凹関数

数学におけるテンプレート:読み仮名 ruby不使用とは、その符号反転が凸関数となるようなものを言う。凹関数の同義語として、函数が下に凹、下方凹または上に凸、上方凸などがある。

定義

凹関数のグラフ

区間（あるいはより一般に、ベクトル空間内の凸集合）で定義された実数値関数 テンプレート:Mvar が凹であるとは、テンプレート:Mvar が区間内の任意の テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, および区間 テンプレート:Math 内の任意の実数 テンプレート:Mvar について不等式

$f((1-\alpha )x+\alpha y)\ge (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)$

を満たしていることをいう。また狭義凹であるとは、不等式

$f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)$

を満たすことをいう。ただし テンプレート:Math は任意、テンプレート:Math とする。実関数 テンプレート:Math に対してはこの定義は単純に、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の間の任意の テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar のグラフ上の点 テンプレート:Math が テンプレート:Math と テンプレート:Math を結ぶ直線よりも上の位置にきていることを言っているのに過ぎない。関数 テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンク $S(a)=\{x:f(x)\ge a\}$ が凸集合であるとき、その関数はテンプレート:仮リンクと呼ばれるテンプレート:Rp。

性質

• 与えられた関数 テンプレート:Mvar が適当な凸集合内で凹であるための必要十分条件は、同じ集合内で関数 テンプレート:Math が凸関数となることである。
• 微分可能関数 テンプレート:Mvar が与えられた区間において凹となるための必定十分条件は、その導関数 テンプレート:Math がその区間において単調非増大となること、すなわち テンプレート:Math を満たすことである。凹函数はその傾きが常に減少する。
• 凸性が（凸と凹の間で）入れ替わる点は変曲点と呼ばれる。
• 二つの凹関数の（点ごとの）和はそれ自身ひとつの凹函数となる。また二つの凹関数の点ごとに大きくないほうの値をとって得られる函数もやはり凹函数である。すなわち、与えられた領域上定義された凹函数全体の成す集合はテンプレート:仮リンクを成す。
• 任意の関数は、その定義域の内部にある極大値点の近くにおいて、凹でなければならない。このことの部分的な逆として、狭義凹函数の導函数が適当な点において テンプレート:Math となるならば、その点は極大値点である。
• 函数 テンプレート:Mvar が二回微分可能であるとき、テンプレート:Mvar が凹であることの必要十分条件は テンプレート:Mvar が非正（加速度が非正）となることである。より強く、二階導関数が負となるならば狭義凹になるが、逆は正しくない（反例として テンプレート:Math を考えよ）。
• 凹関数の任意の極大値は最大値でもある。狭義凹関数は高々ひとつの最大値を持つ。
• テンプレート:Mvar が凹関数かつ微分可能であるとき、テンプレート:Mvar は、テンプレート:Mvar の1次のテイラー近似で上から抑えられるテンプレート:Rp：

  $f(y)\le f(x)+f^{\prime }(x)[y-x].$

• ガウス平面 テンプレート:Math 上の連続関数が凹であるための必要十分条件は テンプレート:Math の任意の元 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar について以下の不等式が成り立つことである。

  $f\left(\frac{x+y}{2}\right)\ge \frac{f(x)+f(y)}{2}.$

• 関数 テンプレート:Mvar が凹であり、テンプレート:Math であるとき、テンプレート:Mvar は劣加法性を持つ。証明は以下の通り。

  テンプレート:Mvar が凹であるから、テンプレート:Math とおくと、テンプレート:Math となる。したがって

  $f(a)+f(b)=f((a+b)\frac{a}{a+b})+f((a+b)\frac{b}{a+b})\ge \frac{a}{a+b}f(a+b)+\frac{b}{a+b}f(a+b)=f(a+b).$

例

• 関数 $f(x)=-x^2$ および $g(x)=\sqrt{x}$ はそれぞれの定義域において凹である。実際これらの二階導関数 $f^{″}(x)=-2$ および $g^{″}(x)=-\frac{1}{4x^{1.5}}$ は常に負である。
• 対数関数 $f(x)=\log x$ は定義域 $(0,\mathrm{\infty })$ 上で凹である。実際、 テンプレート:Math の導関数 テンプレート:Math はその区間上狭義単調減少である。
• 任意の一次函数 テンプレート:Math は凹かつ凸だが、狭義凹でも狭義凸でもない。
• 正弦関数は区間 テンプレート:Math で凹関数である。
• 関数 $f(B)=\log |B|$ は凹関数である。ただし テンプレート:Math は非負定値行列 テンプレート:Mvar の行列式である。
• 光線の屈折のテンプレート:仮リンクに、関数の凹性が用いられている。

関連項目

• 凸関数
• イェンゼンの不等式

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book