群準同型

テンプレート:Mvar は、群 テンプレート:Mvar(左) から群 テンプレート:Mvar(右) への群準同型。テンプレート:Mvar 内の楕円は テンプレート:Mvar の像。テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の核。テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の属する剰余類

テンプレート:Groups 数学、特に群論における群の準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう、テンプレート:Lang-en-short）は群の構造を保つ写像である。準同型写像を単に準同型とも呼ぶ。

定義と注意

ふたつの群 テンプレート:Math と テンプレート:Math が与えられたとする。テンプレート:Math から テンプレート:Math への群準同型とは、写像 テンプレート:Math で、$$h(u*v)=h(u)\cdot h(v)(\mathrm{\forall }u,v\in G)$$ を満たすものである。ここで、左辺は テンプレート:Mvar の元に対して テンプレート:Mvar の群演算を施したものを テンプレート:Mvar で写した先の テンプレート:Mvar の元を意味し、右辺は テンプレート:Mvar の各元を テンプレート:Mvar で テンプレート:Mvar の元に写したものに テンプレート:Mvar の群演算を施したものである。

定義から、準同型写像 テンプレート:Mvar は、テンプレート:Mvar の単位元 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の単位元 テンプレート:Mvar に写し、また $$h(u^{-1})=h(u{)}^{-1}$$ が成り立つという意味で逆元を逆元に写すということが示せる。このとき、「テンプレート:Mvar は群構造と両立する(compatible with)」とも言う。

注意

古い記法では、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar や テンプレート:Mvar と表記されていた。ただしこの記法では、何らかの指数や一般の添字などと混同しやすい。なお、より最近の記法では準同型を引数の右側から作用させるときは括弧を書かないというようなものもある。この場合 テンプレート:Math は単に テンプレート:Mvar と書ける。これは特に、オートマトンによる機械処理を行う分野で一般的である。オートマトンは左から右へ順番に読めばいいので処理しやすいためである。

群に何か別の構造が付加されている場合には、「準同型」という言葉は（上記のような）群構造だけではなくて、付加された構造についてもよく振舞うをこと意味していることもある。たとえば、位相群の準同型といえば、しばしば連続性も要求される。

群 テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への群準同型全体のなす集合は テンプレート:Math と表記される。

像と核

準同型 テンプレート:Math の核 テンプレート:Math を、テンプレート:Mvar によって テンプレート:Mvar の単位元にうつる テンプレート:Mvar の元全体の集合 $$\ker (h):=\{u\in G:h(u)=e_H\}$$ と定義し、また準同型 テンプレート:Math の像を $$\mathrm{im}(h):=\{h(u):u\in G\}$$ で定義する。核は テンプレート:Mvar の正規部分群である（実際、テンプレート:Math とすれば、任意の テンプレート:Math に対し $$h(g^{-1}ug)=h(g{)}^{-1}h(u)h(g)=h(g{)}^{-1}{e}_{H}h(g)=h(g{)}^{-1}h(g)=e_H$$ が成立するから、$g^{-1}\ker (h)g=\ker (h)$ はすぐにわかる）。また、像は テンプレート:Mvar の部分群である。準同型 テンプレート:Mvar が単射（しばしば 群単準同型 テンプレート:Lang と呼ばれる）になることと テンプレート:Math となることとは同値である。

準同型の核と像は、その準同型がどのくらい同型に近いかを測るものと解釈することができる。第一同型定理によれば、準同型 テンプレート:Math の像 テンプレート:Math は、余像と呼ばれる商群 テンプレート:Math に同型である。

例

• 巡回群 テンプレート:Math と、整数全体の成す加法群 テンプレート:Mathbf を考える。 テンプレート:Math によって定義される写像 テンプレート:Math は群準同型である。これは全射であり、核は3の倍数全体の成す集合である。
• 指数関数は、実数全体の成す加法群 テンプレート:Mathbf から、非零実数全体の成す乗法群 テンプレート:Math への準同型 テンプレート:Math を与える。核は テンプレート:Math であり、像は正の実数全体 テンプレート:Math である。
• 指数関数はまた、複素数全体の成す加法群 テンプレート:Mathbf から、非零複素数全体の成す乗法群 テンプレート:Math への準同型をも与える。この写像は全射であり、核はオイラーの公式から明らかなように テンプレート:Math となる。テンプレート:Mathbf や テンプレート:Mathbf のように、その加法群から乗法群への準同型を持つ体を指数体と言う。
• 有限集合 テンプレート:Math 上の置換 テンプレート:Mvar に対して符号 テンプレート:Math を対応させる写像 テンプレート:Math は群準同型である。ここで テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 次対称群である。この群準同型は テンプレート:Math のとき全射であり、その核は テンプレート:Mvar 次交代群 テンプレート:Math と呼ばれる。
• 複素成分の テンプレート:Mvar 次正則行列 テンプレート:Mvar に対して行列式 テンプレート:Math を対応させる写像 テンプレート:Math は群準同型である。ここで テンプレート:Math は複素数体上の テンプレート:Mvar 次一般線型群である。この群準同型は全射であり、その核は テンプレート:Mvar 次特殊線型群 テンプレート:Math と呼ばれる。
• 実成分の テンプレート:Mvar 次正則行列 テンプレート:Mvar に対して逆行列の転置 テンプレート:Math を対応させる写像 テンプレート:Math は群（準）同型である。このとき テンプレート:Mvar で固定される行列の全体 テンプレート:Math は直交群 テンプレート:Math となる。
• 零でない複素数 テンプレート:Math に対して絶対値 テンプレート:Math を対応させる写像 テンプレート:Math は群準同型である。この写像の像は正の実数の全体 テンプレート:Math であり、核は複素平面の単位円に属する複素数の全体 テンプレート:Math である。
• 奇素数 テンプレート:Mvar についてルジャンドル記号は テンプレート:Math から テンプレート:Math への群準同型 テンプレート:Math を定める。

群の圏

テンプレート:Math および テンプレート:Math が群準同型ならば、それらの合成 テンプレート:Math もまた群準同型である。これにより、群全体の成す（圏論的な意味での）類に群準同型を射としてあわせて考えたものは、群の圏 テンプレート:Mathbf と呼ばれる圏を成す。

準同型写像の種類

準同型 テンプレート:Math が全単射ならば、その逆写像もまた準同型になることが示せる。このとき テンプレート:Mvar は群同型写像 テンプレート:Lang であるといい、群 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は互いに同型 テンプレート:Lang であるという。互いに同型な群というのは、その元の記述の仕方が違うだけで、実用上は同一視できる。

定義域と終域が同じ群準同型写像 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の自己準同型写像という。さらに、テンプレート:Mvar が全単射、すなわち同型になるとき、自己同型という。テンプレート:Mvar のすべての自己同型からなる集合は、写像の合成を演算として群をなす。これを、テンプレート:Mvar の自己同型群と言い、テンプレート:Math と表記する。たとえば、群 テンプレート:Mathの自己同型群は、恒等変換と テンプレート:Math 倍写像の二つの元のみからなり、テンプレート:Math に同型である。

全射準同型（つまり、上への写像となっているような準同型）を全準同型 テンプレート:Lang という。また、単射準同型（つまり、一対一写像となっていうような準同型）を単準同型 テンプレート:Lang という。

アーベル群の準同型

テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar をアーベル群（つまり、演算が可換な群）とすると、テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への群準同型全体の成す集合 テンプレート:Math をそれ自身ひとつのアーベル群とすることができる。ただし準同型 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の和 テンプレート:Math を点ごとの和、すなわち $$(h+k)(u):=h(u)+k(u)(\mathrm{\forall }u\in G)$$ を満たすものとして定める。テンプレート:Mvar の可換性は、テンプレート:Math がふたたび群準同型となることを示すのに必要である。

準同型の加法は、準同型の合成と以下の意味で両立する:

テンプレート:Math の任意の元 テンプレート:Mvar および テンプレート:Math の任意の元 テンプレート:Mvar および テンプレート:Math の任意の元 テンプレート:Mvar に対して $$(h+k)\circ f=(h\circ f)+(k\circ f)$$ および $$g\circ (h+k)=(g\circ h)+(g\circ k)$$ が成り立つ。

これはアーベル群 テンプレート:Mvar の自己準同型全体の成す集合 テンプレート:Math は（準同型の和と合成に関して）環を成すことを示している。環 テンプレート:Math をアーベル群 テンプレート:Mvar の自己準同型環 と言う。たとえば、巡回群 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 個の直和として得られるアーベル群 テンプレート:Mvar の自己準同型環 テンプレート:Math は テンプレート:Math に成分を持つ テンプレート:Mvar-次正方行列全体の成す環に同型である。上記の和と合成に関する両立性はアーベル群（と群準同型）の圏 テンプレート:Mathbf が前加法圏を成すことをも示している。直和の存在や核がよく振舞うことから、圏 テンプレート:Mathbf はアーベル圏の原型的な例となっている。

関連項目

• 準同型定理

参考資料

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, MR1878556, ISBN 978-0-387-95385-4

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Nlab
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:ProofWiki
• テンプレート:SpringerEOM