球面調和関数

低次の球面調和関数。赤色は正、緑色は負の領域を示す。

球面調和関数の球表示（左）と原子軌道表示（右）。 （gifアニメーション）

球面調和関数（きゅうめんちょうわかんすう、テンプレート:Lang-en-short）あるいは球関数（きゅうかんすう、テンプレート:Lang-en-short）は以下のいずれかを意味する関数である：

1. テンプレート:Mvar 次元ラプラス方程式の解となる斉次多項式を単位球面に制限する事で得られる関数。
2. 次元 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の場合の 1 の意味での球面調和関数で、球面座標 テンプレート:Math で書いたラプラス方程式の変数分離解を記述するのに用いる事ができる関数 テンプレート:Math.

本項では 1 及び 2 双方の意味の球面調和関数について述べるが、特に断りがない限り、「球面調和関数」という言葉を 1 の意味で用いる。

定義

テンプレート:Mathbf を実数全体の集合とし、テンプレート:Mathbf を複素数全体の集合とし、テンプレート:Mvar 個の実数からなる組の集合を テンプレート:Math とし、テンプレート:Math の元を テンプレート:Math と書き表すことにする。

テンプレート:Math 上の複素数値関数

テンプレート:Math

が2階微分可能なとき、テンプレート:Math を

$\mathrm{\Delta }\varphi =\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_i{}^2}\varphi$

と定義し、テンプレート:Math をラプラス作用素という。さらに テンプレート:Math 上の（複素数値の）多項式 テンプレート:Math で

テンプレート:Math

を満たすものをテンプレート:仮リンクという。なおラプラス作用素は回転行列 テンプレート:Mvar に対し、

テンプレート:Math

を満たすのでテンプレート:Sfn、調和多項式の定義は座標系のとり方に依存しない。

調和多項式 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 次の斉次多項式であるとき、テンプレート:Mvar を単位球面 テンプレート:NumBlk に制限した制限写像

$Y=p{|}_{S^{n-1}}:S^{n-1}\to 𝐂$

を テンプレート:Mvar 次の球面調和関数というテンプレート:Sfn。

（テンプレート:Mvar 次元空間 テンプレート:Math における）テンプレート:Mvar 次の球面調和関数全体の集合を テンプレート:Mathcalテンプレート:Math とすると、テンプレート:Mathcalテンプレート:Math は テンプレート:Mathbf 上のベクトル空間であり、 テンプレート:NumBlk であるテンプレート:Sfn。

帯球関数

テンプレート:Math を テンプレート:Math 上のベクトル

テンプレート:Math

とする。 テンプレート:Math theorem 次の事実が成立するテンプレート:R。

具体的表記

帯球関数を具体的に書き表す為、記号を導入する。自然数 テンプレート:Mvar と非負の実数 テンプレート:Mvar に対しポッホハマー記号 テンプレート:Math を

$(x{)}_n:=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+n)}{\mathrm{\Gamma }(x)}$

により定義する。ここで テンプレート:Math はガンマ関数である。さらにガウスの超幾何関数を

${}_2{F}_1(-k,b;c;z)=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})\frac{(b{)}_i}{(c{)}_i}{z}^i$

により定義し、さらに超球多項式を

$P_k^{(\alpha )}(z):={}_2{F}_1(-k,2\alpha +k;\alpha +\frac{1}{2};\frac{1-z}{2})$

により定義する。このとき、次が成立する。

$Z_k^n(x_1,\dots ,x_n):=P_k^{((n-2)/2)}(x_n)$ は テンプレート:Mvar 次の帯球関数であるテンプレート:Sfn。

すでに述べたように、テンプレート:Mvar 次の帯球関数は定数倍を除いて一意なので、全ての テンプレート:Mvar 次帯球関数は上述したものの定数倍として表記可能である。

3次元空間における球面調和関数

3次元空間 テンプレート:Math の場合、テンプレート:Math を球面座標 テンプレート:Math で表すと、下記の テンプレート:Math が球面調和関数になる事が知られている。 テンプレート:NumBlk ここで テンプレート:NumBlk であり、テンプレート:Math はルジャンドルの陪多項式テンプレート:Sfn テンプレート:NumBlk である。すなわち テンプレート:Math はルジャンドルの陪微分方程式

$(1-t^2)y^{″}(t)-2t{y}^{\prime }(t)+[k(k+1)-\frac{m^2}{1-t^2}]y(t)=0$

の解である。なお、ルジャンドルの陪微分方程式は条件 (テンプレート:EquationNote) を満たすとき、およびそのときだけ解を持つことが知られている。また、テンプレート:Math の定義における係数は、後述するノルムが1になるよう選んだものである。

テンプレート:Math が球面調和関数の定義を満たすことは自明ではないが、テンプレート:Mvar を テンプレート:Math と定義した上で直交座標に変換すると テンプレート:Mvar が斉次多項式になっている事を確認できる。

なお、本項では、「球面調和関数」という言葉をラプラス方程式の解となる斉次多項式（の球面への制限）一般を指す用語として用いるが、物理の教科書などでは上述した テンプレート:Math のみを球面調和関数と呼んでいるものも多い。

Yテンプレート:Subテンプレート:Sup(θ, φ) の意義

テンプレート:Math は斉次多項式に関する3次元空間のラプラス方程式を変数分離で解く事で自然に得られる。テンプレート:Mvar 次の斉次多項式 テンプレート:Mvar に対し、変数分離形

テンプレート:Math

でラプラス方程式 テンプレート:Math を解くと、変数分離形の解は必ず

$p(r,\theta ,\varphi )=r^k(A{Y}_k{}^m(\theta ,\varphi )+B{Y}_k{}^{-m}(\theta ,\varphi )),$ テンプレート:Mvar は整数で テンプレート:Math

と書ける事を証明できる。

テンプレート:Math proof また、3次元空間の場合、テンプレート:Mvar 次球面調和関数全体のなすベクトル空間 テンプレート:Mathcalテンプレート:Math の次元は、(テンプレート:EquationNote) より

${\dim }_{𝐂}{\mathscr{H}}_k=2k+1$

なので、(テンプレート:EquationNote) より、以下の結論が得られる：

球面上の完全直交性

本節では、球面調和関数の空間に内積を定義し、球面調和関数がこの内積に関して完全直交性を満たすことを示す。

球面調和関数に対する内積

テンプレート:Mvar 次元空間 テンプレート:Math の単位球面 テンプレート:Math を (テンプレート:EquationNote) のように定義し、テンプレート:Math を テンプレート:Math 上の面素とし、テンプレート:Math 上定義された2つの球面調和関数 テンプレート:Math の内積を テンプレート:NumBlk により定義する。なお、面素 テンプレート:Math は球面座標 テンプレート:Math を

$x_j=\{\begin{array}{cc}r\sin {\theta }_1\cdots \sin {\theta }_{j-1}\cos {\theta }_j& \text{if }1\le j\le n-1\\ r\sin {\theta }_1\cdots \sin {\theta }_n& \text{if }j=n\end{array}$

を用いて

$\mathrm{d}S=\prod _{j=1}^{n-1}{\sin }^{j-1}{\theta }_j\mathrm{d}{\theta }_1\cdots \mathrm{d}{\theta }_{n-1}$

と書けるテンプレート:Sfn。特に テンプレート:Math 次元空間の場合は球面座標 テンプレート:Math に対し、

$\mathrm{d}S=\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$

である。

直交性

テンプレート:Mvar 次球面調和関数全体のなすベクトル空間を テンプレート:Mathcalテンプレート:Math とすると、以上のように定義された内積に対し、以下の事実が成立する事が知られている。 テンプレート:Math theorem 特に テンプレート:Math 次元空間では次が成立する。 テンプレート:Math theorem

完全直交性

テンプレート:Mathcalテンプレート:Math が更に強い性質を満たすことも証明可能である。テンプレート:Math 上の自乗可積分函数全体の空間

テンプレート:Math は可測かつ テンプレート:Math が有限値 テンプレート:Math

は テンプレート:Mathcalテンプレート:Math を使って直交分解可能であるテンプレート:R： テンプレート:Math theorem これを言い換えると、以下の系が従う： テンプレート:Math theorem

特に テンプレート:Math 次元の場合は、上述の事実とテンプレート:EquationNoteから以下が成立する： テンプレート:Math theorem

3次元空間における完全直交性

テンプレート:Math 次元空間 テンプレート:Math の球面座標 テンプレート:Math に対し、

$\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$

が成立する。そこで、テンプレート:Math 上の関数 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math の内積を テンプレート:NumBlk により定義し、さらに テンプレート:Math の関数 テンプレート:Math の内積を テンプレート:NumBlk とする。テンプレート:Math が

テンプレート:Math

と変数分離形で書けていた場合には、(テンプレート:EquationNote), (テンプレート:EquationNote), (テンプレート:EquationNote) で定義した内積は以下の性質を満たす。

$⟨f_1|f_2⟩=⟨{\chi }_1|{\chi }_2{⟩}_R⟨Y_1|Y_2{⟩}_S$

(テンプレート:EquationNote), (テンプレート:EquationNote), (テンプレート:EquationNote) の内積を用いて自乗可積分な関数全体の集合をそれぞれ テンプレート:Math と書くと、ヒルベルト空間の一般論から、次が成立する。

上述した定理とテンプレート:EquationNoteから、以下の結論が従う。 テンプレート:Math theorem

テンプレート:Anchorsテンプレート:Math の具体例

テンプレート:Main いくつかの球面調和関数の具体的な表式を示す。

$\begin{array}{cc}{Y}_0^0& =\frac{1}{\sqrt{4\pi }}\\ Y_1^0& =\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \theta \\ Y_1^{\pm 1}& =\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \theta e^{\pm i\phi }\\ Y_2^0& =\sqrt{\frac{5}{16\pi }}(3{\cos }^2\theta -1)\\ Y_2^{\pm 1}& =\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \theta \cos \theta e^{\pm i\phi }\\ Y_2^{\pm 2}& =\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{\sin }^2\theta e^{\pm 2i\phi }\\ Y_3^0& =\sqrt{\frac{7}{16\pi }}(5{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\\ Y_3^{\pm 1}& =\mp \sqrt{\frac{21}{64\pi }}\sin \theta (5{\cos }^2\theta -1)e^{\pm i\phi }\\ Y_3^{\pm 2}& =\sqrt{\frac{105}{32\pi }}{\sin }^2\theta \cos \theta e^{\pm 2i\phi }\\ Y_3^{\pm 3}& =\mp \sqrt{\frac{35}{64\pi }}{\sin }^3\theta e^{\pm 3i\phi }\end{array}$

代数的性質

加法定理

球面調和関数には「加法定理」と呼ばれる性質がある。これは三角関数における加法定理

$\cos ({\theta }^{\prime }-\theta )=\cos {\theta }^{\prime }\cos \theta +\sin \theta \sin {\theta }^{\prime }$

を一般化したものと捉えることができる。上式の右辺は球面調和関数に、左辺はルジャンドル多項式に置き換えられる。

二つの単位ベクトル テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar を考え、それらの球面座標をそれぞれ テンプレート:Math および テンプレート:Math とする。このとき、加法定理は以下のように表すことができる：

ここで テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 次のルジャンドル多項式である。この表式は実数調和関数・虚数調和関数の双方について成り立つ。この結果は単位球面上のポアソン核の性質を用いて、あるいはベクトル テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 軸に沿うように幾何的に回転させたのちに右辺を直接計算することにより解析的に証明することができるテンプレート:Sfn。

特に、テンプレート:Math の場合はウンゼルトの定理テンプレート:Sfn

$\sum _{m=-\ell }^{\ell }{Y}_{\ell m}^{*}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=\frac{2\ell +1}{4\pi }$

に帰着する。この式は一次元の三角関数における恒等式 テンプレート:Math を二次元に拡張したものとみなすことができる。

式 (テンプレート:EquationNote) の左辺 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 次のテンプレート:仮リンクの定数倍である。この観点から、より高次元の場合にも次のように一般化することができる。テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 次元超球面上の テンプレート:Mvar 次の球面調和関数の張る空間 テンプレート:Math の任意の正規直交基底とする。このとき、単位ベクトル テンプレート:Mvar に対応する テンプレート:Mvar 次の帯球調和関数 テンプレート:Math は以下のように書き下せるテンプレート:Sfn。

さらに、帯球調和関数 テンプレート:Math は適切なゲーゲンバウアー多項式の定数倍として表すことができる： テンプレート:NumBlk テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar が球面座標で表される場合、(テンプレート:EquationNote) および (テンプレート:EquationNote) を組み合わせると (テンプレート:EquationNote) が得られる。最後に、テンプレート:Math の場合を評価すると次の恒等式が得られる：

$\frac{\dim {𝐇}_{\ell }}{{\omega }_{n-1}}=\sum _{j=1}^{\dim ({𝐇}_{\ell })}|Y_j(𝒙){|}^2.$

ここで テンプレート:Math は テンプレート:Math 次元超球の体積である。

クレブシュ–ゴルダン係数

クレブシュ–ゴルダン係数とは、二つの球面調和関数の積を球面調和関数の線形結合で展開する際の展開係数である。ウィグナーの3-j記号やラカー係数、スレーター積分など様々な計算方法があるが、本質は同じである。抽象的には、クレブシュ–ゴルダン係数は二つの回転群の既約表現のテンソル積を既約表現の和で表わすときの係数と見ることができる。よって、適切に正規化すれば多重度と一致する。

パリティ

原点に対する点対称操作で符号が替わらない（偶関数）かあるいは符号が逆になる（奇関数）かに依って、球面調和関数に対する「パリティ」が定義される。原点を不動点とする点対称操作は テンプレート:Math と表わせる。立体角で表わせば、テンプレート:Math を テンプレート:Math に置き換える操作になる。ルジャンドル陪多項式（Associated Legendre polynomials）はパリティとして テンプレート:Math を、指数関数は テンプレート:Math を与えるので、両者を併せると球面調和関数のパリティは（mには依らずに） テンプレート:Math となる。

$Y_{\ell }^m(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^m(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1{)}^{\ell }{Y}_{\ell }^m(\theta ,\varphi )$

このことは、高次元に一般化した場合にも成り立つ。テンプレート:Mvar 次の球面調和関数に点対称操作を施した場合、符号の変化は テンプレート:Math となる。 （これは調和多項式が次数の偶・奇に併せて空間反転で偶関数・奇関数であること、球面調和函数が調和多項式の球面上への制限であることからも容易に理解できる。）

量子力学での応用

量子力学で、球対称なポテンシャル テンプレート:Math に対する1粒子シュレーディンガー方程式（代表的なものは水素原子のシュレーディンガー方程式）

$\{-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(r)\}\psi (𝒓)=E\psi (𝒓)$

を解いたときに、球面調和関数が現れる。量子力学では テンプレート:Math の テンプレート:Mvar を量子数と呼び、それぞれ テンプレート:Mvar を方位量子数、テンプレート:Mvar を磁気量子数という。

球面調和関数は軌道角運動量 テンプレート:Mvar と密接な関係がある。球面調和関数は テンプレート:Math と テンプレート:Mvar の同時固有関数になっており、その固有値はそれぞれ テンプレート:Math である。すなわち

${\mathit{\ell }}^2{Y}_{\ell }^m={\hslash }^2\ell (\ell +1)Y_{\ell }^m$

${\ell }_z{Y}_{\ell }^m=m\hslash Y_{\ell }^m$

となる。また、上昇下降演算子 テンプレート:Math を球面調和関数に作用させると

${\ell }_{+}{Y}_{\ell }^m=\hslash \sqrt{(\ell -m)(\ell +m+1)}{Y}_{\ell }^{m+1}$

${\ell }_{-}{Y}_{\ell }^m=\hslash \sqrt{(\ell +m)(\ell -m+1)}{Y}_{\ell }^{m-1}$

${\ell }_{+}{Y}_{\ell }^{\ell }=0,{\ell }_{-}{Y}_{\ell }^{-\ell }=0$

となる。

文献

参考文献

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その他の文献

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• 野村隆昭:「球面調和函数と群の表現」、ISBN: 978-4535798182、日本評論社 (2018年7月)。
• Edmonds, A. R.: "Angular Momentum in Quantum Mechanics",　Princeton University Press, ISBN 978-0691025896 (1996). Reprint version.
• 山内恭彦：「回転群とその表現」、岩波書店、ISBN 978-4000051460 (1988年11月)。
• MartinJ. Mohlenkamp: "A FastTransform for Spherical Harmonics", The Journal of Fourier Analysis and Applications 5(2/3), pp.159-184 (1999).
• Kendall Atkinson and Weimin Han: "Spherical Harmonics and Approximations on the Unit Sphere: An Introduction", Springer, ISBN 978-3-642-25982-1 (2012).

関連項目

• 調和関数

外部リンク

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