多変数多項式

代数学における適当な単位的可換環テンプレート:Mvar に係数を持つ多変数多項式（たへんすうたこうしき、テンプレート:Lang-en-short, テンプレート:Lang-fr-short, 多元多項式）は、不定元テンプレート:Mvar に関する一変数多項式環テンプレート:Math を一般化するテンプレート:Mvar-結合多元環の元を言う。有限個の不定元に関する多項式環テンプレート:Math はテンプレート:Mvar に関して帰納的に構成できる。すなわち、この多項式環は、一つの不定元テンプレート:Mvar の多項式環テンプレート:Math に係数を持つ多項式全体の成す環である。任意の添字集合テンプレート:Mvar（無限集合でもよい）で添字付けられた任意個数の不定元テンプレート:Math に関する多項式環テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar の任意の有限部分集合テンプレート:Mvar に対する多項式環テンプレート:Math を亙る「合併」として定義される。より精確には、テンプレート:Mvar が有限でも無限でも、テンプレート:Math はモノイド環として定義できる。それはつまり、モニック単項式（つまり有限個の不定元テンプレート:Mvar からなる冪積）全体の成すモノイドを考え、それら単項式のテンプレート:Mvar-係数の形式線型結合として多項式は定義されるということである。

以下本項では、テンプレート:Mvar は単位的可換環とし、テンプレート:Mvar-多元環は結合的かつ単位的な多元環を意味するものとする。

帰納的構成

有限変数の帰納的構成

テンプレート:Mvar 変数のテンプレート:Mvar-係数多項式環テンプレート:Math はテンプレート:Mvar に関して帰納的に定義されるテンプレート:Efn :

テンプレート:Math 個の不定元に関するテンプレート:Mvar-係数多項式環とは、単にテンプレート:Mvar それ自身のこととする。
テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math は、係数環テンプレート:Mvar がひとつ前のステップで構成済みの多項式環テンプレート:Math となっている多項式環テンプレート:Math である。

定義により、（帰納的に）直ちにわかることはテンプレート:Math は

可換環であり、整域となるための必要十分条件はテンプレート:Mvar がそうであることである。
テンプレート:Mvar を部分環として含み、したがってテンプレート:Mvar-多元環となる。
テンプレート:Mvar-加群として自由であり、その標準基底は単項式テンプレート:Math（各テンプレート:Mvar は非負整数）の全体で与えられる。

上記の帰納的定義をより具体的に書けば、テンプレート:Math の元は $P = \sum_{j = 0}^{m} P_{j} X_{n}^{j} (P_{j} \in A [X_{1}, \dots, X_{n - 1}])$ なる形の有限和に書けて、さらに各テンプレート:Mvar は $P_{j} = \sum_{k_{1}, \dots, k_{n - 1} \in {0, \dots, d_{j}}} a_{k_{1}, \dots, k_{n - 1}, j} X_{1}^{k_{1}} \dots X_{n - 1}^{k_{n - 1}} (a_{k_{1}, \dots, k_{n - 1}, j} \in A)$ なる有限和に書けるということになる。あるいは、テンプレート:Mvar 個のテンプレート:Math のテンプレート:Ill2をテンプレート:Mvar として、テンプレート:Mvar およびテンプレート:Mvar に属する係数のリストを適当にテンプレート:Math で埋めれば、 $P_{j} = \sum_{k_{1}, \dots, k_{n - 1} \in {0, \dots, d}} a_{k_{1}, \dots, k_{n - 1}, j} X_{1}^{k_{1}} \dots X_{n - 1}^{k_{n - 1}}$ と多少簡単に書けて、最終的にテンプレート:Mvar 変数多項式は $P = \sum_{j = 0}^{d} P_{j} X_{n}^{j} = \sum_{k_{1}, \dots, k_{n - 1}, j \in {0, \dots, d}} a_{k_{1}, \dots, k_{n - 1}, j} X_{1}^{k_{1}} \dots X_{n - 1}^{k_{n - 1}} X_{n}^{j}$ なる形をしている。

無限変数への拡張

上記の定義からわかることとして:

多項式環テンプレート:Math は（自然同型が存在するという意味において）構成に現れる不定元を添加する順番に依らず定まる。この環をテンプレート:Math と書いたり（不定元の添字の付け替えも含めて）順序付けられていないテンプレート:Mvar 元集合テンプレート:Mvar を用いてテンプレート:Math と書いたりもする。
任意の部分集合テンプレート:Math に対してテンプレート:Math はテンプレート:Math の部分環となる。

これらの事実により、任意の集合テンプレート:Mvar（これは有限でなくても、さらに可算でさえなくてもよい）に対する多項式環テンプレート:Math を定義することが可能であり、それはテンプレート:Mvar の有限部分集合テンプレート:Mvar すべてに亘るテンプレート:Math の合併（厳密には帰納極限）として定まる。

いくつかの基本性質はこの定義から直ちに得られる:

多項式環テンプレート:Math が整域となるための必要十分条件はテンプレート:Mvar がそうであることである。
任意の部分集合テンプレート:Math に対し、多項式環テンプレート:Math はテンプレート:Math と同一視される。
テンプレート:Mvar がその部分集合の（包含関係を順序として）成す鎖テンプレート:Mvar の合併に一致するならばテンプレート:Math はテンプレート:Mvar に属するテンプレート:Mvar すべてに亘るテンプレート:Math の合併に一致する。

モノイド環としての構成

同じ構造を定義するという意味で同値な、別の構成法^[1]^[2]^[3]は、一変数多項式のときの構成を（不定元の冪の列ではなく冪積の族に対して）「模倣」することからなる。これにより、多項式環の普遍性を鮮やかに示すことができるテンプレート:Efn。

モニック単項式のモノイド

不定元の添字からなる（任意の）集合テンプレート:Mvar に、テンプレート:Mvar 上のテンプレート:Ill2可換モノイドを対応付ける。

加法的記法を用いて、考えたい自由可換モノイドは、テンプレート:Mvar から非負整数全体の成す集合テンプレート:Math への、台が有限な写像（つまり、有限個の例外を除く全ての成分がテンプレート:Math となる非負整数の族テンプレート:Math）全体の成す集合テンプレート:Math に成分ごとの和を入れたものとして書くことができる。各テンプレート:Math に対し、このモノイドの元テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar においてテンプレート:Math, それ以外ではテンプレート:Math となるようなテンプレート:Mvar からテンプレート:Math への写像と定めれば、テンプレート:Math はこの可換モノイドの「基底」となる。それはつまりテンプレート:Math の各元がテンプレート:Mvar の形の元の有限和（各テンプレート:Mvar は何度も重複して用いてよい）として一意に書けるという意味である。具体的にテンプレート:Math はテンプレート:Math でない非負整数テンプレート:Mvar 全て（それは有限個しかない）に対するテンプレート:Mvar の和である。

モニック単項式全体の成すモノイドテンプレート:Mvar も同じくテンプレート:Mvar 上の自由可換モノイドであるが、記法は乗法的であり、標準基底はテンプレート:Math と書かれる。すなわち、任意のモニック単項式はテンプレート:Mvar の冪の有限積として一意に表される。

対応するモノイド環

多項式環テンプレート:Math は、モノイドテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar-係数モノイド環テンプレート:Math として定義される。すなわち、各多項式テンプレート:Mvar はモニック単項式のテンプレート:Mvar-係数形式線型結合である。これはまたテンプレート:Math からテンプレート:Mvar への有限台付き写像とも解釈でき、それは有限個の例外を除く全ての成分がテンプレート:Math となる各族テンプレート:Math に対し、テンプレート:Mvar における単項式テンプレート:Math の係数を対応させる写像として表される。

したがって多項式環テンプレート:Math はテンプレート:Mvar 上のテンプレート:Mvar-自由加群であり、モノイドテンプレート:Mvar における乗法を線型に拡張したテンプレート:Mvar-多元環の乗法を一意に備える。

記法

テンプレート:Math の多項式テンプレート:Mvar の記法にはいくつかあるテンプレート:Efn:

一つは前節までに用いていたもの: $P = \sum_{(k_{s}) \in ℕ^{(S)}} a_{(k_{s})} \prod_{s \in S} X_{s}^{k_{s}}, (a_{(k_{s})} \in A) .$
いま一つはより簡潔である。モノイドテンプレート:Mvar の元である族テンプレート:Math をテンプレート:Mvar と書き、対応するモニック単項式をテンプレート:Mvar と書いて $P = \sum_{k \in ℕ^{(S)}} a_{k} X^{k}, (a_{k} \in A)$ と表す。これは多重添字記法である。

性質

普遍性

簡単のため、テンプレート:Mvar 変数多項式環テンプレート:Math を考える。すると、任意の可換 A-多元環テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の元の [[順序組|テンプレート:Mvar-組]] テンプレート:Math に対し、評価準同型と呼ばれるテンプレート:Math からテンプレート:Mvar への一意的なテンプレート:Mvar-多元環準同型が存在して、各テンプレート:Mvar は同じ添字のテンプレート:Mvar に写る。この性質と準同型定理を併せれば、テンプレート:Ill2 テンプレート:Mvar-可換多元環が適当なテンプレート:Mvar に対する多項式環テンプレート:Math の剰余環に同型となることが示される。したがって、そのような多元環からほかの可換テンプレート:Mvar-多元環への準同型の構成にそれは本質的である。

より一般に、多項式環は以下の普遍性によって特徴付けられる:

多項式環の普遍性

任意の可換テンプレート:Mvar-多元環テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の元の族テンプレート:Math が与えられたとき、一意的なテンプレート:Mvar-多元環準同型テンプレート:Math が存在して、

φ (X_{s}) = b_{s} (\forall s \in S)

が成り立つ。

例

テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の部分環のとき、上記の評価準同型の像はテンプレート:Mvar およびテンプレート:Mvar の生成するテンプレート:Mvar の部分環テンプレート:Math である。
可換環テンプレート:Mvar に対し、任意の準同型テンプレート:Math は普遍性により一意な準同型テンプレート:Math に延長されて、テンプレート:Math が成り立つ。これは不定元の集合を固定した多項式環の間の係数環の取り換えに関する函手性に読み替えることができる。したがって、テンプレート:Mvar の像はテンプレート:Mvar の像をテンプレート:Mvar としてテンプレート:Math であり、テンプレート:Mvar の核はテンプレート:Mvar の核の生成するイデアルに一致する。

次数

テンプレート:Main 一変数多項式に関するいくつかの定義は一般化される:

単項式とは、テンプレート:Mvar の各元とテンプレート:Mvar の各元との積を言う。このとき
- テンプレート:Mvar の元をこの単項式の係数と呼ぶ。
- 単項式の次数はテンプレート:Mvar の元に現れる不定元の冪指数の和を言う。
非零多項式の次数は、この多項式に現れる単項式の次数のうち最大のものを言う。（零多項式の次数は負の無限大とする。）
定数多項式は零多項式または零次多項式である。
多項式の定数項は零次の単項式の係数である。

他方、例えば「モニック多項式」や「最高次単項式」のような概念はもはや意味を為さない。

整域上の多項式環では、一変数の場合と同様に、二つの非零多項式の積の次数は各多項式の次数の和に等しい。

テンプレート:Mvar が可換体のとき、多項式環テンプレート:Math はユークリッド環であった。これは多変数の場合には拡張されない。例えば、二変数多項式環テンプレート:Mathは、テンプレート:Mvar の生成するイデアルテンプレート:Math が主イデアルでないから、主環でない（したがってユークリッド環にはならない）。

したがってより弱い性質を見る必要がある。一変数の場合において、次数の概念はヒルベルトの基定理「テンプレート:Mvar がネーター環ならば多項式環テンプレート:Math もそうである」を確立することを可能にする。テンプレート:Math の帰納的定義から、直ちに以下を得る:

定理 (ヒルベルトの基定理): テンプレート:Mvar がネーター環ならば、有限個の変数に関するテンプレート:Mvar-係数多項式環もそうである。

この結果は無限変数の場合には拡張できない。例えばテンプレート:Math のイデアル列テンプレート:Math (テンプレート:Math) は真に増大するから、この環はネーターでない。

代数的整数論の基本的な結果に従えば、代数体の任意の整数環は[[有限生成加群|有限型テンプレート:Math-加群]]、テンプレート:Ill2、有限型可換テンプレート:Math-多元環であり、したがってそれは多項式環の普遍性によりテンプレート:Math の剰余環で、ネーターとなる。その帰結として

命題: 代数体の（代数的）整数からなる任意の環はネーターである。

函手性

環テンプレート:Mvar が一意分解環ならばテンプレート:Math もそうである。帰納的に有限または無限変数の多項式環もまた、一意分解環となる（一意分解環の項も参照）:

命題: テンプレート:Mvar-係数の多変数多項式環が一意分解環となるための必要十分条件はテンプレート:Mvar がそうであることである。

このように一意分解性が遺伝することはネーター性の場合と異なっている。不定元の数が有限個であることは必要でない。他方、この函手性は剰余環構成では保たれないから、数体には（二次体でさえ）その整数環が一意分解環とならないものが存在する。

代数的集合

テンプレート:Main テンプレート:Mvar を代数閉体とする。テンプレート:Mvar-係数多項式テンプレート:Math のテンプレート:Ill2はテンプレート:Math を満たすテンプレート:Mvar の点テンプレート:Math 全体の成す集合を言う。テンプレート:Mvar における代数的集合とはテンプレート:Math に属する多項式からなる族の零点集合の交わりを言う。多項式環テンプレート:Math はネーターであるから、常に多項式の有限族に対して考えれば十分である。代数的集合は代数幾何学において基本的である。

重要な多項式のクラス

斉次多項式

テンプレート:Main 次数テンプレート:Mvar（零または正の整数）の斉次多項式は次数テンプレート:Mvar の単項式の線型結合である。零多項式は任意の次数テンプレート:Mvar に対するテンプレート:Mvar-次の斉次多項式と考える。例えば二変数多項式テンプレート:Math は次数テンプレート:Math の斉次多項式だが、テンプレート:Math は斉次でない。全次数テンプレート:Mvar の任意の多項式テンプレート:Mvar は次数がそれぞれテンプレート:Math の斉次多項式テンプレート:Math の一意的な和に書ける。このとき各テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar の次数テンプレート:Mvar の斉次成分と言う。先ほどの非斉次の例では、次数テンプレート:Math の斉次成分はテンプレート:Math, 次数テンプレート:Math の斉次成分はテンプレート:Math でそのほかの斉次成分はテンプレート:Math である。斉次成分への分解を別の述べ方をすれば、テンプレート:Math はテンプレート:Math の加群の直和に書ける。ただしテンプレート:Mvar は非負整数を亙り、またテンプレート:Math は次数テンプレート:Mvar の斉次多項式全体の成すテンプレート:Mvar-部分加群とする。それぞれ次数テンプレート:Mvar の二つの斉次多項式の積が次数テンプレート:Math の斉次多項式であり、対して和がふたたび斉次となるのはテンプレート:Math のときに限ることに注意する。

テンプレート:Ill2: テンプレート:Mvar は次数テンプレート:Mvar の斉次多項式ならば $d P = \sum_{1 \leq i \leq n} X_{i} \frac{\partial P}{\partial X_{i}}$ が成り立つ。

対称多項式

テンプレート:Main テンプレート:Mvar 変数の対称多項式とは、それが任意の二つの不定元の置換のもとで不変であるときに言う。例えば三変数でテンプレート:Math は対称であり、他方テンプレート:Math はそうでない。対称性により任意の対称多項式は斉次だが、任意の斉次多項式の場合と異なり、多項式の和と積のもとでこの対称性は保たれるから、対称多項式の全体は多項式環の部分環となる。

基本対称多項式: テンプレート:Math とするとき、テンプレート:Mvar-次の基本対称多項式テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar-次単項式テンプレート:Math をテンプレート:Math なる範囲に亙って取った和を言う。例えば、最初は各不定元を一つずつとった和テンプレート:Math であり、また、すべての不定元を一つずつ掛けたテンプレート:Math が最後の基本対称多項式である。
テンプレート:Ill2: 任意の対称多項式は、基本対称多項式の多項式に一意的に書くことができる。
テンプレート:Ill2: テンプレート:Math を整数として、テンプレート:Math は対称多項式であり、テンプレート:Mvar-次のニュートン多項式と呼ばれる。テンプレート:Mvar を基本対称多項式の函数として表す式は（上の定理が示唆するように）ニュートンの公式から間接的に導出できる: ${\begin{matrix} P_{d} - S_{1} P_{d - 1} + S_{2} P_{d - 2} + \dots + (- 1)^{n - 1} S_{n - 1} P_{d - n + 1} + (- 1)^{n} S_{n} P_{d - n} = 0 & (d \geq n) \\ P_{d} - S_{1} P_{d - 1} + S_{2} P_{d - 2} + \dots + (- 1)^{d - 1} S_{d - 1} P_{1} + (- 1)^{d} d S_{d} = 0 & (d < n) \end{matrix} .$ 標数テンプレート:Math の体上で、これら関係式は基本対称式をニュートン多項式の多項式として書くことを可能にする。特に、有理数体上でニュートン多項式の全体は対称多項式全体の成す環を生成する。
根と係数の関係: テンプレート:Math を次数テンプレート:Math で体に係数を持つ多項式とする。テンプレート:Math をテンプレート:Math の分解体におけるテンプレート:Math の根（重複があってもよい）とすれば、テンプレート:Math が成り立つ。

注

注釈

テンプレート:Notelist

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chapitres 4 à 7, Dunod, 1981 テンプレート:ISBN2
テンプレート:Ouvrage, université de Rennes 1, texte écrit à la suite de la correction des copies de l'agrégation de mathématiques

外部リンク

テンプレート:Polynomials

↑ テンプレート:Douady1, テンプレート:P..
↑ Algèbre commutative par Antoine Chambert-Loir, cours à l'université de Rennes 1 (2006–2007).
↑ Anneaux de polynômes en plusieurs variables par Patrick Polo, de l'université Pierre-et-Marie-Curie.

[1] テンプレート:Douady1, テンプレート:P..

[2] Algèbre commutative par Antoine Chambert-Loir, cours à l'université de Rennes 1 (2006–2007).

[3] Anneaux de polynômes en plusieurs variables par Patrick Polo, de l'université Pierre-et-Marie-Curie.

[1]

[2]

[3]

多変数多項式

目次

帰納的構成

有限変数の帰納的構成

無限変数への拡張

モノイド環としての構成

モニック単項式のモノイド

対応するモノイド環

記法

性質

普遍性

次数

函手性

代数的集合

重要な多項式のクラス

斉次多項式

対称多項式

注

注釈

出典

参考文献

関連項目

外部リンク

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帰納的構成

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モノイド環としての構成

モニック単項式のモノイド

対応するモノイド環

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性質

普遍性

次数

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重要な多項式のクラス

斉次多項式

対称多項式

注

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