群のコホモロジー

テンプレート:About 数学、とくにホモロジー代数学において、群のコホモロジー（テンプレート:Lang-en-short）とは代数的トポロジーに由来する技法であるコホモロジー論を使って群を研究するために使われる数学的な道具立てである。群の表現のように、群のコホモロジーは群 テンプレート:Mvar の [[群上の加群|テンプレート:Mvar 加群]]への作用をみることで、その群の性質を明らかにする。テンプレート:Mvar 加群を テンプレート:Mvar の元が [[単体 (数学)|テンプレート:Mvar 単体]]を表す位相空間のように扱うことで、コホモロジー群 テンプレート:Math などの位相的な性質が計算できる。コホモロジー群は群 テンプレート:Mvar や テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar の構造に関する洞察を与える。群のコホモロジーは加群や空間への群作用の固定点や群作用に関する商加群や商空間を研究において一定の役割を果たす。群のコホモロジーは群論そのものへの応用はもちろん、抽象代数・ホモロジー代数・代数的トポロジー・代数的整数論などの分野でも用いられている。代数的トポロジーには、群のホモロジーと呼ばれる双対理論がある。

これらの代数的な概念は位相的な概念と密接に関連している。離散群 テンプレート:Mvar の群のコホモロジーは テンプレート:Mvar を基本群とする適当な空間——つまり対応するテンプレート:仮リンク——の特異コホモロジーである。したがって テンプレート:Math のコホモロジーは円 テンプレート:Math の特異コホモロジーと思うことができ、同様に テンプレート:Math のコホモロジーは テンプレート:Math の特異コホモロジーと思うことができる。

群のコホモロジーについては非常に多くのこと——低次コホモロジーの解釈・関手性・群の変更——が知られている。群のコホモロジーに関する主題は1920年代に始まり、1940年代後半に発達し、現在でも活発に研究が続いている。

動機

群 テンプレート:Mvar はその表現を通じて研究されるべきであるという群論における一般的なパラダイムがある。このような表現をわずかに一般化したものに [[群上の加群|テンプレート:Mvar 加群]]がある：テンプレート:Mvar 加群とは群 テンプレート:Mvar の各元が自己同型として作用するアーベル群 テンプレート:Mvar である。われわれは テンプレート:Mvar は乗法的に、 テンプレート:Mvar は加法的に書くことにする。

テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar が与えられたとき、 テンプレート:Mvar 不変な元のなす部分加群

$M^G=\{x\in M\mid \mathrm{\forall }g\in G,gx=x\}$

を考えるのは自然である。いま テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 部分加群（つまり、テンプレート:Mvar による作用で閉じている テンプレート:Mvar の部分群）であるとすると、一般に「 テンプレート:Math の不変な元は テンプレート:Mvar の不変な元の テンプレート:Mvar の不変な元による商として得られる」というのは正しくない：テンプレート:Mvar を法として不変であることの方が広い。群の1次コホモロジー テンプレート:Math はこの差をきちんと測ることを目的とする。

一般に群のコホモロジー関手 テンプレート:Math は不変な元をとる関手がどれほど完全でないかを測っている。これは長完全列によって表される。

定義

すべての テンプレート:Mvar 加群からなるクラスは圏である。（その射は群準同型 テンプレート:Math であって、すべての テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して テンプレート:Math を満たすものである。）各 テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar に テンプレート:Mvar を対応させることで テンプレート:Mvar 加群の圏からアーベル群の圏 テンプレート:Math への関手が得られる。この関手は左完全であるが右完全とは限らない。したがって右導来関手をとることができる。その値はアーベル群であり、テンプレート:Math と表され、テンプレート:Mvar に係数をもつ群の テンプレート:Mvar 次コホモロジー群と呼ばれる。

双対鎖複体

導来関手を使った定義は概念的には極めて明快であるが、実際に利用するには一部の著者が定義としている、次の計算法が役に立つことが多いテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。テンプレート:Math に対して テンプレート:Math を テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への関数全体からなる群とする。これはアーベル群であり、その元を（非斉次）テンプレート:Mvar 次の双対鎖という。双対境界作用素を

$d^{n+1}:C^n(G,M)\to C^{n+1}(G,M),\phi \mapsto d^{n+1}\phi ;$

$d^{n+1}\phi (g_1,\dots ,g_{n+1})=g_1\phi (g_2,\dots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^n(-1{)}^i\phi (g_1,\dots ,g_{i-1},g_i{g}_{i+1},g_{i+2},\dots ,g_{n+1})+(-1{)}^{n+1}\phi (g_1,\dots ,g_n)$

で定めると テンプレート:Math が成り立つので、これはコホモロジーが計算可能な双対鎖複体を定める。上述の導来関手を使った群のコホモロジーの定義はこの複体のコホモロジー

$H^n(G,M)=Z^n(G,M)/B^n(G,M)$

と同型であることを示すことができる。ここで テンプレート:Mvar 次の双対輪体群、テンプレート:Mvar 次の双対境界群はそれぞれ次のように定義される。

$Z^n(G,M)=\ker (d^{n+1})$

$B^n(G,M)=\{\begin{array}{cc}0& (n=0)\\ \mathrm{im}(d^n)& (n\ge 1)\end{array}$

関手 テンプレート:Math と群のコホモロジーの形式的な定義

テンプレート:Mvar 加群を群環 テンプレート:Math 上の加群とみると

$H^0(G,M)=M^G={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)$

であることに注意する。つまり テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 不変な元からなる部分群は テンプレート:Math ——これは自明な テンプレート:Mvar 加群（テンプレート:Mvar のすべての元が単位元として作用する）と見做す——から テンプレート:Mvar への準同型からなる群と同一視される。したがって [[Ext関手|テンプレート:Math 関手]]は [[Hom関手|テンプレート:Math 関手]]の導来関手であるから、自然同型

$H^n(G,M)={\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}[G]}^n(\mathbb{Z},M)$

がある。これらの テンプレート:Math 群は テンプレート:Math の射影分解から計算することもでき、そのような分解は テンプレート:Mvar のみに依存し、テンプレート:Mvar には依存しないという利点がある。

群のホモロジー

群のコホモロジーの構成と双対になる群のホモロジー（テンプレート:Lang-en-short）が次のように定義できる：テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar が与えられたとき、テンプレート:Mvar を テンプレート:Math から生成される部分加群とする。テンプレート:Mvar に対して、いわゆるcoinvariantsと呼ばれる商

$M_G:=M/DM$

を与える対応は右完全関手である。その左導来関手

$H_n(G,M)$

が群のホモロジーである。テンプレート:Mvar に テンプレート:Mvar を対応させる反変関手は テンプレート:Mvar を テンプレート:Math に送る関手と同型である。したがってTor関手を使って群のホモロジーの表示

$H_n(G,M)={\mathrm{Tor}}_n^{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)$

を得ることもできる。ここでコホモロジー・ホモロジーにおける上付き・下付きの規約は群のinvariants・coinvariantsの規約と一致していることに注意せよ。つまり"co-"は

• コホモロジー テンプレート:Math とinvariants テンプレート:Math に対応する上付き
• ホモロジー テンプレート:Math とcoinvariants テンプレート:Math に対応する下付き

を入れ替える。

具体的にはホモロジー群 テンプレート:Math は次のように計算できる。まず自明な テンプレート:Math 加群 テンプレート:Math の射影分解

$F:\cdots \to F_n\to F_{n-1}\to \cdots \to F_0\to \mathbb{Z}\to 0$

からはじめる。共変関手 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の各項ごとに適用して鎖複体

$F{\otimes }_{\mathbb{Z}[G]}M:\cdots \to F_n{\otimes }_{\mathbb{Z}[G]}M\to F_{n-1}{\otimes }_{\mathbb{Z}[G]}M\to \cdots \to F_0{\otimes }_{\mathbb{Z}[G]}M\to \mathbb{Z}{\otimes }_{\mathbb{Z}[G]}M$

を得る。テンプレート:Math はこの鎖複体のホモロジー群 テンプレート:Math である。

低次のコホモロジー群

テンプレート:Math

1次コホモロジー群はいわゆる交差準同型（テンプレート:Lang-en-short）——つまり写像（の集合）テンプレート:Math ですべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math を満たすもの——のいわゆる内部交差準同型（テンプレート:Lang-en-short）——つまり写像 テンプレート:Math である固定された テンプレート:Math に対して テンプレート:Math で与えられるもの——による商である。これは双対鎖などの定義から従う。

もし テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への作用が自明ならば、これは群準同型 テンプレート:Math からなる群 テンプレート:Math となる。

テンプレート:Math の場合を考えよう。ここで テンプレート:Math は整数群に非自明な テンプレート:Math 作用を入れたものを表す。交差準同型は写像 テンプレート:Math で テンプレート:Math とある整数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math を満たすものからなる。内部交差準同型はさらに テンプレート:Math をみたすものであり、したがって

$H^1(\mathbb{Z}/2,{\mathbb{Z}}_{-})\cong \mathbb{Z}/2=⟨f\mid f(1)=0,f(-1)=1⟩$

となる。

テンプレート:Math

テンプレート:Mvar が自明な テンプレート:Mvar 加群ならば、2次コホモロジー群 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar による中心拡大の集合と（自然な同値関係を除いて）一対一対応する。より一般に、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への作用が非自明ならば テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar による拡大 テンプレート:Math すべての同型類を分類する。ここで テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への（内部自己同型による）作用は テンプレート:Mvar（の像）の テンプレート:Mvar 構造から与えられる。

上の例において、テンプレート:Math の テンプレート:Math による拡大は無限二面体群に限るので テンプレート:Math である。

ブラウアー群は2次コホモロジー群の例である：それは体 テンプレート:Mvar の絶対ガロア群の分離閉包における可逆元への作用に関するコホモロジー

$H^2(\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}/k),(k^{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{p}}{)}^{\times })$

である。

性質

以下では テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 加群とする。

コホモロジーの長完全列

実際には次の事実を使ってコホモロジー群を計算することがしばしばある。つまり テンプレート:Mvar 加群の短完全列

$0\to L\to M\to N\to 0$

は長完全列

$0\to L^G\to M^G\to N^G\stackrel{{\delta }^0}{\to }{H}^1(G,L)\to H^1(G,M)\to H^1(G,N)\stackrel{{\delta }^1}{\to }{H}^2(G,L)\to \cdots$

を誘導する。いわゆる連結準同型

${\delta }^n:H^n(G,N)\to H^{n+1}(G,L)$

は非斉次双対鎖のことばで次のように記述できるテンプレート:Sfn。もし テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 次の双対鎖 テンプレート:Math に代表される元ならば、テンプレート:Math は テンプレート:Math に代表される。ここで テンプレート:Math は テンプレート:Math を「持ち上げて」（つまり テンプレート:Math が テンプレート:Math と全射 テンプレート:Math の合成となるようにして）得られる テンプレート:Mvar 次の双対鎖 テンプレート:Math である。

関手性

群のコホモロジーは次の意味で群 テンプレート:Mvar に反変的に依存している：つまり群準同型 テンプレート:Math は自然な射 テンプレート:Math を誘導する。（ここで後者の テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar を介して テンプレート:Mvar 加群としてみる。）これを制限写像（テンプレート:Lang-en-short）という。もし テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における指数が有限ならば、逆向きの移送写像テンプレート:訳語疑問点（テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれる写像

${\mathrm{cor}}_H^G:H^n(H,M)\to H^n(G,M)$

があるテンプレート:Sfn。次数 0 のところでは、この写像は

$M^H\to M^G,m\mapsto \sum _{g\in G/H}gm$

で与えられる。テンプレート:Mvar 加群の射 テンプレート:Math が与えられたとき、コホモロジー群の射 テンプレート:Math を得ることができる。

積

位相幾何学や微分幾何学における他のコホモロジー論（たとえば特異コホモロジーやド・ラーム・コホモロジー）などと同様に群のコホモロジーも積構造を持っている。どんな テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar に対してもカップ積（テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれる自然な写像

$H^n(G,N)\otimes H^m(G,M)\to H^{n+m}(G,M\otimes N)$

がある。これは $\underset{n\ge 0}{⨁}{H}^n(G,R)$ に次数つき反可換環の構造を与える。ここで テンプレート:Mvar は テンプレート:Math や テンプレート:Math などの環である。有限群 テンプレート:Mvar に対して、このコホモロジー環の標数 テンプレート:Mvar における偶数次部分 $\underset{n\ge 0}{⨁}{H}^{2n}(G,\mathbb{Z}/p)$ は テンプレート:Mvar の群構造に関する多くの情報を持っている。たとえばこの環のクルル次元はアーベル部分群 テンプレート:Math の最大ランクに等しい。

テンプレート:Mvar を位数2の離散群とする。実射影空間 テンプレート:Math は群 テンプレート:Mvar の分類空間である。テンプレート:Math を二元体とする。このとき

$H^{*}(G,k)\cong k[x]$

となる。これは テンプレート:Math の胞体コホモロジー環だからである。

Künneth公式

テンプレート:Math を体とすると テンプレート:Math は[[次数つき多元環|次数つき テンプレート:Mvar 多元環]]であり、群の直積のコホモロジーはそれぞれの群のコホモロジーとKünneth公式

$H^{*}(G_1\times G_2,k)\cong H^{*}(G_1,k)\otimes H^{*}(G_2,k)$

によって関連づけられる。たとえば テンプレート:Mvar を階数 テンプレート:Mvar の基本アーベル2群、テンプレート:Math とするとKünneth公式は テンプレート:Mvar のコホモロジーが テンプレート:Math に属する テンプレート:Mvar 個の類によって生成される テンプレート:Mvar 上の多項式環であることを示している。

$H^{*}(G,k)\cong k[x_1,\dots ,x_r].$

歴史

1940年ごろ、テンプレート:仮リンクは2つの積演算について考えていたテンプレート:Sfn。リー群の上に2つの閉曲線があったとすると、リー群の積演算を使ってこの閉曲線同士を乗算することで閉曲面ができる。これが1つ目の積演算である。もう1つは負曲率の閉リーマン多様体上の2つの閉測地線に対して定義されるものである。この2つの閉曲線が定める基本群の元が可換であったとすると、これらによって「張られる」トーラスのような閉曲面を定めることができる。ホップは2つの閉曲線に対して定義されるこれら2種類の積を統一的に理解しようとした。そして、これらの積を定義するためにリー群やリーマン多様体の構造は不要であることに気づいた。背景にある原理は、1次のホモトピー群である基本群と2次のホモロジー群を関係付けるものであり、極めて一般的な状況で通じるものであった。そして1941年、次の公式

$\frac{H_2(X;\mathbb{Z})}{h({\pi }_2(X))}\cong \frac{R\cap [F,F]}{[F,R]}$

を発表したテンプレート:Sfn。ここで テンプレート:Mvar は考えている空間、テンプレート:Nowrap は2次の整数係数ホモロジー群、テンプレート:Math は2次のホモトピー群、テンプレート:Mvar はフレヴィッツ準同型、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の基本群 テンプレート:Math を生成元と関係式で テンプレート:Math と表示したときの自由群と関係式、テンプレート:Math は交換子で生成される群である。特に テンプレート:Math が自明な群であれば、この公式から位相的な不変量である2次のホモロジー群が基本群から純代数的に計算できることになる。

続く研究でホップは高次のホモトピー群 テンプレート:Math が テンプレート:Math に対して自明になるならば テンプレート:Nowrap も基本群から代数的に決まることを示したテンプレート:Sfn。これから、この場合には テンプレート:Mvar 次までのホモロジー群がすべて基本群から代数的に決定できることになる。しかし、ホップはこの段階ではどのように決定できるかまでは示さなかった。

群のコホモロジーとホモロジーは、2次のホモロジー群に対してホップが証明した公式の右辺を生成元と関係式に依らない内在的な式にし、さらに先の条件を満たす空間の高次のホモロジー群を基本群で代数的に記述するためにサミュエル・アイレンベルグとソーンダース・マックレーンによって生み出された。テンプレート:Harvtxt では（群の作用が自明な場合について）群のコホモロジーの定義が与えられ、そして双対鎖複体を用いた現代でも用いられる定義（「#双対鎖複体」参照）が群のコホモロジー群の計算結果として述べられている。そして先の条件を満たす空間について「空間のコホモロジー＝群のコホモロジー」が成り立つという形で高次のホップの公式が発表されている。

彼らがどのように考えて群の（コ）ホモロジーの定義に至ったかを述べると次のようになるテンプレート:Sfn。まず テンプレート:Mvar を弧状連結な位相空間とする。そして

$S(X):S_0\stackrel{\partial }{⟵}{S}_1\stackrel{\partial }{⟵}{S}_2\stackrel{\partial }{⟵}\cdots$

を テンプレート:Mvar の特異複体とする。この位相空間の点を1つ取り、それを基点する。頂点がすべて基点に写されるような特異単体で生成される部分複体は、テンプレート:Mvar が弧状連結なので、この特異複体と同じホモロジー群を定めるテンプレート:Sfn。なのではじめから テンプレート:Math は頂点が基点に写される特異単体を基底とする自由アーベル群とし、特異単体としては頂点が基点に写されるものだけを考える。

テンプレート:Mvar の基本群（基点は先ほど取ったものとする）を テンプレート:Math とする。テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の元の テンプレート:Mvar 個の組 テンプレート:Math を生成元とする自由アーベル群とする。これは基本群から純代数的に定義されている。

頂点が基点に写される特異単体の各辺に対応する基本群の元 テンプレート:Math を割り当てた様子。左から順に特異1単体、特異2単体、特異3単体。

テンプレート:Math から テンプレート:Math への準同型 テンプレート:Mvar を次のように定義する。

テンプレート:Math の場合は自明なものが1つあるのでそれで定める。

テンプレート:Math の場合。テンプレート:Math を特異1単体とする。テンプレート:Math の辺01は頂点が基点なので自然に基本群の元 テンプレート:Mvar を定める。テンプレート:Mvar による テンプレート:Mvar の像がこの テンプレート:Mvar になるように テンプレート:Math を定める。考えている特異単体が明らかで テンプレート:Mvar を テンプレート:Math と表しているときは テンプレート:Math と書ける。

テンプレート:Math の場合。テンプレート:Math を特異2単体とする。先ほどと同様に、辺01が定める基本群の元 テンプレート:Mvar と辺12が定める基本群の元 テンプレート:Mvar がある。テンプレート:Mvar による テンプレート:Mvar の像が テンプレート:Math になるように テンプレート:Math を定める。考えている特異単体が明らかで テンプレート:Mvar を テンプレート:Math と表しているときは テンプレート:Math と書ける。

一般の場合も同様にして定める。これで

$\begin{array}{cccccc}S(X):& S_0& \stackrel{\partial }{⟵}& S_1& \stackrel{\partial }{⟵}& \cdots \\ & \downarrow \kappa & & \downarrow \kappa & & \downarrow \kappa \\ B(G):& B_0& & B_1& & \cdots \end{array}$

という図式ができた。テンプレート:Mvar が複体の射となるように、つまりこの図が可換図式となるように テンプレート:Math を定めたい。

例として テンプレート:Math の場合を考える。テンプレート:Mvar を 特異2単体とし、これを テンプレート:Math と書くことにする。また境界を テンプレート:Math と書くことにする。先ほどと同様に辺01が定める基本群の元を テンプレート:Mvar、辺12が定める基本群の元を テンプレート:Mvar で表す。特異複体の境界作用素の定義から テンプレート:Math である。辺02は辺01と辺12を繋いだものとホモトープなので テンプレート:Math である（考えている特異単体がホモトピー写像を与える）。これに注意することにより テンプレート:Math が分かる。よって テンプレート:Math と定義すれば可換図式になる。

テンプレート:Math の場合も同様に考えれば テンプレート:Math と定義すればよいことが分かる。

一般の場合には

$\partial [x_1,\dots ,x_n]=[x_2,\dots ,x_n]+\sum _{i=1}^{n-1}(-1{)}^i[x_1,\dots ,x_i{x}_{i+1},\dots ,x_n]+(-1{)}^n[x_1,\dots ,x_{n-1}]$

と定義するとうまくいくテンプレート:Efn。この テンプレート:Math により テンプレート:Math は複体になるので、この複体のホモロジー群を取ることができる。また、この複体の テンプレート:Math を取ると双対複体が得られ、これからコホモロジー群を得ることができる。このコホモロジー群は テンプレート:Mvar が テンプレート:Math に自明に作用する場合に#双対鎖複体で定義したものと全く同じである。このようにして彼らは基本群 テンプレート:Mvar から純代数的に複体を構成し、群の（コ）ホモロジー群の定義に到達した。そして テンプレート:Mvar が定める特異ホモロジー群から群のホモロジー群への準同型を調べることでホップの研究を一般化した。

参考文献

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歴史関連

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