約数関数

nの約数の個数を表す
σ₀(n)≡d(n) のグラフ(n≦250)

nの約数の総和を表す
σ₁(n)≡σ(n) のグラフ(n≦250)

約数関数（やくすうかんすう、テンプレート:Lang-en-short）は、自然数 n を変数とする関数で、n の全ての約数を整数乗した数の総和を値にとるものである。

定義

自然数 テンプレート:Mvar に対して、約数関数 テンプレート:Math とは、テンプレート:Mvar の約数 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 乗和を値に取る関数である：

${\sigma }_x(n)=\sum _{d|n}{d}^x$

特に、テンプレート:Math2 のとき テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の約数の個数を表し、テンプレート:Math や テンプレート:Math と表されることもある。テンプレート:Math2 のとき テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の約数の総和であり、単に省略して テンプレート:Math と表す場合もある。

また、約数関数 テンプレート:Math の[[写像の反復|テンプレート:Mvar階反復]]を

${{\sigma }_x}^k(n):=\underset{k}{\underbrace{{\sigma }_x(\cdots ({\sigma }_x}}(n)\cdots )$

と書く。例えば ${{\sigma }_x}^2(n)={\sigma }_x({\sigma }_x(n)),{{\sigma }_x}^3(n)={\sigma }_x({\sigma }_x({\sigma }_x(n)))$ である。

k = 1 、x = 1 のときはどちらもそれぞれ省略して、σ(n) = σテンプレート:Sub(n)（k=x=1の場合）、σテンプレート:Sup(n)（k=2,x=1の場合）などと表記する場合もある。

概要

テンプレート:Math の値は、小さい順に次のようになる：

1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4 …（テンプレート:OEIS）

テンプレート:Math の値は、小さい順に次のようになる：

1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24 …（テンプレート:OEIS）

テンプレート:Math の値は、小さい順に次のようになる：

1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, 122, 210, 170, 250, 260 …（テンプレート:OEIS）

計算例

例えば n = 15 では、

d(15) = σテンプレート:Sub(15) = 1テンプレート:Sup + 3テンプレート:Sup + 5テンプレート:Sup + 15テンプレート:Sup = 4,

σ(15) = σテンプレート:Sub(15) = 1テンプレート:Sup + 3テンプレート:Sup + 5テンプレート:Sup + 15テンプレート:Sup = 24,

σテンプレート:Sub(15) = 1テンプレート:Sup + 3テンプレート:Sup + 5テンプレート:Sup + 15テンプレート:Sup = 260

特徴

テンプレート:Mvar を素数とすると、テンプレート:Mvar の約数は テンプレート:Math と テンプレート:Mvar の 2個のみであるから テンプレート:Math2 となる。また、テンプレート:Mvar を自然数とすると、テンプレート:Mvar の約数は テンプレート:Math2 の テンプレート:Math2個なので テンプレート:Math2 となる。

テンプレート:Math および テンプレート:Math は テンプレート:Math2 のとき最小値 1 をとる。テンプレート:Math2 の解は テンプレート:Math2 の 2 個のみであり、テンプレート:Math2 の解や テンプレート:Math2 の解は テンプレート:Math2 のみである。テンプレート:Math2 では テンプレート:Math2 が成り立つ。

約数関数 テンプレート:Math は乗法的関数（テンプレート:Lang-en-short）であるが、テンプレート:仮リンクではない。

$\gcd (a,b)=1⟹{\sigma }_x(ab)={\sigma }_x(a){\sigma }_x(b).$

テンプレート:Mvar を素因数分解して以下の式の形で表す。

$n=\prod _{i=1}^r{p_i}^{a_i}$

ここで r は n の素因子の個数、pテンプレート:Sub はその中で i 番目に小さい素因子、aテンプレート:Sub は素因数分解で現れる各素因子の指数部である。ここから

${\sigma }_x(n)=\prod _{i=1}^r\frac{{p_i}^{(a_i+1)x}-1}{{p_i}^x-1}(x\ne 0)$

が導かれる。これは

${\sigma }_x(n)=\prod _{i=1}^r\sum _{j=0}^{a_i}{p_i}^{jx}=\prod _{i=1}^r(1+{p_i}^x+{p_i}^{2x}+\cdots +{p_i}^{a_{i}x})$

と同値である。x = 0 のときは

${\sigma }_0(n)\equiv d(n)=\prod _{i=1}^r(a_i+1)$

となる。例えば n = pq （p, q は素数）とすると、σ(n) = (1 + p)(1 + q) = n + p + q + 1, d(n)=(1 + 1)(1 + 1) = 4 となる。

• 約数関数から導き出される数列 $a_n=\sigma (a_{n-1})$ はその初期値によって異なる発散の仕方をする。( aテンプレート:Sub = 1 を除く)

例. aテンプレート:Sub = 2 のとき 2, 3, 4, 7, 8, 15, 24, 60, 168, 480, … (テンプレート:OEIS)

aテンプレート:Sub = 5 のとき 5, 6, 12, 28, 56, 120, 360, 1170, 3276, … (テンプレート:OEIS)

aテンプレート:Sub = 16 のとき 16, 31, 32, 63, 104, 210, 576, 1651, 1792, … (テンプレート:OEIS)

この初期値は 2, 5, 16, 19, 27, 29, 33, 49, 50, 52, 66, 81, 85, 105,… (テンプレート:OEIS)

その他の公式

オイラーは約数関数が以下のように表されることを示した。

　　$\begin{array}{cc}{\sigma }_1(n)& ={\sigma }_1(n-1)+{\sigma }_1(n-2)-{\sigma }_1(n-5)-{\sigma }_1(n-7)+{\sigma }_1(n-12)+{\sigma }_1(n-15)-...\\ & =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{i+1}({\sigma }_1(n-\frac{1}{2}(3i^2-i))+{\sigma }_1(n-\frac{1}{2}(3i^2+i)))\end{array}$

なおこの数式で、$n<0$ のとき ${\sigma }_1(n)=0$ とし、${\sigma }_1(0)=n$ とする。

約数関数の母関数はテンプレート:仮リンクである。

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^a{x}^n}{1-x^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^a{x}^{mn}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n{\sigma }_a(n)$

約数関数は以下の三角関数を用いた式で表すこともできる。 テンプレート:Indent

またゼータ関数 ζ(s) とは テンプレート:Indent という関係式をもつ。

σ(n)の増加の割合は以下の式で表される。 テンプレート:Indent γ はオイラー定数である。

また、d(n)の増加の割合は以下の式で表される。 テンプレート:Indent 実際、左辺の上極限記号内の分数の値が最大となるのは $n=6983776800$ のときで、その値は $1.0660186\dots$ であることが知られている。 特に、任意の ε > 0 に対して、d(n) = o(n^ε) が成り立つ。

$\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n$　(n > 5040)

が真であるならリーマン予想も真であることが証明されている。つまりこの不等式を満たさない最大の数が 5040 であり、5041 以上の全ての自然数がこの不等式を満たすならばリーマン予想は真である。もしリーマン予想が偽ならこの不等式を満たさない n は無数に存在する。

約数関数の値

x=0～21についてのσ_x(n)の値はオンライン整数列大辞典に数列として掲載されている。

オンライン整数列大辞典に掲載されている約数関数

x	約数関数 σx(n)		値のリスト
0	σ0(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
1	σ1(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
2	σ2(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
3	σ3(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
4	σ4(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
5	σ5(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
6	σ6(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..1000
7	σ7(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
8	σ8(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..1000
9	σ9(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..1000
10	σ10(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
11	σ11(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
12	σ12(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
13	σ13(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
14	σ14(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
15	σ15(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
16	σ16(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
17	σ17(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
18	σ18(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
19	σ19(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
20	σ20(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000
21	σ21(n)	(テンプレート:OEIS)	Table of n, a(n) for n = 1..10000

例

σ(n) < 2n を満たす n を不足数、σ(n) = 2n を満たす n を完全数、σ(n) > 2n を満たす n を過剰数という。

6, 28, 496 などが完全数として知られている。偶数の完全数全体はメルセンヌ素数 2^p − 1 に対して 2^p−1(2^p − 1) と表されるもの全体と一致することが知られている。奇数の完全数が存在するかどうかは古くからの数論の未解決問題として有名である。

• 完全数が 2ⁿ⁻¹ × (2ⁿ − 1) で表せることからある数 n とその約数の和 σ(n) との積が完全数となる場合がある。この完全数を含む n × σ(n) の数列は 1, 6, 12, 28, 30, 72, 56, 120, 117, 180, 132, 336, 182, 336, 360, 496, …である。(テンプレート:OEIS)

このほかにも、約数関数、特に約数の和の関数 σ(n) の値に関しては多くの概念が考察され、多くの未解決問題が提示されている。いくつかの例を挙げる。

• σ(n) = 2n − 1 を満たす n を概完全数といい、σ(n) = 2n + 1 を満たす n を準完全数という。概完全数は 2 の累乗（1 も含む）が知られているが、それ以外に存在するかどうか知られていない。準完全数は存在するかどうか未だに分かっていない。準完全数が存在するならば、それは奇数の平方数でなければならないことが知られている。
• σ(n) = kn (k:整数) を満たす n を k-倍完全数という。例えば 120 は3倍完全数である。現在知られている倍積完全数は n = 1(このとき、k = 1)を除いて全て偶数である。1 以外に奇数の倍積完全数が存在するか否かは知られていない。
• σ(σ(n)) = 2n を満たす n を超完全数という。偶数の超完全数はメルセンヌ素数 2^p − 1 に対して、2^p−1 と表されるもの全体と一致することが知られている。奇数の超完全数が存在するか否かは知られていない。奇数の超完全数が存在するならば、それは平方数で少なくとも2つの相異なる素因数を持たなければならないことが知られている。
  • 超完全数は 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144,…である。 (テンプレート:OEIS)
• σ(n) = σ(m) = n + m を満たす相異なる数 n, m の組を友愛数という。(n, m) = (220, 284)などがそれである。友愛数が無限に存在するか否かは知られていない。
  • それと対照的に、 σ(n) = σ(m) = n + m + 1 を満たす相異なる数 n, m の組を婚約数という。(n, m) = (140, 195)などがそれである。婚約数は無限に存在するか否かは証明されていない。
• d(n) = d(n + 1) を満たす n は無数に存在することが証明されている。 (例 : n = 2, 14, 21, 26, 33, 34, ･･･(テンプレート:OEIS))
  • d(n) = d(n + 1) = d(n + 2) を満たす n は33, 85, 93, 141, 201, 213, 217, 230, …である。(テンプレート:OEIS)中央の数の数列はテンプレート:OEISを参照。
  • d(n) = d(n + 1) = d(n + 2) = d(n + 3) を満たす n は242, 3655, 4503, 5943, 6853, 7256, …である。(テンプレート:OEIS)
  • 5連続で約数の個数が同じ数の最初の数は 11605, 12855, 13782, 19142, 21494, 28374,…である。(テンプレート:OEIS)
  • 6連続で約数の個数が同じ数の最初の数は 28374, 90181, 157493, 171893, 171894,…である。(テンプレート:OEIS)
  • 7連続で約数の個数が同じ数の最初の数は 171893, 180965, 647381,…である。(テンプレート:OEIS)
  • 約数の個数が同じ連続整数の最初の数は 1, 2, 33, 242, 11605, 28374, 171893, 1043710445721, 2197379769820 (テンプレート:OEIS)、9連続整数まであることが知られている。

関連項目

• ゼータ関数
• リーマン予想
• 不足数-完全数-過剰数
• 友愛数