自然変換

自然変換（しぜんへんかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、数学における「自然な同型」という概念の定式化として生まれ、その後圏および関手とともに圏論の中核を構成した数学的な対象である。圏論において自然変換は「関手の間の射」^{[注 1]}とも表現され、圏の構造の中で関手の像を別の関手の像へ変換させる対応として定義される。

関手テンプレート:Math の間の自然変換テンプレート:Math は、よい条件を満たすテンプレート:Mvar の各対象によってパラメータ付けられた射の族テンプレート:Math によって構成される。逆に、テンプレート:Mvar の各対象によってパラメータ付けられた族テンプレート:Math が関手の間の自然変換を構成する場合^{[注 2]}、射の族テンプレート:Math はテンプレート:Mvar で自然である (natural in テンプレート:Mvar) とも表現される。

自然変換は圏や関手と並んで非常に基本的な構成物であり、随伴、極限、モナド、モノイド圏など多くの場面で自然変換、あるいは射の自然性は議論されている。

定義

圏テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への関手とするとき、テンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への自然変換テンプレート:Math (あるいは

η : F \overset{∙}{\to} G

と表記する^[1]) とは、テンプレート:Mvar の対象でパラメータ付けられたテンプレート:Mvar の射の族テンプレート:Math であって、任意のテンプレート:Mvar の射テンプレート:Math に対して

η_{Y} \circ F (f) = G (f) \circ η_{X}

を満たすもの、すなわち次の図式を可換にするものである：

自然変換テンプレート:Math を構成するそれぞれの射テンプレート:Math はテンプレート:Mvar のコンポーネント (テンプレート:Lang-en-short) と呼ばれる。コンポーネントがすべて同型射であるとき、テンプレート:Mvar は自然同型 (テンプレート:Lang-en-short) あるいは自然同値 (テンプレート:Lang-en-short) であるという。

上記の図式を考慮しない、単なる射の族テンプレート:Math (テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の対象からなる部分集合) を、テンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への infranatural transformation と呼ぶことがある^[2]。このとき、テンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への自然変換とはテンプレート:Mvar の対象すべてをパラメータとするテンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への infranatural transformation テンプレート:Math であって、任意のテンプレート:Math に対して $τ_{y} \circ F (f) = G (f) \circ τ_{x}$ であるものと言い換えられる。infranatural transformation テンプレート:Math に対して、コンポーネントにテンプレート:Math を含むような自然変換を持つ最大のテンプレート:Mvar の部分圏をテンプレート:Math と書いてテンプレート:Mvar のnaturalizerという^{[注 3]}。

例

直積の結合性

集合テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar に対して、集合の直積テンプレート:Math とはそれぞれの要素を成分に持つ順序対からなる集合 ${(x, y) ∣ x \in X, y \in Y}$ である。ここで、3つの集合テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math とテンプレート:Math の2つの集合を考える。2つの集合は明らかに順序対のつけ方を変えただけのものであるため、同型 $α_{X, Y, Z} : (X \times Y) \times Z ≅ X \times (Y \times Z)$ を得る。この同型はさらに、テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar のそれぞれに対して自然である。すなわち、写像テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math に対して等式 $α_{X^{'}, Y^{'}, Z^{'}} \circ ((ξ \times η) \times ζ) = (ξ \times (η \times ζ)) \circ α_{X, Y, Z}$ が成り立つ。このことは位相空間の圏テンプレート:Math^[3]、群の圏テンプレート:Math、小さい圏の圏テンプレート:Math など、直積を持つ圏一般^[4]に成立する。

ベクトル空間の二重双対

体テンプレート:Mvar 上のベクトル空間テンプレート:Mvar に対して、双対空間テンプレート:Mathとはテンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への線形写像全体からなるベクトル空間である。このとき、テンプレート:Mvar から二重双対空間テンプレート:Math (すなわち、テンプレート:Mathからテンプレート:Mvar への線形写像からなる空間) への単射線形写像テンプレート:Mathが $\begin{matrix} Ψ_{V} (x) : & V^{*} & ⟶ & K \\ φ & ⟼ & φ (x) \end{matrix}$ によって定まる。さらにテンプレート:Mvar が有限次元であるとき、テンプレート:Math は同型となる。明らかにテンプレート:Math はテンプレート:Mvar の基底に依らずに定まるため、逆写像であるテンプレート:Math もテンプレート:Mathの基底に依らない。この意味でテンプレート:Math は特別な線形写像であり、また有限次元の場合についてテンプレート:行内引用^{[注 4]}である。

線形写像テンプレート:Math に対して、テンプレート:Mathが $f^{*} φ (x) = φ (f (x))$ によって定まる。もう一度同じ操作を取ることで、テンプレート:Mathが $f^{* *} X (φ) = X (f^{*} φ)$ と定まる。定義から、準同型の合成に対して $(g \circ f)^{* *} = g^{* *} \circ f^{* *}$ が成り立つため、これによって二重双対はベクトル空間と線形写像のなす圏 (ベクトル空間の圏テンプレート:Math) 上の自己関手であることがわかる。

さらに、定義に沿って計算することで $f^{* *} (Ψ_{V} (x)) (φ) = φ (f (x))$ を得るため、 $f^{* *} (Ψ_{V} (x)) = Ψ_{W} (f (x))$ が成り立つ。以上のことから、テンプレート:Math は恒等関手と二重双対関手の間の自然変換 (有限次元に制限した場合は自然同型) のコンポーネントとなることがわかる。

開集合と閉集合

位相空間テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar の開集合すべてからなる集合テンプレート:Math と閉集合すべてからなる集合テンプレート:Math を取る操作について考える。連続写像テンプレート:Math の (互いに同値な) 定義から、テンプレート:Mvar に対して開集合の逆像は開集合に、閉集合の逆像は閉集合に写る。ここから、2つの操作テンプレート:Math とテンプレート:Math は反変関手テンプレート:Math と見なせる^[5]。

位相空間テンプレート:Mvar の開集合テンプレート:Math に対して、その補集合テンプレート:Overline は閉であり、またテンプレート:Overline の補集合はテンプレート:Mvar 自身である。これにより、各テンプレート:Math とテンプレート:Math の間に全単射を定められる。この全単射はテンプレート:Mvar について自然であり、さらにコンポーネントはいずれも同型であるため、テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の間に自然同型が存在するとわかる^[6]。

群拡大と因子団

アーベル群の拡大テンプレート:Math を考える。各テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math をテンプレート:Math を満たすような代表元として選ぶ。このとき、テンプレート:Mvar の各要素はテンプレート:Math (テンプレート:Math) の形で表すことができ、特にテンプレート:Math について $u (h) + u (k) = u (h + k) + f (h, k) (\exists f (h, k) \in G)$ という形で表せる。このとき、テンプレート:Math からの対応テンプレート:Mvar は、アーベル群における群演算の可換性および結合性から、次の2条件を満たす。

$f (h, k) = f (k, h)$
$f (h, k) + f (h + k, l) = f (h, k + l) + f (k, l)$

逆に、写像テンプレート:Math が上記2条件を満たすとき、これをテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar における factor set (因子団^[7]) という。因子団について、次の2つの事実が成り立つ。

あるテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar における因子団テンプレート:Mvar は、群の拡大テンプレート:Math を1つ定める^[8]。
点ごとの加算 $(f_{1} + f_{2}) (h, k) = f_{1} (h, k) + f_{2} (h, k)$ によって、因子団の集合テンプレート:Math はアーベル群をなす^[9]。

因子団によって定まる群の拡大は1対1対応ではないが、同値な群の拡大を定める因子団の集合はテンプレート:Math 上の剰余類をなし、結果として群の拡大たちの群テンプレート:Math をテンプレート:Math のある商群として与える。

以下、テンプレート:Mvar はある自由群テンプレート:Mvar の商群テンプレート:Math とする。前段と同様に、テンプレート:Math に対して代表元テンプレート:Math を選び、それによって定まるテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar における因子団をテンプレート:Math で表す。このとき、準同型テンプレート:Math に対して $f_{θ} (h, k) = θ (f_{0} (h, k))$ とすると、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar における因子団である。この対応はさらに、テンプレート:Math からテンプレート:Math への群準同型をなす^[10]。

いま、自由群の間の準同型テンプレート:Math はテンプレート:Math を満たすとする。このとき、テンプレート:Mvar はテンプレート:Math からテンプレート:Math への準同型を誘導して、さらにこれは準同型テンプレート:Math を導く。また、テンプレート:Mvar の事前合成 $θ \mapsto θ \circ T$ は準同型テンプレート:Math を定める。

以上の設定の下で、テンプレート:Math が定める因子団の対応テンプレート:Math およびテンプレート:Math は $η^{'} T_{h}^{*} = T_{e}^{*} η$ を満たす^[11]。この意味でテンプレート:Mvar は自然な対応である。

ブール代数のウルトラフィルター

補元テンプレート:Math を持つ分配束テンプレート:Math をブール代数という。二点集合テンプレート:Math} に適切な演算を入れたものは最小のブール代数の構成となる。ブール代数の準同型テンプレート:Math とは写像テンプレート:Math であって、各演算の結果を保つものをいう。

ブール代数テンプレート:Math のウルトラフィルターとは、テンプレート:Mvar の真部分集合テンプレート:Math であって、

空でない (特に、1 を含む)
ミート ∧ について閉じている (テンプレート:Math ならばテンプレート:Math である)
テンプレート:Math の上方集合はテンプレート:Mvar の部分をなす (テンプレート:Math かつテンプレート:Math ならばテンプレート:Math である)
テンプレート:Mvar は極大である (上記3条件を満たすテンプレート:Math が存在するならば、テンプレート:Math である)

を満たすものである^{[注 5]}。このとき、テンプレート:Mvar のウルトラフィルターはテンプレート:Mvar から 2 への準同型と1対1対応する^[12]。

ブール代数とその間の準同型からなる圏をテンプレート:Math で表す。このとき、対応 $B \mapsto {H o m}_{𝐁 𝐀} (B, 2)$ はテンプレート:Math から集合の圏への反変関手 ${H o m}_{𝐁 𝐀} (_, 2) : {𝐁 𝐀}^{o p} \to 𝐒 𝐞 𝐭$ を構成する。他方、ブール代数の準同型テンプレート:Math とテンプレート:Mvar のウルトラフィルターテンプレート:Mvar に対して、逆像テンプレート:Math はテンプレート:Mvar のウルトラフィルターであるため、これによって写像テンプレート:Math を得る (テンプレート:Math でテンプレート:Mvar のウルトラフィルターの集合を表す)。これはテンプレート:Math からテンプレート:Math への反変関手であり、さらに同型 $U l t (B) ≅ {H o m}_{𝐁 𝐀} (B, 2)$ はテンプレート:Mvar について自然となる^[13]。

(反例) 双対ベクトル空間

双対ベクトル空間を取る操作は、ふつう反変関手テンプレート:Math と見なされる (このときテンプレート:Math に対してテンプレート:Math は先述の $f^{*} φ (x) = φ (f (x))$ で与えられる線形写像である) ため、恒等関手テンプレート:Math との間の自然変換は定義上存在しえない。

別の考え方として、双対との間の「自然な」同型テンプレート:Math が存在するならば、その満たすべき条件は、任意の線形写像テンプレート:Math に対して $f^{*} \circ γ_{W} \circ f = γ_{V}$ であると考えることができる (超自然変換節も参照)。これは自然性を示す可換図式のうち、テンプレート:Math に相当する射の向きを反転させたものになる。テンプレート:Math が同型であることから、等式の左辺も同型にならなければならないが、左辺の示す射が任意の線形写像に対して同型になるということはないため、この意味で双対ベクトル空間との間の「自然な」同型は存在しない^[14]。

歴史

自然変換は、1940年代初頭の数学者が非形式的に使っていた「自然な」同型あるいは「自然な」同相射という概念の定式化として、1942年にアイレンベルグとマックレーンによって導入された^[15]^{[注 6]}。1945年にはこの2人によって "General Theory of Natural Equivalences" (テンプレート:Lit) が発表され、これによって自然変換の理論が定式化された。1940年代後半にはホモロジー論や抽象代数の分野においてこの概念が適用されはじめ、その後グロタンディークらによって代数幾何に、ローヴェアなどによって論理学に、その後も計算機科学、言語学、認知科学、哲学などの様々な分野において応用が見られるようになった^[16]。

自然変換および自然性は圏論における基礎的な概念の1つである。マックレーンは『圏論の基礎』の中でテンプレート:行内引用テンプレート:Harv と記している。

自然変換の演算

自然変換の間には代表して垂直合成 (vertical composition) と水平合成 (horizontal composition) という2種類の演算が存在する。2種類の演算について、垂直水平の方向はどの文献でも一致しているが、その記号は文献によって揺れが存在している。

垂直合成

関手テンプレート:Math の間の自然変換テンプレート:Math, テンプレート:Math に対して、各コンポーネントの合成テンプレート:Math は再び自然変換となる。そこでこれをテンプレート:Math とテンプレート:Math の垂直合成と呼んで、 $τ \cdot σ$ (Mac Lane, Riehl) や $τ \circ σ$ (Leinster, Awodey) と表記する。

定義から、自然変換の垂直合成は明らかに射の性質を継承して、結合律や単位元律を満たすことになるため、同じ型テンプレート:Math を持つ関手とその間の自然変換は圏を構成する。これを関手圏と言い、テンプレート:Math あるいはテンプレート:Math のように表す。

水平合成

圏テンプレート:Math に対して、関手テンプレート:Math, テンプレート:Math とその間の自然変換テンプレート:Math, テンプレート:Math について考える。このとき、テンプレート:Math に対してテンプレート:Mvar の射 $τ_{F^{'} x} \circ G σ_{x} = G^{'} σ_{x} \circ τ_{F x} : G F x \to G^{'} F^{'} x$ が取れて、これはテンプレート:Math からテンプレート:Math への自然変換をなす。これをテンプレート:Math とテンプレート:Math の水平合成と呼んで、 $τ \circ σ$ (Mac Lane) や $τ * σ$ (Leinster, Riehl) で表す。

自然変換の水平合成に関して、関手に対する恒等変換をその関手の記号で省略することがある。すなわち、上記の例において、自然変換テンプレート:Math やテンプレート:Math をテンプレート:Math やテンプレート:Math で定義できる。従って、自然変換の水平合成に関して、等式 $τ * σ = (τ F^{'}) \cdot (G σ) = (G^{'} σ) \cdot (τ F)$ が成り立つ。

相互交換法則

自然変換の垂直合成 $τ \cdot σ$ と水平合成 $τ * σ$ に対して、相互交換法則 (interchange law) と呼ばれる次の等式が成り立つ^{[注 7]}。 $(τ^{'} \cdot σ^{'}) * (τ \cdot σ) = (τ^{'} * τ) \cdot (σ^{'} * σ)$ 圏、関手と自然変換は、圏よりも高次の2次元的な構造を与える。このような構造を (ストリクト) テンプレート:日本語版にない記事リンクと呼び、小さな圏の圏テンプレート:Math (に自然変換を構造として付加したもの) は2-圏の代表的な例である^{[注 8]}。

米田の補題

テンプレート:Main 小さい集合の圏テンプレート:Mbf へのHom関手テンプレート:Math を持つ圏 (すなわち、局所的に小さい圏) テンプレート:Mbf に対して、テンプレート:Mbf の対象テンプレート:Math を用いてテンプレート:Math やテンプレート:Math で表される関手、またはこれらと自然同型な関手を表現可能関手と呼ぶ。表現可能関手テンプレート:Math は定義から自然同型テンプレート:Math を (あるテンプレート:Math に対して) 持つ。これはすなわち、全てのテンプレート:Mvar の値テンプレート:Math は、テンプレート:Math からのある射と1対1対応するということである。このことは、米田の補題と呼ばれる次の主張に一般化される。

テンプレート:Math theorem

米田の補題は圏論において最も重要な結果であるとも評され^[17]、様々な帰結をもたらすとても基礎的な補題である。

応用例

随伴

テンプレート:Main 関手テンプレート:Math とテンプレート:Math に対して、テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar が随伴テンプレート:Math であることは、自然な同型写像テンプレート:Math によって定まる (このときテンプレート:Math は2つの関手テンプレート:Math の間の自然同型を定めるコンポーネントとなる)。また、テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar が随伴テンプレート:Math であるとき、随伴の単位および余単位と呼ばれる自然変換テンプレート:Math とテンプレート:Math が存在して、テンプレート:Math はテンプレート:Mvar への普遍射、テンプレート:Math はテンプレート:Mvar からの普遍射となる。単位および余単位が同型であるとき、テンプレート:Mbf とテンプレート:Mbf は圏同値であるため、この意味で随伴を持つ関係は圏同値の一般化と言える。

重要な随伴関手の例として自由関手と忘却関手、テンソル積テンプレート:Math と hom関手テンプレート:Math が挙げられる。

カン拡張

圏論における極限、随伴、米田の補題を初めとした諸概念はカン拡張によって表すことができ、マックレーンは「すべての概念はカン拡張である」と述べている^[18]。

層理論

テンプレート:Main 位相空間 $(X, 𝒪_{X})$ に対して、テンプレート:Mvar 上の前層とは、テンプレート:Mvar の開集合 $U \in 𝒪_{X}$ に対してそれぞれ集合 $A (U) \in 𝐒 𝐞 𝐭$ を割り当てる写像であって、開集合の包含 $V \subset U$ に対して制限 (と呼ばれる写像) $r_{U, V} : A (U) \to A (V)$ が存在して、よい条件を満たすものである。さらに任意の開集合、その開被覆 $𝒪_{X} ∋ U = ⋃_{i \in I} U_{i}$ 、および共通部分を互いに共有する ${f_{i} \in A (U_{i})}_{i \in I}$ (すなわち、 $r_{U_{i}, U_{i} \cap U_{j}} (f_{i}) = r_{U_{j}, U_{i} \cap u_{j}} (f_{j})$ を満たす) に対して、 $f_{i} = r_{U, U_{i}} (f)$ を満たす $f \in A (U)$ の存在が成り立つとき、そのような前層を層という。

開集合族は包含関係について半順序をなすため、圏論的に捉えると前層とはテンプレート:Mbf への反変関手 $A : 𝒪_{X}^{o p} \to 𝐒 𝐞 𝐭$ と思うことができる。このとき、前層 (層) の間の射を関手の間の自然変換として定義できる。従って、関手圏がそのまま前層の圏 $P s h (X) = {𝐒 𝐞 𝐭}^{𝒪_{X}^{o p}}$ となり、層の圏はその充満部分圏を構成する。

数学において「局所から大域へ」という状況が数多く存在するために、層理論は代数幾何を始めとした数多くの分野と影響を及ぼしあっている^[19]。

普遍代数

有限順序数の集合テンプレート:Math} を対象の集合とする、テンプレート:Mbf の充満部分圏をテンプレート:Mvar で表す。また、テンプレート:Mbf の余積 (すなわち集合の非交和) をテンプレート:Mvar の余積として導入する。

余積を持つ圏 $𝔸$ は、対象について同型であってさらに余積を保つ関手 $A : N \to 𝔸$ を備えているとき、代数理論であるという^[20]。型 $𝔸$ の代数とは、積を保つ集合値反変関手 $𝔸^{o p} \to 𝐒 𝐞 𝐭$ である^{[注 9]}。層の時と同様に $𝔸$ -代数の準同型は自然変換として定義できて、代数の圏は関手圏 ${𝐒 𝐞 𝐭}^{𝔸^{o p}}$ の充満部分圏として定義される。

超自然変換

テンプレート:Flexbox start テンプレート:Flexbox endそれぞれの可換図式は、テンプレート:Math に対する自然性、テンプレート:Math とテンプレート:Math の、それぞれテンプレート:Math およびテンプレート:Math に対する特別自然性 (テンプレート:Harvtxt ではこのことを特別自然変換と呼ぶ) を表している^[21]。

超自然変換のうち、特にどちらかが定数関手である場合、特殊な(余)極限としてテンプレート:日本語版にない記事リンクおよびテンプレート:日本語版にない記事リンクが定まる。エンドやコエンドはhom関手と関連性があり、例えば豊穣圏論では豊穣圏の「関手圏」を定義するためにエンドを用いている^[22]。

脚注

注釈

↑ テンプレート:行内引用テンプレート:Harv
↑ 対象の族テンプレート:Math、テンプレート:Math が関手を構成することも条件に含む
↑ テンプレート:Harvtxt より。文献によってテンプレート:Math の場合のみを指すこともあるテンプレート:Harv。
↑ テンプレート:行内引用テンプレート:Harv
↑ 定義はテンプレート:Harvtxt の p.37 および p.158 に基づく。
↑ テンプレート:行内引用テンプレート:Harv
↑ テンプレート:Harvtxt、訳書版では p.54。テンプレート:Harvtxt、テンプレート:Harvtxt にも記載あり。
↑ 例えばテンプレート:Harvtxt などではテンプレート:Math を2-圏として例示している (Example 2.3.14)。
↑ ここでは、記法は全てテンプレート:Harvtxt のものに準拠している。例えばテンプレート:Harvtxtでは代数理論の射の向きは反転しており、型 $𝒯$ の代数は共変関手 $𝒯 \to 𝐒 𝐞 𝐭$ として定義されている。

出典

参考文献

テンプレート:Refbegin

テンプレート:圏論

[1] テンプレート:行内引用テンプレート:Harv

[2] 対象の族テンプレート:Math、テンプレート:Math が関手を構成することも条件に含む

[5] テンプレート:Harvtxt より。文献によってテンプレート:Math の場合のみを指すこともあるテンプレート:Harv。

[8] テンプレート:行内引用テンプレート:Harv

[16] 定義はテンプレート:Harvtxt の p.37 および p.158 に基づく。

[21] テンプレート:行内引用テンプレート:Harv

[23] テンプレート:Harvtxt、訳書版では p.54。テンプレート:Harvtxt、テンプレート:Harvtxt にも記載あり。

[24] 例えばテンプレート:Harvtxt などではテンプレート:Math を2-圏として例示している (Example 2.3.14)。

[29] ここでは、記法は全てテンプレート:Harvtxt のものに準拠している。例えばテンプレート:Harvtxtでは代数理論の射の向きは反転しており、型 $𝒯$ の代数は共変関手 $𝒯 \to 𝐒 𝐞 𝐭$ として定義されている。

[3] テンプレート:Harvnb

[4] テンプレート:Harvnb

[6] テンプレート:Harvnb

[7] テンプレート:Harvnb

[9] テンプレート:Harvnb

[10] テンプレート:Harvnb

[11] 名称はテンプレート:Harvnb (p.129) による。

[12] テンプレート:Harvnb

[13] テンプレート:Harvnb

[14] テンプレート:Harvnb

[15] テンプレート:Harvnb

[17] テンプレート:Harvnb

[18] テンプレート:Harvnb

[19] テンプレート:Harvnb

[20] テンプレート:Harvnb

[22] テンプレート:Harvnb

[25] テンプレート:Harvnb

[26] テンプレート:Harvtxt, p.ⅶ (初版への序)、およびⅩ.7節タイトル。

[27] テンプレート:Harvnb

[28] テンプレート:Harvnb

[30] テンプレート:Harvnb

[31] テンプレート:Harvnb

[注 1]

[注 2]

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[注 3]

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[注 5]

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[注 6]

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[注 7]

[注 8]

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[注 9]

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自然変換

目次

定義