素数

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Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but prime numbers cannot
「prime」は素数。「composite」は合成数。合成数は長方形に並べることができるが、素数は長方形に並べられない。

素数（そすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、テンプレート:Math 以上の自然数で、正の約数が テンプレート:Math とその数自身のみであるもののことである。正の約数の個数が テンプレート:Math である自然数と言い換えることもできる。テンプレート:Math より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。例えば、テンプレート:Math は素数である。なぜなら、テンプレート:Math を自然数の積として書くには、「1×5」か「5×1」しかないからである。しかし、テンプレート:Math を自然数の積で表すと、「1×4」、「4×1」の他に「2×2」があり、両方の数が4より小さいので合成数である。よって素数ではない。

日本では、テンプレート:Lang-en-short の日本語への訳語は「素数」とすることが1881年（明治14年）に決まった[1][2]。和算では素数のことを単数と呼んでいた[3]。

一般には、素数は代数体の整数環の素元として定義される（そこでは反数などの同伴なものも素数に含まれる）。このため、有理整数環 ℤ での素数は有理素数（ゆうりそすう、テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれることもある。

最小の素数は テンプレート:Math である。素数は無数に存在する。したがって、素数からなる無限数列が得られる[4]。

テンプレート:Math2

素数が無数に存在することは、紀元前3世紀頃のエウクレイデス（以下ユークリッド）の著書『原論』で既に証明されていた。そこでの証明は、背理法により次のようになる：

『素数全体は有限個と仮定して、全ての素数の総乗に1を足した数をNとする。Nはどの素数で割っても余りが1となる。一方、Nはどの素数よりも大きいので、Nは素数ではない。すなわち、Nはある素数で割り切れる。これは、Nを素数で割った余りが1であることに矛盾する。ゆえに、素数は無数にある。』

自然数あるいは実数の中での素数の分布の様子は高度に非自明で、リーマン予想などの現代数学の重要な問題との興味深い結び付きが発見されている。

分散コンピューティング・プロジェクト GIMPS により、史上最大の素数の探求が行われている。現在知られている最大の素数は、2024年10月12日に発見された、それまでに分かっている中で52番目のメルセンヌ素数 テンプレート:Math であり、十進法で表記したときの桁数は4102万4320桁に及ぶ[5][6]。

定義と例

テンプレート:Math 以下の素数一覧
テンプレート:0テンプレート:Math テンプレート:Math テンプレート:0テンプレート:0 テンプレート:0テンプレート:Math テンプレート:0テンプレート:0 テンプレート:Math テンプレート:0テンプレート:0 テンプレート:0テンプレート:0
テンプレート:Math テンプレート:Math テンプレート:Math テンプレート:Math
テンプレート:Math テンプレート:Math
テンプレート:Math テンプレート:Math
テンプレート:Math テンプレート:Math テンプレート:Math
テンプレート:Math テンプレート:Math
テンプレート:Math テンプレート:Math
テンプレート:Math テンプレート:Math テンプレート:Math
テンプレート:Math テンプレート:Math
テンプレート:Math

素数とは、自明な正の約数（テンプレート:Math と自分自身）以外に約数を持たない自然数であり、テンプレート:Math でない数のことである。つまり、正の約数の個数が 2 である自然数である。

例えば、テンプレート:Math は、正の約数が テンプレート:Math2 のみなので素数である。

素数でない テンプレート:Math 以上の自然数を合成数と呼ぶ。

合成数であることの判定法として、たとえば下記の4条件がある：

  • 4以上の偶数。（2で割り切れる）
  • 10以上で末尾が5か0の数。（5で割り切れる）
  • 6以上で、数字根が3, 6, 9となる数（3で割り切れる）。（20以上では、テンプレート:Math2）
  • 一の位から見て奇数番目の位の数の和と、偶数番目の位の数の和との差が11の倍数であれば、11の倍数である（11で割り切れる）。（100以上では、テンプレート:Math2）[7]

逆に、この4条件を、全て満たさない数でも素数とは限らない。例えば、テンプレート:Math は、正の約数が テンプレート:Math2 なので素数ではない。

テンプレート:仮リンクを用いて7が素数であることを実証した。

また、テンプレート:Math2 以外の素数は、最も近い6の倍数との差が テンプレート:Math か テンプレート:Math である。

テンプレート:Math でない素数は奇数であり、奇素数と呼ぶ。

100以下の素数は25個存在し、小さい順に次の通りである[4]。

テンプレート:Math2

テンプレート:Main

素因数分解の可能性・一意性

テンプレート:Main 「テンプレート:Math 以上の自然数は、素因数（素数である約数）の積で表せる。その表し方は積の順序を除けば一意である」という、素因数分解の可能性・一意性が成立する（算術の基本定理）。素因数分解の可能性から、素数全体の成す集合は、2以上の自然数全体の成す集合とその乗法からなる半群の最小テンプレート:Efnの生成系である。言い換えれば、これは「素数は自然数の構成要素である」などとなる[8]。

素数の定義である「テンプレート:Math と自分自身でしか割り切れない」という条件（既約性）は、抽象代数学において、環の既約元の概念（一部の環では素元の概念と一致する）に抽象化され一般的に取り扱われる。一般の環で、任意の元は既約元の積に分解され、しかもその表示は一意であるという性質は稀有である。例えばネーター環では、任意の元は既約元分解が可能であるが、その表示が一意ではないネーター環の例はいくつも知られている。一意に既約元分解ができる環は一意分解環と呼ばれ、既約元分解は素元分解ともなる。

1 は素数か

現代の定義では テンプレート:Math は素数ではない。歴史を通しても テンプレート:Math を素数に含めない数学者が多数派であったが、20世紀初頭の環論の成熟まで定義は統一されていなかった[9]。プラトンやアリストテレスを含むほとんどの古代ギリシアの哲学者は テンプレート:Math を数とさえ見なさず[10][11]、素数性の考察の対象としなかった。スペウシッポスは テンプレート:Math を数と見なし素数としたが、当時としては異端であった[12]。この時代には素数を奇数の一部分と考え、テンプレート:Math を素数に含めない数学者もいた（ただしユークリッドをはじめとする多数派は テンプレート:Math を素数に含めている）。アラビアではおおむね古代ギリシアに倣って テンプレート:Math は数でないとされた[10]。中世からルネサンスにかけて、テンプレート:Math が数として扱われるようになり、テンプレート:Math を最初の素数とする数学者も現れた[13]。18世紀半ば、ゴールドバッハはオイラーに宛てた書簡で テンプレート:Math を素数に挙げている（ただしオイラー自身は テンプレート:Math を素数とは考えていなかった）[14]。19世紀にも少数派だが テンプレート:Math を素数に含める数学者はかなりいた[9]。ハーディの『A Course of Pure Mathematics』では、1933年に出版された第6版までは テンプレート:Math を素数に含めているが、1938年の第7版から テンプレート:Math を最小の素数とするよう改訂されている。テンプレート:仮リンクの テンプレート:Math を含む素数表は1956年まで出版された[15]。ルベーグは テンプレート:Math を素数だと考えた最後の専門的な数学者だと言われている[16]。

テンプレート:Math も素数と定義すると、素数に関する多くの定理で、もとの「素数」を「テンプレート:Math 以外の素数」と呼び替える記述の修正が必要になる。例えば テンプレート:Math の素因数分解は、（積の順序を除いても）

テンプレート:Math2

と無数に与えられることになり、自然数の素因数分解の一意性は「テンプレート:Math を素数に含めると」成り立たなくなる[9]。エラトステネスの篩においては、テンプレート:Math も素数とすると、テンプレート:Math の倍数（すなわち他のすべての数）を消去し、残った唯一の数 テンプレート:Math を出力するので機能しない[17]。さらに、テンプレート:Math 以外の素数でのみ成り立ち、テンプレート:Math では成り立たない様々な性質がある（例えば、自然数とそれに対応するオイラーのφ関数や約数関数の値との関係など）[18][19][20]。20世紀初頭までに テンプレート:Math は素数ではなく「単数」という特別な分類に属するという見方が一般的になった[9]。

歴史

テンプレート:節スタブ

リンド数学パピルス
エラトステネスの篩を行っている様子

紀元前1600年頃のエジプト第2中間期において、素数の初等的な性質が部分的に知られていたことが、リンド数学パピルスなどの資料によって示唆されている。例えば分数をエジプト式分数で表す場合、素数と合成数の場合で異なる計算をしなければならないからである。しかし、記録に残っている限りにおいて、明確に素数を研究対象としたのは古代ギリシアが最初である。紀元前300年頃に書かれたユークリッドの『原論』には、素数が無数に存在することや、その他の素数の性質が証明されている。また、彼はメルセンヌ素数から完全数を構成する方法を示している。ギリシアの数学者、エラトステネスに因んで名付けられたエラトステネスの篩は、素数を列挙するための計算方法である。

古代ギリシア時代の後、17世紀頃までの長い間、素数の研究にはあまり進展が見られなかった。1640年に、ピエール・ド・フェルマーは「フェルマーの小定理」を述べた（未証明）。この定理は後にライプニッツとオイラーによって証明された。

自然数を渦巻状に並べていき、素数だけを黒く塗ったもの（ウラムの螺旋）。
素数が高密度に集まった対角線、水平線、垂線が見て取れる。素数の分布が極めて難解であるために、この素数のパターンが示す事実については未だに明らかにされていない。

素数が無数に存在することは既に古代ギリシア時代から知られていて、ユークリッドが彼の著作『原論』[21]の中で証明している。

ユークリッドによる証明

『原論』第9巻 命題20[21]
素数の個数はいかなる定められた素数の個数よりも多い。
定められた個数の素数を テンプレート:Math2 とせよ。テンプレート:Math2 より多い個数の素数があると主張する。
『原論』による証明テンプレート:Refnest
定められた素数の個数が テンプレート:Mvar 個であるとき、テンプレート:Mvar 個の素数を小さい順番に並べて テンプレート:Mvar 番目の素数を テンプレート:Mvar とする。
テンプレート:Math2
このとき、テンプレート:Mvar 個の素数をすべて掛け合わせた数に テンプレート:Math を加えた数を テンプレート:Mvar とすると、
テンプレート:Math2.
テンプレート:Mvar は有限個の自然数の積に テンプレート:Math を加えた数なので テンプレート:Math より大きい自然数である。ゆえに、テンプレート:Mvar は素数または合成数のどちらかである。
テンプレート:Mvar が素数のとき、テンプレート:Mvar は最大の素数 テンプレート:Mvar より大きい素数になるので、定められた個数の素数よりも多くの素数が存在する。
テンプレート:Mvar が合成数のとき、テンプレート:Mvar を割り切る素数が存在する。一方、テンプレート:Mvar の定義より、すべての テンプレート:Mvar で割った余りは テンプレート:Math になるので、テンプレート:Mvar はすべての テンプレート:Mvar で割り切れない。したがって、すべての テンプレート:Mvar 以外に素数が存在する。すなわち、定められた個数の素数よりも多くの素数が存在する。（証明終）
1878年、クンマーは テンプレート:Math2 の代わりに テンプレート:Math2 を考えても同様に証明できることを示した。
例
自然数の有限集合 テンプレート:Mvar の全ての要素を掛け合わせた自然数を テンプレート:Math とする。
定められた個数の素数からなる集合を テンプレート:Math2 とするとき、テンプレート:Math2 は素数なので、新しい素数 テンプレート:Math が得られる。したがって、定められた個数より多くの素数が存在する。
定められた個数の素数からなる集合を テンプレート:Math2 とするとき、テンプレート:Math2 なので、新しい素数 テンプレート:Math と テンプレート:Math が得られる。したがって、定められた個数より多くの素数が存在する。

他の証明

上記のユークリッドによる証明以外にも、素数が無数に存在することの証明方法が存在する。

素数判定と素因数分解

テンプレート:Main 与えられた自然数 テンプレート:Mvar が素数であるか合成数であるかを判定するためのアルゴリズムが多数考案されている。最も素朴な方法は、テンプレート:Math から テンプレート:Math 以下の素数まで順番に割っていく、試し割り法と呼ばれる方法である。テンプレート:Mvar が テンプレート:Math 以下の全ての素数で割り切れなければ テンプレート:Mvar は素数である。試し割り法は、テンプレート:Mvar が大きくなるに従って、急速に速度が低下するため、実用的ではない。任意の数に適用できる試し割り法よりも高速なアルゴリズムが考案されている。また、特殊な形をした数に対してはより高速なアルゴリズムも存在する。素数判定は、与えられた数が素数であるか否かだけを判定するものであるが、素因数分解とはより強く、与えられた数の全ての素因数を列挙することであるとも言える。

上記の通り2を除く偶数、2桁以上で末尾が5の数、数字和が3の倍数となる数は合成数と分かるのでそれを省き、7以上の素数を順番に割る方法がある。

分布

ある自然数までにどのくらいの素数があるのかという問題は、基本的だが非常に難しい問題である。 これに関して、次の素数定理は有名である。この定理は1896年に、アダマールとド・ラ・ヴァレ・プサンによって独立に証明された。

テンプレート:Mvar 以下の素数の個数を テンプレート:Math（素数計数関数）とすると、

π(x)∼∫2xdtlog⁡t∼xlog⁡x(x→∞)

が成り立つ。この定理は、1792年に15歳のカール・フリードリヒ・ガウスによって予想されていた（ガウスが最初に予想したのかどうかは不明）。この定理の証明は、ゼータ関数と複素関数論を用いる高度なものであったが、1949年にアトル・セルバーグとポール・エルデシュは独立に初等的な証明を与えた。この評価式はリーマン予想を仮定すると大幅に精度をよくすることができる。

次のような定理もある。

「任意の自然数 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math2 を満たす素数 テンプレート:Mvar が存在する」（ベルトランの仮説、チェビシェフの定理）

この主張は「任意の素数 テンプレート:Mvar の次の素数は テンプレート:Math 未満」とも言い換えられる。したがって、2024年12月現在知られている最大の素数 テンプレート:Math の次の素数は テンプレート:Math 未満である。

一方で、例えば テンプレート:Math と テンプレート:Math の間に素数が存在するかという問題は未解決である（ルジャンドル予想）。

素数が全く無い区間は、いくらでも長いものがあることが知られている。テンプレート:Math2 に対して、連続する テンプレート:Math 個の自然数 テンプレート:Math2 はそれぞれ、それらより小さい テンプレート:Math2 で割り切れるので、どれも素数でない。テンプレート:Mvar は任意にとれるから、素数が全く無いいくらでも長い区間があると言える。これは一例にすぎず、実際にはもっと小さい所で、素数が全く無い長い区間が生じるようである。例えば、テンプレート:Math から テンプレート:Math までテンプレート:Math個連続で合成数である[22]。

素数計数

2015年に、ゴールドバッハの予想検証プロジェクトは テンプレート:Math2 以下の全ての素数（9京5676兆2609億テンプレート:0388万7607個、約 10テンプレート:Sup個）を計算したと報告した[23]が、結果は保存されていない。しかしながら、素数計数関数を計算するには、実際に素数を数えるより高速な公式が存在する。この公式を使って、テンプレート:Math 以下に 19垓2532京テンプレート:0391兆6068億テンプレート:0396万8923個（約 2テンプレート:E個）の素数があると計算された。

また、別の計算によると、リーマン予想が真であると仮定した場合、テンプレート:Math 以下に 184垓3559京9767兆3492億テンプレート:086万7866個（約 2テンプレート:E個）の素数が存在する[24]。

分布の視覚化

素数に関連する主な性質

素数の逆数和

素数の逆数の和は（無限大に）発散する。この命題は『素数は無数に存在する』という命題を含んでいる（有限個ならば収束、すなわち発散しないはずである）が、それだけではなく素数の分布に関してより多くの情報を提供している。

この結果は最初にレオンハルト・オイラーによりゼータ関数を研究することでもたらされた。以下の証明はポール・エルデシュによる、より直接的で、また簡潔な証明であるテンプレート:Refnest。素数が無数に存在することを証明に用いないため、その証明をも含んでいる。

エルデシュによる証明

素数の逆数和は収束すると仮定する。テンプレート:Mvar 番目の素数を テンプレート:Mvar で表すと、

∑i=N+1∞1pi<12⋯(1)

を満たす テンプレート:Mvar が存在する。

テンプレート:Mvar 以下の自然数のうち最大素因数が テンプレート:Mvar 以下のものからなる集合を テンプレート:Mvar とする。任意の テンプレート:Math に対して、

テンプレート:Math2（テンプレート:Mvar の各素因数の指数は全て テンプレート:Math）

と表示すると、テンプレート:Mvar は高々 テンプレート:Math 通り、テンプレート:Math より

テンプレート:Math …(2)

テンプレート:Mvar の元は、テンプレート:Math 以上の素因数を少なくとも1つ持つから、(1) より

#Anc≤∑i=N+1∞[npi]≤n∑i=N+1∞1pi<n2

テンプレート:Math2 より

テンプレート:Math2 …(3)

(2), (3) より テンプレート:Math2, ∴ テンプレート:Math2。これは テンプレート:Mvar の任意性に矛盾。（証明終）

双子素数に限ると、逆数和は テンプレート:Math2 に収束することが証明されている（ブルン定数）。

その他の性質

ここで テンプレート:Math2 とすると、十進表記において一の位が テンプレート:Math2 である素数はどれも無数にあることが分かる。
テンプレート:Math2
  • 約数の和が素数になる自然数は、テンプレート:Math と素数かその累乗数の平方数である。しかし、素数やその累乗数の自乗であっても約数の和が素数になるとは限らない。約数の和が素数になる数が無限にあるかどうかの証明はされていない（後述）。
  • 七進表記において、5以上の素数の数字根は、必ず1か5となる。

素数生成式

テンプレート:Main テンプレート:Mvar番目の素数を求める素数生成式は存在しないと主張されることがあるが、これは誤りである（ウィルソンの定理やミルズの定数を用いたものが存在する）[25]。しかしながら、そのような式でテンプレート:仮リンクなものは知られていない。

以下は1964年に Willans C.P. が報告したウィルソンの定理に基づく公式で、テンプレート:Mvar番目の素数 テンプレート:Mvar を求めることができる：

p(n)=1+∑m=12n⌊n∑k=1m⌊cos2(k−1)!+1kπ⌋n⌋[26]

1変数多項式

オイラーの発見した式：

は、自然数 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math2 で全て素数となる。これは、虚二次体 ℚ(−163) の類数が テンプレート:Math であることと関係している[27][28]。一般に、テンプレート:Math2 で多項式 テンプレート:Math2 が素数の値を取るとき、素数 テンプレート:Mvar の値を「オイラーの幸運数」[29]という。オイラーの幸運数は テンプレート:Math2 の6つのみであり、これらはすべてヘーグナー数と対応する。

ルビーの多項式：

は テンプレート:Math で全て素数となる。 同様に

は テンプレート:Math2 で全て素数となる。

は テンプレート:Math2 で絶対値は全て素数となる。

高い次数での多項式はあまり知られていないが

は テンプレート:Math2 で絶対値は全て素数となる。 ただし テンプレート:Math2 の テンプレート:Math2 で テンプレート:Math を取るなど、同じ素数が何度も出現する場合がある。

多変数多項式

多変数の多項式では、全ての素数を生成することができる式がいくつか知られている。例えば、テンプレート:Math が素数となる必要十分条件は、次の14連立のディオファントス方程式が自然数解を持つことである[30]：

テンプレート:Math2
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特殊な形をした素数

未解決問題

応用

長い間、数論、その中でもとりわけ素数に関する研究は、その分野以外での応用の全くない純粋数学の見本と見なされていた。特に、イギリスの数論研究者であるハーディは、自身の研究が軍事的に何の重要性も持たないことを誇っていた。しかし、この見方は1970年代には覆されてしまった。素数が公開鍵暗号のアルゴリズムに使用できると広く知られるようになったためである。現在では素数はハッシュテーブルや擬似乱数生成にも用いられ、工学的応用上重要度の高いものとなっている。

公開鍵暗号

テンプレート:Main 公開鍵暗号のアルゴリズムとして、RSA暗号やディフィー・ヘルマン鍵共有といった、大きな数の素因数分解は困難であるという性質に基礎を置くものがある。RSA暗号は、2つの（大きな）素数の掛け算は比較的簡単に（効率的に）行えるが、その積を素因数分解して元の2つの素数を求めることは難しいという事実に基づいている。

固定ギア自転車のタイヤの寿命対策

テンプレート:出典の明記

右下の歯車には13の歯があり、左の歯車には21の歯があり、どちらの歯車も素数である。

固定ギア自転車のスプロケットやチェーンリングの歯数を素数にすることでスキッドポイントと呼ばれる摩耗点を分散化させてタイヤの寿命を向上させることができる。また、自転車や内燃機関など入力に脈動がある動力の歯車を素数にすると摩耗点が分散され歯車の寿命が向上する。

自然界の素数

自然界に現れる素数の一例として、素数ゼミと呼ばれるセミの一種がいる。アメリカ合衆国に分布するこのセミの成虫は、ある周期ごとに、13年ないしは17年間の周期で大量発生する。成虫になった後は、数週間だけを地上で成虫として過ごし交配と産卵を行う。このセミが素数周期で発生する理由として、寄生虫や捕食者に対抗するための進化であるという説や近縁種との交雑を避けるためであるという説がある。つまり、もしこのセミが12年の発生周期を持っていた場合、12の約数である2, 3, 4, 6年の寿命を持つ捕食者と同時に発生してしまうことになり、捕食対象にされやすくなる。また、地理的に近い場所で12年周期と15年周期のセミが存在した場合、60年ごとに2種は同時に発生し、交雑してしまう可能性がある。すると、雑種は発生周期がずれてしまい、同種のセミとの交尾の機会が失われる。素数の周期を持つものは交雑が起こりにくく、淘汰されにくいと考えられる[38]。

また、ゼータ関数上の零点の分布の数式が、原子核のエネルギー間隔を表す式と一致することを示し、素数と核物理現象との関連性が示唆されている。 テンプレート:Main

コンピュータゲーム

パナソニック株式会社が2011年にリリースしたiPad用アプリケーション「Panasonic Prime Smash!」は空中に打ち上げられたボールに書かれた数字が素数であればタップして得点、合成数であればスワイプすることで割り算し、素数になったらタップして得点にするゲームである[39]。第15回文化庁メディア芸術祭エンターテインメント部門の審査委員会推薦作品に選ばれ[40]、第6回企業ウェブグランプリ スチューデント部門特別賞を受賞した[41]。

2016年にイギリスの数学者クリスチャン・ローソン=パーフェクトが公開した「これは素数ですか？ (Is this prime?)」は、画面に表示される数字を素数と合成数に仕分けるゲームで、2021年7月にプレイ回数が300万回を突破した[42]。このゲームのプログラムにはミラー–ラビン素数判定法が組み込まれている[42]。

連続素数

連続素数和

連続数 数 参照 含まれる素数列
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C

テンプレート:For2

連続素数積

連続数 数 参照
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C
テンプレート:Center テンプレート:Math2 テンプレート:OEIS2C

テンプレート:For2

素数砂漠

自然数で素数でないものが連続している区間を「素数砂漠」という。例えばテンプレート:Math2 は「長さ 5 の素数砂漠」である。素数砂漠を挟む2個の素数は テンプレート:Math 以上であるため、共に奇数である。このことから、素数砂漠の長さは必ず奇数である。いくらでも長い素数砂漠が構成できる（#分布を参照）。

初めから60個の素数の間隔は[43]

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, …

テンプレート:Main

脚注

テンプレート:脚注ヘルプ

注釈

テンプレート:Reflist

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

関連項目

テンプレート:ウィキプロジェクトリンク テンプレート:ウィキポータルリンク テンプレート:Div col

テンプレート:Div col end

外部リンク

テンプレート:Commonscat

テンプレート:素数の分類 テンプレート:Divisor classes テンプレート:Normdaten

  1. ↑ テンプレート:Cite journal
  2. ↑ テンプレート:Cite journal
  3. ↑ テンプレート:Cite book
  4. ↑ 4.0 4.1 テンプレート:OEIS
  5. ↑ テンプレート:Cite web
  6. ↑ 史上最大の素数発見、4100万桁超　びっちり印刷しても1万6千枚(朝日新聞、2024年10月23日)
  7. ↑ テンプレート:Cite web
  8. ↑ http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ogawa/pdfs/v_lec/HimejiNishi-2006-12.pdf
  9. ↑ 9.0 9.1 9.2 9.3 テンプレート:Harvnb
  10. ↑ 10.0 10.1 テンプレート:Harvnb。古代ギリシアについては pp.3-4、アラビアについては p.6 を参照。
  11. ↑ 例えば David E. Joyce's のユークリッド原論についてのコメンタリー Book VII, definitions 1 and 2 を参照。
  12. ↑ テンプレート:Harvnb
  13. ↑ テンプレート:Harvnb。特にStevin、Brancker、Wallis、Prestetの項を参照。
  14. ↑ テンプレート:Harvnb
  15. ↑ テンプレート:Harvnb
  16. ↑ テンプレート:Harvnb
  17. ↑ テンプレート:Harvnb
  18. ↑ φ関数についてはテンプレート:Harvnb、p. 245を参照。約数関数についてはテンプレート:Harvnb、p. 59を参照。
  19. ↑ "Arguments for and against the primality of 1".
  20. ↑ "Why is the number one not prime?"
  21. ↑ 21.0 21.1 テンプレート:Harvnb
  22. ↑ この区間の最初の値はテンプレート:OEISを、終了の値はテンプレート:OEISをその区間幅についてはテンプレート:OEISを参照
  23. ↑ Tomás Oliveira e Silva, Goldbach conjecture verification. Retrieved 16 July 2013.
  24. ↑ テンプレート:Cite web
  25. ↑ Prime Formulas -- from Wolfram MathWorld
  26. ↑ テンプレート:Citation
  27. ↑ テンプレート:Harvnb
  28. ↑ テンプレート:OEIS
  29. ↑ テンプレート:OEIS
  30. ↑ Jones, James P.; Sato, Daihachiro; Wada, Hideo; Wiens, Douglas (1976), "Diophantine representation of the set of prime numbers", American Mathematical Monthly 83: 449-464, テンプレート:Doi
  31. ↑ テンプレート:OEIS
  32. ↑ テンプレート:OEIS
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