

数学、特に抽象代数学において、同型定理 (どうけいていり、テンプレート:Lang-en-short) は商、準同型、部分対象の間の関係を描く3つの定理である。定理のバージョンは群、環、ベクトル空間、加群、リー環、そして様々な他の代数的構造に対して存在する。普遍代数学において、同型定理は代数と合同の文脈に一般化することができる。

歴史

同型定理は加群の準同型に対してEmmy Noetherによって雑誌 Mathematische Annalen に 1927 年に掲載された彼女の論文 Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern においていくらか一般的に定式化された。これらの定理のより一般的でないバージョンは Richard Dedekind の仕事や Noether による前の論文において見つけられる。

3年後、B.L. van der Waerden は彼の大きな影響を及ぼした Algebra、主題への群-環-体アプローチをとった最初の抽象代数学の教科書を出版した。Van der Waerden は群論に関する Noether の講義と代数学に関する Emil Artin の講義を、また Wilhelm Blaschke, テンプレート:Ill2, そして van der Waerden 自身によって行われたイデアルに関するセミナーを、主なリファレンスとして信用した。準同型定理と呼ばれる3つの同型定理と同型の2つの法則は群に適用されたとき明示的に現れる。

群

まず群の文脈において4つの同型定理を述べる。

定理の付番と命名について

以下に示す4つの定理はしばしば「第一同型定理」「第二同型定理」⋯⋯と番号を用いた名前で呼ばれるが、文献によってその順番はまちまちである。以下の表に文献ごとの群同型定理の付番の例を示す。なお、これらの定理にはそれぞれ環と加群にも対応する定理が存在することに注意されたい。

群の同型定理の名前の比較
分類	筆者	定理1	定理2	定理3
「第三」なし	Jacobson^[1]	準同型の基本定理（Fundamental theorem of homomorphisms）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）	第一同型定理（First isomorphism theorem）
	van der Waerden,^[2] Durbinテンプレート:Refn	準同型の基本定理（Fundamental theorem of homomorphisms）	第一同型定理（First isomorphism theorem）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）
	Knapp^[3]	（対応なし）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）	第一同型定理（First isomorphism theorem）
	Grillet^[4]	準同型定理（Homomorphism theorem）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）	第一同型定理（First isomorphism theorem）
「第三」あり	(Other convention per Grillet)	第一同型定理（First isomorphism theorem）	第三同型定理（Third isomorphism theorem）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）
	Rotman^[5]	第一同型定理（First isomorphism theorem）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）	第三同型定理（Third isomorphism theorem）
	Fraleigh^[6]	（対応なし）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）	第三同型定理（Third isomorphism theorem）
	Dummit & Foote^[7]	第一同型定理（First isomorphism theorem）	第二同型定理、もしくは菱形同型定理（Second or Diamond isomorphism theorem）	第三同型定理（Third isomorphism theorem）
番号なし	Milne^[8]	準同型定理（Homomorphism theorem）	同型定理（Isomorphism theorem）	対応定理（Correspondence theorem）
番号なし	Scott^[9]	準同型定理（Homomorphism theorem）	同型定理（Isomorphism theorem）	一年生定理（Freshman theorem）

一般的ではないものの、これらに対応定理を4番目の定理として加えることがあり、「第四同型定理」あるいは「束定理」と呼ばれる。

定理のステートメント

定理1

テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar を群とし、テンプレート:Math を群準同型とする。このとき

テンプレート:Mvar の像テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の部分群であり、
テンプレート:Mvar の核テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の正規部分群であり、
テンプレート:Mvar の像は商群テンプレート:Math に同型である。

とくに、テンプレート:Mvar が全射であれば、テンプレート:Mvar はテンプレート:Math に同型である。

定理2

テンプレート:Mvar を群とする。テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar の部分群とし、テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar の正規部分群とする。このとき

テンプレート:仮リンクテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の部分群であり、
共通部分テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の正規部分群であり、
商群テンプレート:Math とテンプレート:Math は同型である。

技術的には、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の正規化群の部分群でありさえすればテンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の正規部分群である必要はない。この場合、共通部分テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の正規部分群とは限らないが、テンプレート:Mvar の正規部分群ではなおある。

定理3

テンプレート:Mvar を群とする。テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar の正規部分群でテンプレート:Math とする。このとき

商テンプレート:Math は商テンプレート:Math の正規部分群であり、
商群テンプレート:Math はテンプレート:Math に同型である。

定理4

テンプレート:Main 一部の文献では対応定理を三番目もしくは四番目の同型定理として紹介している。また別の文献ではテンプレート:日本語版にない記事リンクを第四同型定理としている^[10]。

議論

**First isomorphism theorem**

定理1は「群の圏が正規エピ–モノ分解可能、すなわちテンプレート:仮リンクのクラスとモノ射のクラスはこの圏のテンプレート:Ill2 (factorization system) をなす」という圏論的事実に基づく。これは横の可換図式においてとらえられ、存在が射テンプレート:Math から導かれる対象と射を示している。図式は群の圏においてすべての射が核を圏論的な意味でもつことを示している；任意の射テンプレート:Mvar はテンプレート:Math に分解する、ただしテンプレート:Mvar はモノ射でテンプレート:Mvar はエピ射である（余正規圏においてすべてのエピ射は正規である）。これは対象テンプレート:Math とモノ射テンプレート:Math によって図式において表現されており（核は常にモノ射である）、図式の左下から右上に走る短完全列を完成させる。完全列を用いる慣習によってテンプレート:Math からテンプレート:Mvar とテンプレート:Math へのゼロ射を描かなくて済む。

列が右分裂であれば（すなわちテンプレート:Math をそれ自身のテンプレート:Mvar-原像に写す射テンプレート:Mvar が存在すれば）、テンプレート:Mvar は正規部分群テンプレート:Math と部分群テンプレート:Math の半直積である。それが左分裂（すなわちあるテンプレート:Math が存在してテンプレート:Math）であれば、右分裂でもなければならず、テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の直積分解である。一般に、右分裂の存在は左分裂の存在を意味しないが、アーベル圏（例えばアーベル群全体）においては、左分裂と右分裂は分裂補題によって同値であり、右分裂は直和分解テンプレート:Math を生み出すのに十分である。アーベル圏において、すべてのモノ射は正規でもあり、図式は2番目の短完全列テンプレート:Math によって拡張できる。

定理2において、積テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクにおけるテンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の結びであり、共通部分テンプレート:Math は交わりである。

定理3は9項補題によってアーベル圏やより一般の対象の間の写像に一般化される。それはときどき略式的に "freshman theorem" と呼ばれる、なぜならば "freshman でさえわかるからだ： K たちをキャンセルアウトするだけでよい！"

環

環に対する定理のステートメントも同様であり、正規部分群の概念がイデアルの概念に取って代わる。

定理1

テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar を環とし、テンプレート:Math を環準同型とする。このとき

テンプレート:Mvar の像テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の部分環であり、
テンプレート:Mvar の核テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar のイデアルであり、
テンプレート:Mvar の像は商環テンプレート:Math に同型である。

とくに、テンプレート:Mvar が全射であれば、テンプレート:Mvar はテンプレート:Math に同型である。

3の証明

$x \ker f \in R / \ker f$ を $f (x) \in i m f$ に送る写像 $φ$ はwell-definedかつ準同型である。なぜなら、 $x, y \in R$ が $x - y \in \ker f$ を満たすなら、 $f (x - y) = 0$ より、 $f (x) = f (y)$ であるから、 $φ$ はwell-definedであり、 $φ (x \ker f + y \ker f) = φ ((x + y) \ker f) = f (x + y) = f (x) + f (y) = φ (x \ker f) + φ (y \ker f),$ $φ (x \ker f y \ker f) = φ (x y \ker f) = f (x y) = f (x) f (y) = φ (x \ker f) φ (y \ker f)$ であるから、 $φ$ は準同型である。次に、 $φ$ が全単射であることを示す。全射であることは明らか。もし、 $φ (x \ker f) = 0$ なら、 $f (x) = 0$ なので、 $x \in \ker f$ となり、 $x \ker f = \ker f$ となるので、 $φ$ は単射である。

定理2

テンプレート:Mvar を環とする。テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar の部分環とし、テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar のイデアルとする。このとき

和テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の部分環であり、
共通部分テンプレート:Math はテンプレート:Mvar のイデアルであり、
商環テンプレート:Math とテンプレート:Math は同型である。

定理3

テンプレート:Mvar を環とする。テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar のイデアルでテンプレート:Math とする。このとき

集合テンプレート:Math は商テンプレート:Math のイデアルであり、
商環テンプレート:Math はテンプレート:Math に同型である。

加群

加群に対する同型定理のステートメントはとりわけ単純である、なぜならば任意の部分加群から商加群を構成することができるからである。ベクトル空間とアーベル群に対する同型定理はこれらの特別な場合である。ベクトル空間に対しては、これらの定理はすべて階数・退化次数の定理 (rank-nullity theorem) から従う。

以下の定理のすべてで、言葉「加群」は「テンプレート:Mvar-加群」を意味する、ただしテンプレート:Mvar はある固定された環。

一般

これを普遍代数学に一般化するために、正規部分群は合同で置き換えられる必要がある。

代数系テンプレート:Mvar 上の合同 (congruence) は成分ごとの演算構造を与えられたテンプレート:Math の部分代数系である同値関係テンプレート:Math である。演算を表現を経由して定義することによって同値類の集合テンプレート:Math を同じタイプの代数系にできる。テンプレート:Math はテンプレート:Math の部分代数系だからこれは well-defined である。

定理1

テンプレート:Math を代数系の準同型とする。このときテンプレート:Mvar の像はテンプレート:Mvar の部分代数系で、テンプレート:Math で与えられる関係はテンプレート:Mvar 上の合同で、代数系テンプレート:Math とテンプレート:Math は同型である。

定理2

代数系テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の部分代数系テンプレート:Mvar と、テンプレート:Mvar 上の合同テンプレート:Math が与えられ、テンプレート:Math をテンプレート:Math のテンプレート:Mvar におけるトレースとしテンプレート:Math をテンプレート:Mvar と交わる同値類の集まりとする。

このとき

テンプレート:Math はテンプレート:Mvar 上の合同で、
テンプレート:Math はテンプレート:Math の部分代数系で、
代数系テンプレート:Math は代数テンプレート:Math に同型である。

定理3

テンプレート:Mvar を代数系としテンプレート:Math2 をテンプレート:Mvar 上の2つの合同関係でテンプレート:Math とする。このとき

テンプレート:Math はテンプレート:Math の合同で、
テンプレート:Math はテンプレート:Math に同型である。

脚注

テンプレート:脚注ヘルプテンプレート:Reflist

参考文献

Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) p. 26-61
Colin McLarty, 'Emmy Noether’s ‘Set Theoretic’ Topology: From Dedekind to the rise of functors' in The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy (edited by Jeremy Gray and José Ferreirós), Oxford University Press (2006) p. 211–35.
テンプレート:Citation
Paul M. Cohn, Universal algebra, Chapter II.3 p.57
テンプレート:Citation
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テンプレート:Cite book
テンプレート:Cite book
テンプレート:Citation
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外部リンク

↑ Jacobson (2009), sec 1.10
↑ van der Waerden, Algebra (1994).
↑ Knapp (2016), sec IV 2
↑ Grillet (2007), sec. I 5
↑ Rotman (2003), sec. 2.6
↑ Fraleigh (2003), Chap. 34
↑ テンプレート:Cite book
↑ Milne (2013), Chap. 1, sec. Theorems concerning homomorphisms
↑ Scott (1964), secs 2.2 and 2.3
↑ テンプレート:Cite book

[1] Jacobson (2009), sec 1.10

[2] van der Waerden, Algebra (1994).

[3] Knapp (2016), sec IV 2

[4] Grillet (2007), sec. I 5

[5] Rotman (2003), sec. 2.6

[6] Fraleigh (2003), Chap. 34

[7] テンプレート:Cite book

[milne-8] Milne (2013), Chap. 1, sec. Theorems concerning homomorphisms

[9] Scott (1964), secs 2.2 and 2.3

[10] テンプレート:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

分類	筆者	定理1	定理2	定理3
「第三」なし	Jacobson^[1]	準同型の基本定理（Fundamental theorem of homomorphisms）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）	第一同型定理（First isomorphism theorem）
	van der Waerden,^[2] Durbinテンプレート:Refn	準同型の基本定理（Fundamental theorem of homomorphisms）	第一同型定理（First isomorphism theorem）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）
	Knapp^[3]	（対応なし）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）	第一同型定理（First isomorphism theorem）
	Grillet^[4]	準同型定理（Homomorphism theorem）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）	第一同型定理（First isomorphism theorem）
「第三」あり	(Other convention per Grillet)	第一同型定理（First isomorphism theorem）	第三同型定理（Third isomorphism theorem）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）
	Rotman^[5]	第一同型定理（First isomorphism theorem）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）	第三同型定理（Third isomorphism theorem）
	Fraleigh^[6]	（対応なし）	第二同型定理（Second isomorphism theorem）	第三同型定理（Third isomorphism theorem）
	Dummit & Foote^[7]	第一同型定理（First isomorphism theorem）	第二同型定理、もしくは菱形同型定理（Second or Diamond isomorphism theorem）	第三同型定理（Third isomorphism theorem）
番号なし	Milne^[8]	準同型定理（Homomorphism theorem）	同型定理（Isomorphism theorem）	対応定理（Correspondence theorem）
番号なし	Scott^[9]	準同型定理（Homomorphism theorem）	同型定理（Isomorphism theorem）	一年生定理（Freshman theorem）

同型定理

目次

歴史

群

定理の付番と命名について

定理のステートメント

定理1

定理2

定理3

定理4

議論

環

定理1

定理2

定理3

加群

定理1

定理2

定理3

一般

定理1

定理2

定理3

関連項目

脚注

参考文献

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定理の付番と命名について

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