カルタン幾何学

テンプレート:Pathnavbox カルタン幾何学テンプレート:Refn（かるたんきかがく）（テンプレート:Lang-en-short）とは、微分幾何学における概念で、多様体の各点における「一次近似」がクラインの幾何学とみなせるものの事である。カルタンの幾何学はクラインの幾何学とリーマン幾何学を包括する幾何学概念として提案された。

以下、本項では特に断りがない限り、単に多様体、関数、バンドル等といった場合はテンプレート:Mvar級のものを考える。また特に断りがない限りベクトル空間は実数体上のものを考える。

概要

テンプレート:See also カルタン幾何学の背景にあるのはクラインのエルランゲン・プログラムである。エルランゲン・プログラムは、当時「幾何学」、例えばユークリッド幾何学、双曲幾何学、球面幾何学、射影幾何学等が乱立していた状況に対し、それらを統一する手法を提案したものであり、今日の言葉で言えば、これらはいずれも等質空間の概念を使う事で統一的に記述できる事を示した。

すなわちクラインの意味での幾何学（以下単にクライン幾何学と呼ぶ）とは、リー群テンプレート:Mvarとその閉部分リー群テンプレート:Mvarの組$(G,H)$を等質空間$M=G/H$上に「幾何学を保つ」変換群テンプレート:Mvarが作用しており、テンプレート:Mvar上の一点の等方部分群がテンプレート:Mvarであるとみなしたものである。

しかしエルランゲン・プログラムには、当時すでに知られていたリーマン幾何学が記述できない、という限界があった。実際リーマン多様体は等質空間にはなっていないので、エルランゲン・プログラムでは記述できない。

カルタンの意味での幾何学（以下単にカルタン幾何学と呼ぶ）は上記の事情を背景に、クラインの幾何学とリーマン幾何学を包含する形で定義された幾何学概念である：

ユークリッド幾何学	一般化	クラインの幾何学
	→
↓一般化		↓一般化
リーマン幾何学	一般化	カルタン幾何学
	→

多様体自身にクライン幾何学の構造が入れば、すなわち$M=G/H$であれば、テンプレート:Mvarの各点の接ベクトル空間は自然に$𝔤/𝔥$と同型になる。ここで$𝔤$、$𝔥$はそれぞれテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarのリー代数である。

そこでちょうどリーマン幾何学の「一次近似」である接ベクトル空間がユークリッド幾何学になっているように、カルタン幾何学では、多様体テンプレート:Mvarの「一次近似」である接ベクトル空間に、クライン幾何学$G/H$の「一次近似」である$𝔤/𝔥$を対応させる。このとき、多様体テンプレート:Mvarには等質空間$G/H$をモデル空間とするカルタンの幾何学の構造が入っている、という。

しかしあくまで「一次近似」がクラインの幾何学と等しいだけなので、実際にはカルタン幾何学はクライン幾何学とはズレる。このズレを図るのがの曲率である。

滑りとねじれのない転がし

カルタン幾何学を導入するもう一つの動機が滑りとねじれのない転がしである。これはテンプレート:Mvar次元のリーマン多様体をテンプレート:Mvar次元平面上「滑ったり」、「捻れたり」する事なく「転がした」ときにできる軌跡に関する研究である。

この軌跡はユークリッド幾何学をモデルにするカルタン幾何学を使うことで定式化が可能であり、曲線の発展という。ユークリッド幾何学はテンプレート:Mvar次元平面上の幾何学であるので、テンプレート:Mvar次元平面上の軌跡になるが、一般のクライン幾何学$(G,H)$をモデルとするカルタン幾何学の発展は、$M=G/H$上の軌跡となる。

定義の背後にある直観テンプレート:Anchors

本節ではを参考に、2次元ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学を直観的に説明する。${𝔼}^2$を2次元ユークリッド空間とし、$\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^2)$を${𝔼}^2$の合同変換群とする。すなわち$\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^2)$は$A\in O(2)$と$b\in {ℝ}^2$を使って$x\mapsto Ax+b$と書ける変換全体の集合である。${𝔼}^2$は$\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^2)/O(2)$と同一視できる。

テンプレート:Mvarを2次元多様体とし、テンプレート:Mvar上に人が一人立っているとする。人が立っている場所を$u\in M$とし、人の前方向をテンプレート:Mvar軸、左方向をテンプレート:Mvar軸とすると、接ベクトル空間の基底$e_x,e_y\in T_{u}M$が定義できる。テンプレート:Mvarはユークリッド空間をモデルにしているので、その人は自分の近傍をユークリッド空間だと思っている。

$T_{u}M$の正規直交基底全体の集合を$F_u(M)$とし、$F(M)={\cup }_{u\in M}{F}_u(M)$とすると、$F(M)$は自然にテンプレート:Mvar上の$O(2)$-主バンドルとみなせる。以上の議論から、$F(M)$の元は、テンプレート:Mvar上にいる人（とその向き）であるとみなせる。

テンプレート:Mvar上にいる人を$(e_x,e_y)\in F_u(M)$と表すとき、その人がテンプレート:Mvar上の位置（＝テンプレート:Mvar）を変えずに向きだけを「無限小だけ」変えた場合、その向きの変化を表す速度ベクトルは$T{F}_u(M)$の元とみなせるが、これは人の向きを変えた回転変換の微分なので、回転変換群$O(2)$の無限小変換群（＝$O(2)$に対応するリー代数）である$𝔬(2)$の元であるともみなせる。

すなわち、$T{F}_u(M)$の元を$𝔬(2)$の元と対応させる事ができる：

$T{F}_u(M)\to 𝔬(2)$

また人がテンプレート:Mvar上の位置テンプレート:Mvarから無限小だけ歩いた場合は、歩いたことによる$(e_x,e_y)\in F_u(M)$の変化の速度ベクトルは$T_{u}F(M)$の元とみなせるが、その人は自分がユークリッド空間を歩いているのだと理解しているので、速度ベクトルを$\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^2)$の無限小変換群（＝$\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^2)$のリー代数）である$𝔦𝔰𝔬({𝔼}^2)$の元であるとみなす。すなわち$T_{u}F(M)$の元を$𝔦𝔰𝔬({𝔼}^2)$と対応付けて考える。

結局、ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学とは、テンプレート:Mvar上の$O(2)$-主バンドル$F(M)$で、ファイバーごとの線形写像

$\omega :TF(M)\to 𝔦𝔰𝔬({𝔼}^2)$

を持ち、各$u\in M$に対し、テンプレート:Mvarのファイバー$F_u(M)$の接バンドル$T{F}_u(M)$へのテンプレート:Mvarの制限が

$\omega (T{F}_u(M))\in 𝔬(2)$

を満たすもので「性質の良いもの」（後述）である。

準備

本節ではカルタン幾何学の定式化に必要となる用語を定義する。

基本ベクトル場

テンプレート:Mvarをリー群とし、$𝔤$をそのリー代数とし、さらにテンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarが右から作用する多様体（例えばテンプレート:Mvar-主バンドル$\pi :P\to M$の全空間テンプレート:Mvar）とする。テンプレート:Math theoremなお、テンプレート:Mvarがテンプレート:Mvar-主バンドル$\pi :P\to M$の全空間テンプレート:Mvarの場合には${\underset{\_}{A}}_p$は垂直部分空間${𝒱}_p$の元である事が容易に示せる。

随伴表現

テンプレート:Math theoremここで$\mathrm{G}\mathrm{L}(𝔤)$は$𝔤$上の線形同型全体のなすリー群である。随伴表現の定義は$h(t)$の取り方によらずwell-defninedである。

モーレー・カルタン形式

クライン幾何学の構造を調べる準備としてモーレー・カルタン形式を導入する。テンプレート:Math theoremモーレー・カルタン形式は以下を満たす：テンプレート:Math theoremここで$[\cdot ,\cdot ]$は$𝔤$上のリー括弧であり、$𝔤$-値1-形式テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarに対し、$[\alpha ,\beta ](X,Y):=[\alpha (X),\beta (Y)]-[\alpha (Y),\beta (X)]$である。

上記の2式のうち下のものをモーレー・カルタンの方程式テンプレート:Refn（テンプレート:Lang-en-short）、もしくはリー群テンプレート:Mvarの構造方程式テンプレート:Refn（テンプレート:Lang-en-short）という。

定義と基本概念

定義

リー群テンプレート:Mvarとその閉部分リー群の組$(G,H)$で$G/H$が連結になるものをクライン幾何学、もしくは（カルタン幾何学のモデルになるので）モデル幾何学（テンプレート:Lang-en-short）という。

$(G,H)$をモデル幾何学とし、$𝔤$、$𝔥$をそれぞれテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarのリー代数とする。

テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvar-主バンドル$\pi :P\to M$のカルタン接続（テンプレート:Lang-en-short）という。また紛れがなければテンプレート:Mvarの事をカルタン幾何学という。

3つの条件の直観的な意味を説明する。

• 1つ目の条件は、$T_{p}P$と$𝔤$が同一視できる事を意味しており、前述した直観的説明のように、モデルがユークリッド幾何学であれば、テンプレート:Mvarにいる人は、自分の近傍がユークリッド空間であるとみなしているので、人の動きの速度ベクトルの集合$T_{p}P$が、無限小変換全体$𝔤=𝔦𝔰𝔬({𝔼}^2)$で記述可能である事を要請するのは自然である。
• ２つ目の条件は、各$u\in M$に対し、テンプレート:Mvarが同型写像$A\in 𝔥\mapsto \underset{\_}{A}\in T_p{P}_p$の逆写像である事を要請している。$\underset{\_}{A}$は$A\in 𝔥$が$P_p$に定める無限小変換なので、前述した直観的説明からこれは自然な要請である。なお、この２つ目の条件から特に直観的説明のところで登場した以下の要件が従う：

  $\omega (T{P}_u)\in 𝔥$

• ３つ目の条件は、前述した直観的説明から$u\in M$にいる人は自分の近傍がモデル幾何学$(G,H)$に似ているとみなしているので、$h\in H$を右から乗じれば、$𝔤=T_{e}G$の元は$T_{h}G$に移動してしまうので、左からも$h^{-1}$を乗じて$𝔤=T_{e}G$に戻す随伴表現$\mathrm{A}\mathrm{d}(h^{-1})$を作用させたものと等しくなる事を要請する。

なお、$\omega :T_{p}P\stackrel{\sim }{\to }𝔤$は同型なので、テンプレート:Mvar上定義できるカルタン幾何学には

$\dim 𝔤=\dim 𝔥+\dim M$

という制約が課せられる事になる。

主接続との関係

テンプレート:See also カルタン接続の定義は主バンドルの接続（主接続）の接続形式の定義とよく似ているが、両者は似て非なる概念であり、テンプレート:Mvar-主バンドルの主接続の接続形式はテンプレート:Mvarのリー代数$𝔥$に値を取るが、カルタン接続はテンプレート:Mvarのリー代数$𝔤$に値を取っている。しかし、$(\pi ,P,\omega )$を$(G,H)$をモデル幾何学とする多様体テンプレート:Mvar上のカルタン幾何学とするとき、テンプレート:Mvar-主バンドル$\pi :P\to M$上定義されたカルタン接続$\omega :TP\to 𝔤$は、自然に

$Q:=P{\times }_{H}G\to M$

というテンプレート:Mvar-主バンドル上の$𝔤$-値1-形式

$\overline{\omega }:TQ\to 𝔤$

に拡張する事ができ、$\overline{\omega }$はテンプレート:Mvar-主バンドル$Q\to M$の接続形式である。逆に$Q\to M$を任意のテンプレート:Mvar-主バンドルとし、$\overline{\omega }$をテンプレート:Mvar上定義された接続形式とするとき、$Q\to M$のテンプレート:Mvar-部分バンドル$\phi :P\to Q$で${\phi }_{*}(TP)\cap \ker \omega =\{0\}$であり、しかも$\dim G=\dim P$であればテンプレート:Mvarのテンプレート:Mvarへの制限はテンプレート:Mvar上のカルタン接続になる。

なお、モデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、上記のものとは別の形の関係性をカルタン接続と主接続は満たす。詳細は後述する。

無限小クライン幾何学による定式化

定義から分かるように、カルタン幾何学の定義は$𝔤$、$𝔥$、およびテンプレート:Mvarには依存しているが、テンプレート:Mvarには直接依存していない。これは$𝔤$、$𝔥$、およびテンプレート:Mvarはテンプレート:Mvar上のカルタン幾何学の局所的な構造を定めるのに対し、テンプレート:Mvarはクライン幾何学$(G,H)$の大域的な構造を定めるものであるため、テンプレート:Mvarが不要である事による。

リー代数$𝔤$に対応するリー群テンプレート:Mvarは一意ではなく、これが原因で大域的な構造を定めるテンプレート:Mvarはカルタン幾何学の定義に必須でないばかりか、一部の定理ではテンプレート:Mvarを（$𝔤$に対応する）別のリー群に取り替える必要が生じてしまう。

そこでテンプレート:Mvarに直接言及せず、$(𝔤,𝔥)$を使ったカルタン幾何学の定式化も導入する。そのために以下の定義をする：

以下、特に断りがなければ、$(𝔤,𝔥)$が効果的である事を仮定するテンプレート:Refn。ここで$(𝔤,𝔥)$が効果的であるとは、$𝔥$に含まれる$𝔤$のイデアルが$\{0\}$のみである事を意味する。テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarを$𝔤$、$𝔥$に対応するリー群とすると、$(𝔤,𝔥)$が効果的である事は、$X=G/H$、$K:=\{g\in G\mid \mathrm{\forall }x\in X:gx=x\}$とするとき、テンプレート:Mvarが離散群になる事と同値である。

カルタン幾何学としてのクライン幾何学

本節ではカルタン幾何学の最も簡単な例として、クライン幾何学のカルタン幾何学としての構造を調べる。$(G,H)$をクライン幾何学とし、$M=G/H$とし、$u_0=[e]$とする。ここで$[e]$はテンプレート:Mvarの単位元テンプレート:Mvarの同値類である。このとき

$\pi :g\in G\mapsto g{u}_0\in M$

は自然にテンプレート:Mvar-主バンドルとみなせる。テンプレート:Mvar上のモーレー・カルタン形式${\omega }^G$がカルタン接続の定義を満たす事を示せるので、$(\pi ,G,\mu )$は$(G,H)$をモデルとするカルタン幾何学になる。

局所クライン幾何学とその上のカルタン幾何学テンプレート:Anchors

リー群テンプレート:Mvarとその閉部分リー群の組$(G,H)$を考えるテンプレート:Refn。テンプレート:Mvarの離散部分群$\mathrm{\Gamma }$で、$G/H$へのテンプレート:Mvarからの作用$G\curvearrowright G/H$の$\mathrm{\Gamma }$への制限$\mathrm{\Gamma }\curvearrowright G/H$が効果的なものを考える（$\mathrm{\Gamma }\curvearrowright G/H$が効果的な事は$\mathrm{\Gamma }\cap H=\{e\}$である事と同値である）。このとき、$\mathrm{\Gamma }\curvearrowright G/H$による商集合$M=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G/H$を考える。テンプレート:Mvarが連結なとき、$(G,H,\mathrm{\Gamma })$を局所クライン幾何学（テンプレート:Lang-en-short）という。

局所クライン幾何学テンプレート:Mvar上に以下のようにカルタン幾何学を定義できる。まず$\mathrm{\Gamma }\curvearrowright G/H$が効果的なので$P=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G$とすると、商写像

$\pi :P=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G\to M=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G/H$

には自然にテンプレート:Mvar-主バンドルの構造が入る。またテンプレート:Mvar上のモーレー・カルタン形式${\omega }^G$はその定義より左不変なので、商写像$q:G\to \mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G$に対し

${\pi }^{*}({\omega }^{\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G})={\omega }^G$

を満たす一意な$𝔤$-値1-形式を${\omega }^{\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G}$とする事で、$P=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G$にカルタン接続${\omega }^{\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G}$がwell-definedされ、$M=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G/H$上に$(G,H)$をモデルとするカルタン幾何学$(\pi ,P,{\omega }^{\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G})$が定義できる。

カルタン幾何学の（局所）幾何学的同型

２つのカルタン幾何学の間の（局所的および大域的な）同型概念を以下のように定義する：テンプレート:Math theorem

定数ベクトル場と普遍共変微分

任意の$p\in P$に対して$\omega :T_{p}P\stackrel{\sim }{\to }𝔤$は同型写像であるので、テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarにより

$TP\approx P\times 𝔤$

という同一視ができ、テンプレート:Mvarはベクトルバンドルとして自明である。

よって特に$A\in 𝔤$を各$p\in P$に対してテンプレート:Mvarの逆写像でテンプレート:Mvarに移すことで、テンプレート:Mvar上のベクトル場を作る事ができる。 テンプレート:Math theorem

定数ベクトル場を用いると、以下の「普遍共変微分」を定義できる： テンプレート:Math theoremモデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、普遍共変微分は通常の共変微分を導く。これについては後述。

接バンドル

本節ではカルタン幾何学が定義された多様体の接バンドルの構造を調べる。そのために以下の定義をする。

$(\pi ,P,\omega )$を$(𝔤,𝔥,H,\mathrm{A}\mathrm{d})$をモデル幾何学とするテンプレート:Mvar上のカルタン幾何学とする。$\mathrm{A}\mathrm{d}$はテンプレート:Mvarの$𝔤$への作用を定義するが、$\mathrm{A}\mathrm{d}$の$𝔥$への制限は$𝔥$上の随伴表現である（ので$\mathrm{A}\mathrm{d}$は$𝔥$を保つ）ことから、$\mathrm{A}\mathrm{d}$はテンプレート:Mvarの$𝔤/𝔥$への作用を誘導する。またテンプレート:Mvarはテンプレート:Mvar-主バンドルテンプレート:Mvarに作用していたので、これの作用により、ベクトルバンドル

$P{\times }_{H,\mathrm{A}\mathrm{d}}𝔤/𝔥$

を定義できる。実はこのベクトルバンドルは接バンドルと同型である：

テンプレート:Math theorem 具体的には写像

$[(p,[A])]\in P{\times }_{H,\mathrm{A}\mathrm{d}}𝔤/𝔥\mapsto {\pi }_{*}({\omega }_p{}^{-1}(A))\in TM$

はwell-definedであり、ベクトルバンドルとしての同型写像である。ここで${\omega }_p{}^{-1}(A)$は同型写像${\omega }_p:T_{p}P\stackrel{\sim }{\to }𝔤$の逆写像${\omega }_p{}^{-1}$で$A\in 𝔤$を$T_{p}P$に移したものである。

曲率

定義

クライン幾何学をカルタン幾何学とみなした場合、カルタン接続はモーレー・カルタン形式テンプレート:Mvarと等しいので、カルタン接続は構造方程式

$d{\omega }^G+\frac{1}{2}[{\omega }^G,{\omega }^G]=0$

を満たすが、一般のカルタン幾何学は構造方程式を満たすとは限らない。そこで以下の量を考える： テンプレート:Math theorem テンプレート:Mvarは（局所）クライン幾何学からのズレを表す量であると解釈でき、明らかにクライン幾何学や局所クライン幾何学の曲率は恒等的に0である。

曲率は以下を満たす：テンプレート:Math theorem

点$u\in M$のファイバーテンプレート:Mvarにはテンプレート:Mvarが単純推移的に作用するので、$p\in P_u$をfixして、$h\in H\mapsto ph\in P_u$によりテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarを同一視すると、テンプレート:Mvar上にモーレー・カルタン形式テンプレート:Mvarが定義できる。しかもテンプレート:Mvarは$p\in P_u$の取り方に依存しないことも容易に証明できる。実は曲率のテンプレート:Mvarへの制限はテンプレート:Mvarに一致する。テンプレート:Math theoremなお、実はテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarの少なくとも一方がテンプレート:Mvarに属していれば、${\mathrm{\Omega }}_p(v,w)=0$である事が知られているテンプレート:Refn。よって特に次が成立する：テンプレート:Math theorem このテンプレート:Mvarは次節で導入する曲率関数を用いる事で具体的に記述できる。

曲率関数

${\omega }_p{T}_{p}P\stackrel{\sim }{\to }𝔤$が同型写像であったことから、写像の合成

${\wedge }^2𝔤\stackrel{\sim }{\to }{\wedge }^2{T}_{p}P\stackrel{\mathrm{\Omega }}{\to }𝔤$

を定義できる。またすでに述べたようにテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarの少なくとも一方がテンプレート:Mvarに属していれば、${\mathrm{\Omega }}_p(v,w)=0$である事が知られているテンプレート:Refn事から、この写像は${\wedge }^2𝔤/𝔥$上の写像をwell-definedに誘導する。

曲率$\mathrm{\Omega }:{\wedge }^2{T}_{p}P\approx {\wedge }^2𝔤\to 𝔤$がテンプレート:Mvar上の$𝔤$-値2-形式テンプレート:Mvarを誘導する事を前に見た。このテンプレート:Mvarは曲率関数を使って以下のように書き表す事ができる。

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{\Omega }:& {\bigwedge }^2{T}_{p}P& \approx & {\bigwedge }^2𝔤& \to & 𝔤\\ & {\pi }_{*}\downarrow & \circlearrowright & \downarrow & \circlearrowright & ||\\ {\mathrm{\Omega }}^{\prime }:& {\bigwedge }^2{T}_{\pi (p)}M& \approx & {\bigwedge }^2𝔤/𝔥& \stackrel{K_p}{\to }& 𝔤\end{array}$

捩率

さらに以下の定義をする：テンプレート:Math theorem

モデル幾何学がアフィン幾何学である場合は、この捩率はアフィン接続の捩率テンソルに一致する。詳細は後述。

標準形式

本節の目標は、商写像

$\rho :𝔤\to 𝔤/𝔥$

とカルタン接続の合成$\rho \circ \omega$の幾何学的意味を説明する事である。

まず、$\rho \circ \omega$は以下のように特徴づける事ができる： テンプレート:Math theorem

上記の特徴付けから、$\rho \circ \omega$の幾何学的意味は同型$P{\times }_H𝔤/𝔥\stackrel{\sim }{\to }TM$に関係しているので、この同型の幾何学的意味を見る。$𝔤/𝔥$にベクトル空間としての基底$e_1,\dots ,e_m$をfixし、同型

$P{\times }_{H,\mathrm{A}\mathrm{d}}𝔤/𝔥\stackrel{\sim }{\to }TM$

による$[p,e_i]$の像を$e_i^p$とすると、$e^p:=(e_1^p,\dots ,e_m^p)$は$T_{\pi (p)}M$の基底をなす。

よって特に、$F:=\{e^p\mid p\in P\}$とすると、テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvar上のテンプレート:仮リンク（＝各点のファイバーがテンプレート:Mvarの基底からなるバンドル）になる。

一般には対応

$p\in P\mapsto e^p\in F$

は全単射ではないが、$P{\times }_{H,\mathrm{A}\mathrm{d}}𝔤/𝔥$の定義から、カルタン幾何学が下記の意味で「一階」であれば、この写像は全単射になる：テンプレート:Math theorem

以上の準備のもと、$\rho \circ \omega$を幾何学的に意味付ける：テンプレート:Math theorem テンプレート:Math proof

上記のような、$v\in T_{e}F$に${\pi }_{*}(v)=v^i{e}_i$となる${}^t(v^1,\dots ,v^m)$を対応させる${ℝ}^m$-値1-形式をフレームバンドル上の標準形式（テンプレート:Lang-en-short）という。上述の定理はカルタン幾何学が一階であれば$\rho \circ \omega$は標準形式として意味づけられる事を保証する。

簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学テンプレート:Anchors

テンプレート:See also 本節ではモデル幾何学$(𝔤,𝔥,H,\mathrm{A}\mathrm{d})$が「簡約可能」という性質を満たす場合にが対するカルタン幾何学の性質を見る。具体的にはモデル幾何学がユークリッド幾何学やアフィン幾何学の場合には簡約可能になる。

定義

まず簡約可能性を定義する：テンプレート:Math theorem

なお、$𝔟$の取り方は一意とは限らないので注意されたい。

テンプレート:Mvarが2つのリー群の半直積$G=H⋉B$で書けている場合は、テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarに対応するモデル幾何学$(𝔤,𝔥,H,\mathrm{A}\mathrm{d})$は、テンプレート:Mvarのリー代数を$𝔟$として選ぶ事で簡約可能である。

よって特にユークリッド幾何学の等長変換群$\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^m)$は直交群$O(m)$と平行移動のなす群の半直積で書けるので対応するモデル幾何学は簡約可能である。アフィン幾何学も同様である。

カルタン接続の分解テンプレート:Anchors

$(\pi ,P,\omega )$を$(𝔤,𝔥,H,\mathrm{A}\mathrm{d})$をモデル幾何学にする多様体テンプレート:Mvar上のカルタン幾何学とする。モデル幾何学$(𝔤,𝔥,H,\mathrm{A}\mathrm{d})$が、$𝔥\oplus 𝔟=𝔤$と簡約可能なとき、$𝔤$の元は$𝔥$の元と$𝔟$の元の和で一意に表現できるので、カルタン接続$\omega :TP\to 𝔤$も

$\omega ={\omega }_{𝔥}+{\omega }_{𝔟}$

のように「$𝔥$部分」と「$𝔟$部分」の和で書ける。この分解を用いると、カルタン接続と主接続の接続形式との関係性を以下のように記述できる： テンプレート:Math theorem

したがって、簡約可能なモデル幾何学の場合にはカルタン接続から主接続の接続形式$𝔥$が得られることになる。

一方、${\omega }_{𝔟}$は

$𝔟\subset 𝔤\stackrel{\rho }{\to }𝔤/𝔥$

により$𝔟$を$𝔤/𝔥$と同一視すると、${\omega }_{𝔟}$は$\rho \circ \omega$と同一視でき、前述のように（カルタン幾何学が一階であれば）$\rho \circ \omega$は標準形式であるとみなせる。

したがって分解$\omega ={\omega }_{\mathrm{h}}+{\omega }_{\mathrm{b}}$はカルタン接続$\omega$を接続形式$𝔥$と標準形式$𝔟$に分解するものであるが、実は逆に接続形式と標準形式からカルタン接続を復元できる： テンプレート:Math theorem 前述した、カルタン接続から接続形式と標準形式とに分解する定理とは丁度「逆写像」の関係にあり、簡約可能で一階の場合はカルタン接続は接続形式と標準形式との組と1対1に対応する。

Koszul接続テンプレート:Anchors

モデル幾何学が簡約可能である場合、上述したようにカルタン接続テンプレート:Mvarから定義される${\omega }_{𝔥}$はテンプレート:Mvar-主バンドルテンプレート:Mvarの接続形式になる。ベクトル空間テンプレート:Mvar上のテンプレート:Mvarの線形表現$\gamma :H\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$があれば、ベクトルバンドルとしての接続（Koszul接続）の一般論から、接続形式${\omega }_{𝔥}$はテンプレート:Mvar上のベクトルバンドル$E:=P{\times }_{H,\gamma }V$にKoszul接続を定める。

よって特に、接バンドルは

$TM\approx P{\times }_{H,\mathrm{A}\mathrm{d}}𝔤/𝔥$

と書けたので、${\omega }_{𝔥}$はテンプレート:Mvar上のKoszul接続、すなわちアフィン接続テンプレート:Mvarを定める。

このことから分かるようにモデル幾何学がアフィン幾何学でなくても、簡約可能でありさえすればアフィン接続を誘導する。

しかし特にモデル幾何学がアフィン幾何学であれば、アフィン変換群テンプレート:Mvarの$𝔤/𝔥$上の随伴表現は$𝔤/𝔥$上のアフィン変換になる事を示す事ができ、この意味において$TM\approx P{\times }_{H,\mathrm{A}\mathrm{d}}𝔤/𝔥$はアフィン空間$𝔤/𝔥$のバンドルとなる。後述するように、この事実が例えばモデルがユークリッド幾何学の場合には重要になる。

普遍共変微分との関係

$\gamma :H\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$をベクトル空間テンプレート:Mvar上のテンプレート:Mvarの線形表現とし、${\omega }_{𝔥}$がテンプレート:Mvar上のベクトルバンドル$E:=P{\times }_{H,\gamma }V$に定めるKoszul接続をテンプレート:Mvarとする。

テンプレート:Mvarの切断テンプレート:Mvarと$p\in P$に対し、$s_{\pi (p)}=[p,f_s(p)]\in P{\times }_{H,\gamma }V=E$となる$f_s(p)$が一意に存在し、テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarからテンプレート:Mvarへの関数$f_s:P\to V$とみなせる。

上記のように$D_{{\omega }_{𝔟}(\tilde{X})}{f}_s$はKoszul接続$\mathrm{\nabla }{}_{X}s$と関係するが、それに対し$D_{{\omega }_{𝔥}(\tilde{X})}{f}_s$の方は自明なものになってしまう： テンプレート:Math theorem

曲率の分解テンプレート:Anchors

本節ではモデル幾何学$(𝔤,𝔥,H,\mathrm{A}\mathrm{d})$が$𝔤=𝔥+𝔟$と簡約可能でしかも

$[𝔟,𝔟]\subset 𝔟$

となっている場合、すなわち$𝔟$として$𝔤$の部分リー代数になっているものを取れる場合に対し、曲率の「$𝔥$部分」と「$𝔟$部分」を具体的に書き表す。

先に進む前にこの条件を満たすモデル幾何学の具体例を述べる。例えば$𝔤$に対応するリー群テンプレート:Mvarが2つのリー群の半直積$G=H⋉B$で書けている場合に、$𝔟$としてテンプレート:Mvarのリー代数を取れば上述の条件を満たす。特に、モデル幾何学がアフィン幾何学である場合は、アフィン変換群${\mathrm{A}\mathrm{f}\mathrm{f}}_m$は線形変換${\mathrm{G}\mathrm{L}}_m(ℝ)$と平行移動のなす群$B={ℝ}^m$の半直積で書け、しかも$𝔟$をテンプレート:Mvarのリー代数とすると、

$[𝔟,𝔟]=\{0\}$

というより強い条件が成立する。モデル幾何学がユークリッド幾何学の場合も同様である。

曲率テンプレート:Mvarは$𝔤=𝔥+𝔟$に値を取るので、曲率を

$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_{𝔥}+{\mathrm{\Omega }}_{𝔟}$

と「$𝔥$部分」${\mathrm{\Omega }}_{𝔥}$と「$𝔟$部分」${\mathrm{\Omega }}_{𝔟}$に分解する。商写像$𝔟\subset 𝔤\stackrel{\rho }{\to }𝔤/𝔥$が同型になることから、$𝔟\approx 𝔤/𝔥$という同一視をすると、

${\mathrm{\Omega }}_{𝔟}\approx \rho (\mathrm{\Omega })=\tau$

と${\mathrm{\Omega }}_{𝔟}$がカルタン幾何学の捩率$\tau =\rho (\mathrm{\Omega })$に対応する事が分かる。

とくにアフィン幾何学をモデルとするカルタン幾何学の場合、$𝔟$はアフィン変換群${\mathrm{A}\mathrm{f}\mathrm{f}}_m={\mathrm{G}\mathrm{L}}_m(ℝ)⋉{ℝ}^m$の並進部分である${ℝ}^m$に対応するリー代数であるので、アフィン幾何学をモデルとする場合、捩率とは並進に関する曲率であるとみなせる。

構造方程式テンプレート:Anchors

曲率の定義から、

$\mathrm{\Omega }=d\omega +\frac{1}{2}[\omega ,\omega ]$$=d{\omega }_{𝔥}+d{\omega }_{𝔟}+\frac{1}{2}[{\omega }_{𝔥},{\omega }_{𝔥}]+[{\omega }_{𝔥},{\omega }_{𝔟}]+\frac{1}{2}[{\omega }_{𝔟},{\omega }_{𝔟}]$

が成立するので、仮定$[𝔟,𝔟]\subset 𝔟$を使うと以下が成立する事が分かる： テンプレート:Math theorem

${\omega }_{𝔥}$が接続形式に対応している事から、上記の定理の１つ目の式は、接続形式${\omega }_{𝔥}$が定義する主接続に対する第二構造方程式である事がわかる。よって特に、${\mathrm{\Omega }}_{𝔥}$は主接続の曲率形式である事がわかる。したがって

一方2本目の式において${\omega }_{𝔟}$は$TP\stackrel{\omega }{\to }𝔤\to 𝔤/𝔥\approx 𝔟$に一致し、[[#ρωのフレームバンドルでの解釈|標準形式テンプレート:Mvarとして解釈]]できるので、モデル幾何学がアフィン幾何学である場合のように$[𝔟,𝔟]=\{0\}$であれば、2本目の式は

$\tau \approx d\theta +[{\omega }_{𝔥},\theta ]$

となり、第一構造方程式に対応している事が分かる。よってこの場合の捩率は接続形式${\omega }_{𝔥}$がテンプレート:Mvarによって定まる主接続の捩率テンソルに一致する。

ビアンキ恒等式

前述したカルタン接続のビアンキ恒等式

$d\mathrm{\Omega }=[\mathrm{\Omega },\omega ]$

を「$𝔥$部分」と「$𝔟$部分」に分解することで以下の定理が結論づけられる： テンプレート:Math theorem ${\omega }_{𝔥}$が接続形式に対応している事から、上記の定理の1本目の式は接続形式${\omega }_{𝔥}$が定義する主接続に関する第二ビアンキ恒等式である。

一方、2本目の式は、構造方程式の場合と同様、モデル幾何学がアフィン幾何学のように$[𝔟,𝔟]=\{0\}$を満たせば、

$d\tau \approx [\tau ,{\omega }_{𝔥}]+[{\mathrm{\Omega }}_{𝔥},\theta ]$

と第一ビアンキ恒等式に一致する。

曲線の発展

テンプレート:Mvar上の発展

$(\pi ,P,\omega )$を$(G,H)$をモデルとするテンプレート:Mvar上のカルタン幾何学とし、$\phi :[a,b]\to P$を区間$[a,b]$上定義されたテンプレート:Mvar上の曲線とするテンプレート:Mvarをテンプレート:Math上の点とすると、$T_{\phi (t)}P$にはカルタン接続テンプレート:Mvarにより$𝔤$の元が対応している。次の事実が知られている：テンプレート:Math theorem モーレー・カルタン形式${\omega }^G$は、テンプレート:Mvar上の接ベクトルをテンプレート:Mvarの作用により$𝔤=T_{e}G$に移す変換であったので、上記の定理は$\frac{d\tilde{\phi }}{dt}(t)$がテンプレート:Mvarの作用による移動を除いて$\omega (\frac{d\phi }{dt}(t))$に一致する事を意味する。

上記の定理の直観的な意味を説明する。クライン幾何学$(G,H)$においてテンプレート:Mvarは等質空間$G/H$における同型写像のなす群であったので、そのリー代数$𝔤$の元は$G/H$上の「無限小同型変換」、すなわち同型写像の微分とみなせた。

カルタン幾何学$(\pi ,P,\omega )$の付与された多様体テンプレート:Mvarとは「一次近似」がクライン幾何学に見える空間であり、テンプレート:Mvarの元テンプレート:Mvarはカルタン接続により$𝔤$の元と対応しており、$\omega (v_p)$は$\pi (u)$における「無限小同型変換」を意味していた。

上記の定理は曲線$\phi$に沿って「無限小同型変換」である$𝔤$の元$\omega (\frac{d\phi }{dt}(t))$を束ねていくとその「積分曲線」として同型変換であるテンプレート:Mvarの元$\tilde{\phi }(t)$があらわれる事を意味している。

もしテンプレート:Mvarが$G/H$そのものであれば、この同型変換$\tilde{\phi }(t)$は実際にテンプレート:Mvar上の同型変換になる事を後述する。

テンプレート:Mvar上の発展

テンプレート:Math theorem $q:G\to G/H$をテンプレート:Mvarから$G/H$への商写像とすると、上記の補題から次が成立する： テンプレート:Math theorem

ホロノミー

テンプレート:See also テンプレート:Mvarが連結であるとし、$u_0\in M$と$\pi (p_0)=u_0$を満たす$p_0\in P$をfixし、$c:[a,b]\to M$をテンプレート:Mvarを基点とするテンプレート:Mvar上の閉曲線とする。$\pi (\phi (t))=c(t)$を満たすテンプレート:Mvar上の閉曲線$\phi :[a,b]\to P$でテンプレート:Mvarを基点とするものとすると、前述した補題から、$\phi$の単位元$e\in G$からの発展$\tilde{\phi }:I\to G$の終点$\tilde{\phi }(b)$は$\phi$の取り方によらず等しい。そこで以下のような定義をする：テンプレート:Math theorem

ホロノミー群は基点やそのリフトを取り替えても、共役を除いて一意に定義できる。実際、基点テンプレート:Mvarのリフトテンプレート:Mvarを別の点テンプレート:Mvar, where $h\in H$に取り替えると、ホロノミーは${\mathrm{\Phi }}^{p_{0}h}(c)=h^{-1}{\mathrm{\Phi }}^{p_0}(c)h$を満たす。また基点テンプレート:Mvarを別の基点テンプレート:Mvarに変えると、${\mathrm{\Phi }}^{p_1}(\mathrm{\Omega }(M,u_1))=g^{-1}{\mathrm{\Phi }}^{p_0}(\mathrm{\Omega }(M,u_0))g$を満たす$g\in G$が存在する。

${\mathrm{\Phi }}^{p_0}(\mathrm{\Omega }(M,u_0))$の元のうち、0-ホモトープな閉曲線全体${\mathrm{\Phi }}_0^{p_0}(\mathrm{\Omega }(M,u_0))$は${\mathrm{\Phi }}^{p_0}(\mathrm{\Omega }(M,u_0))$の正規部分群になる。${\mathrm{\Phi }}_0^{p_0}(\mathrm{\Omega }(M,u_0))$を制限ホロノミー群（テンプレート:Lang-en-short）という。

写像$\mathrm{\Omega }(M,u_0)\to {\mathrm{\Phi }}^{p_0}(\mathrm{\Omega }(M,u_0))\to {\mathrm{\Phi }}^{p_0}(\mathrm{\Omega }(M,u_0))/{\mathrm{\Phi }}_0^{p_0}(\mathrm{\Omega }(M,u_0))$は基本群${\pi }_1(M,u_0)$からの群準同型写像

${\pi }_1(M,u_0)\to {\mathrm{\Phi }}^{p_0}(\mathrm{\Omega }(M,u_0))/{\mathrm{\Phi }}_0^{p_0}(\mathrm{\Omega }(M,u_0))$

をwell-definedに誘導する。上記の写像をカルタン幾何学$(\pi ,P,\omega )$のモノドロミー表現（テンプレート:Lang-en-short）という。

一般化円と測地線

特にクライン幾何学$(G,H)$に対し、$G/H$上の一般化円は、$𝔤$の元の1-パラメーター変換群の軌跡テンプレート:Refnテンプレート:Refnの$G/H$への射影である。よって「一般化円」という名称であるが、ユークリッド幾何学での「一般化円」は螺旋になる事もあるので注意されたい

$(𝔤,𝔥)$が$𝔤=𝔥\oplus 𝔟$と簡約可能なとき、$𝔟$に属する元のテンプレート:Mvar上の1-パラメーター変換群の軌跡の$G/H$への射影を直線（テンプレート:Lang-en-short）という。

この事実を使うと、一般化円と測地線は以下のように言い換える事ができる： テンプレート:Math theorem前述したように、$(𝔤,𝔥)$が簡約可能なときは、テンプレート:Mvar上にアフィン接続テンプレート:Mvarが定義できるので、$\frac{\mathrm{\nabla }}{dt}\frac{d}{dt}c=0$となる曲線を測地線として定義する事もできる。この２つの測地線の定義は同値である。 テンプレート:Math theorem テンプレート:Math proof

クライン幾何学との関係テンプレート:Anchors

テンプレート:See also カルタン幾何学はクライン幾何学をモデルとしており、しかも（局所）クライン幾何学はカルタン幾何学として平坦（テンプレート:Lang-en-short）、すなわち曲率が恒等的に0である事を前述した。

本章はこの逆向きについて述べる。すなわち平坦なカルタン幾何学がいかなる条件を満たせば局所クライン幾何学と等しいかを特定するのが本章の目標である。

ダルブー導関数の一般論から、以下が従う： テンプレート:Math theorem よって特に、テンプレート:Mvarの点テンプレート:Mvarの十分小さい開近傍$U$を取り、$U$上に$(\pi ,P,\omega )$を制限した$(\pi {|}_U,P_U,{\omega }_U)$は（テンプレート:Mvarの$\tilde{M}$へのリフトを考えることで）局所幾何学的同型$(U,P_U)\to (G/H,G)$を持つことが分かる。

このように被覆空間を考えたり、あるいは各点の開近傍に制限したりすれば、平坦なカルタン幾何学がクライン幾何学に局所幾何学的同型である事を示す事ができる。しかしこれだけではテンプレート:Mvar自身が（局所）クライン幾何学と幾何学的同型になるか否かはわからない。

そこで本章ではまずテンプレート:Mvar自身が局所クライン幾何学と幾何学的同型になる条件を定式化し、次にこれらの条件を満たす平坦なカルタン幾何学が局所クライン幾何学と幾何学同型になる事を見る。

条件

本節では平坦なカルタン幾何学が局所クライン幾何学と同型であるための条件である「幾何学的向き付け可能性」と「完備性」を定義する。

幾何学的向き

幾何学的向きを定義するため、まず記号を導入する。テンプレート:Mvarを多様体とし、$(\pi ,P,\omega )$を$(𝔤,𝔥,H,\mathrm{A}\mathrm{d})$をモデル幾何学とするテンプレート:Mvar上のカルタン幾何学とし、テンプレート:Mvarを$𝔤$に対応するリー群の一つとすると、その随伴表現$\mathrm{A}\mathrm{d}:G\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_{\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}}(𝔤)$はリー群間の写像なので、対応するリー代数間の写像

$\mathrm{a}\mathrm{d}:={\mathrm{A}\mathrm{d}}_{*}:𝔤\to {𝔤𝔩}_{\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}}(𝔤)$

を誘導する。テンプレート:Mathはリー代数$𝔤$に対応するリー群テンプレート:Mvarの取り方によらずwell-definedであり、

$\mathrm{a}\mathrm{d}(A)(B)=[A,B]$

が成立する。テンプレート:Mathとカルタン接続の合成

$\mathrm{a}\mathrm{d}\circ \omega :TP\to {𝔤𝔩}_{\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}}(𝔤)$

を考え、以下の定義をする： テンプレート:Math theorem テンプレート:Math theorem

テンプレート:Mathの定義より、曲線$\phi (t)$がテンプレート:Mvarのファイバー$P_{\pi (p)}$内にあれば、その発展$\tilde{\phi }(t)$の終点は必ず$\mathrm{A}\mathrm{d}(h)$になる。よって$H_e$を単位元テンプレート:Mvarを含むテンプレート:Mvarの連結成分とすると

$H_e\subset H_{\mathrm{o}\mathrm{r}}$

が成立する。

しかし上記の定義は曲線$\phi (t)$がファイバー$P_{\pi (p)}$内に収まる事は仮定しておらず、よって一般にはテンプレート:Mathの方がテンプレート:Mvarより大きいこともある。なお、テンプレート:Mvarが連結であれば、テンプレート:Mathはテンプレート:Mvarの正規部分群になる事が知られている。

テンプレート:Math theorem次が成立する：テンプレート:Math theorem

完備性

テンプレート:Mvarを多様体とし、$(\pi ,P,\omega )$を$(𝔤,𝔥,H,\mathrm{A}\mathrm{d})$をモデル幾何学とするテンプレート:Mvar上のカルタン幾何学とする。 テンプレート:Math theorem

定式化

完備かつ平坦で幾何学的に向き付可能なカルタン幾何学は局所クライン幾何学と幾何学的同型になる：テンプレート:Math theoremなお、すでに見たように局所クライン幾何学は平坦かつ完備であり、しかもテンプレート:Mvarが連結であれば局所クライン幾何学はカルタン幾何学として向き付け可能であるので、連結なテンプレート:Mvarを考える場合は、これ以上条件を減らす事はできない。

なお、テンプレート:Mvarを固定すると、上述の定理が存在を保証するテンプレート:Mvarは共役を除いて一意に定まる：テンプレート:Math theorem

ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学テンプレート:Anchors

本章ではモデル幾何学がユークリッド幾何学の場合を考える。すなわち、モデルとするクライン幾何学がユークリッド空間${𝔼}^m$上の等長変換群$\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^m)$と直交群$O(m)$の組$(G,H)=(\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^m),O(m))$である場合の、多様体テンプレート:Mvar上のカルタン幾何学$(\pi ,P,\omega )$を考える。

標準的な計量テンプレート:Anchors

本節では以下の定理を示す： テンプレート:Math theorem

これを示すため、$𝔤/𝔥$の性質を調べる。$\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^m)$は随伴表現テンプレート:Mathにより$𝔤/𝔥$に作用するが、$\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^m)=O(m)⋉{ℝ}^m$における$O(m)$は原点を中心とする回転として、${ℝ}^m$は平行移動として$𝔤/𝔥$に作用する事を簡単な計算により確かめられる。

よって$𝔤/𝔥$上には$O(m)$により不変な内積$q:𝔤/𝔥\times 𝔤/𝔥\to ℝ$が定数倍を除いて一意に定まる。前述したように$TM\approx TP{\times }_{H,\mathrm{A}\mathrm{d}}𝔤/𝔥$であるので、$p\in P$に対し、写像

${\phi }_p:\xi \in 𝔤/𝔥\to [(p,\xi )]\in TP{\times }_{H,\mathrm{A}\mathrm{d}}𝔤/𝔥\approx TM$

が定義できる。

そこで$u\in M$に対しテンプレート:Mvarの計量を$p\in P_u$を任意に選んで

$g_u(v,w):=q({\phi }_p{}^{-1}(v),{\phi }_p{}^{-1}(w))$ for $v,w\in T_{u}M$

により定義すると$g_u(v,w)$が$p\in P_u$によらずwell-definedされる事が知られており、テンプレート:Mvar上にリーマン計量テンプレート:Mvarが定まる。

アフィン接続

$\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^m)=O(m)⋉{ℝ}^m$と半直積で書けるので、リー代数の組$(𝔤,𝔥)=(𝔦𝔰𝔬({𝔼}^m),𝔬(m))$は$𝔟={ℝ}^m$を使って簡約可能であり、しかも$(G,H)=(\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^m),O(m))$は一階である。

よって前述のようにカルタン接続テンプレート:Mvarを「$𝔥$部分」と「$𝔟$部分」に分けて$\omega ={\omega }_{𝔥}+{\omega }_{𝔟}$と書くことができ、${\omega }_{𝔥}$は主バンドルテンプレート:Mvar上の接続形式になり、${\omega }_{𝔟}$が標準形式となる。逆に${\omega }_{𝔥}$と${\omega }_{𝔟}$からテンプレート:Mvarが復元できる事もすでに示した。

接続形式${\omega }_{𝔥}$がテンプレート:Mvarに誘導するアフィン接続$\mathrm{\nabla }$を定義する事ができ、$\mathrm{\nabla }$は以下を満たす： テンプレート:Math theorem テンプレート:Math proof

しかし$\mathrm{\nabla }$の捩率は0とは限らない。もし$\mathrm{\nabla }$の捩率が0であればリーマン幾何学の基本定理より、$\mathrm{\nabla }$はレヴィ・チヴィタ接続に一致する。

以上の考察から、カルタン幾何学の立場から見るとリーマン幾何学とは、ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学で捩率がテンプレート:Mvarのものとして（計量の定数倍を除き）特徴づけられる幾何学である。

リーマン多様体の発展

上述のようにリーマン多様体にはユークリッド幾何学$(G,H)=(\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}({𝔼}^m),O(m))$をモデルとする捩れのないカルタン幾何学$(\pi ,P,\omega )$の構造が入る。

滑りとねじれのない転がし（再掲）

テンプレート:Mvar次元リーマン多様体テンプレート:Mvar上に曲線$c(t)$を取り（図の青の線）、$c(t)$に沿ってテンプレート:Mvarをテンプレート:Mvar次元平面${ℝ}^m$上を「滑ったり」「ねじれたり」することなく転がしたときにできる曲線の軌跡を$\tilde{c}(t)$とする（図の紫の線）。

このとき、次が成立することが知られている： テンプレート:Math theorem

また、テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvar次元平面${ℝ}^m$上滑りもねじれもなく転がすと、時刻テンプレート:Mvarに$c(t)$が${ℝ}^m$に接した瞬間に$T_{c(t)}M$が${ℝ}^m$に重なるので、自然に写像

${\phi }_t:T_{c(t)}M\to {ℝ}^m$

が定義できる。この写像を使うと、テンプレート:Mvarのレヴィ・チヴィタ接続テンプレート:Mvarの幾何学的意味を述べることができる：

すなわち、曲線に沿った$v(t)$の共変微分を${ℝ}^m$に移したものは、$v(t)$を移したものを通常の意味で微分したものに一致する。

よって特に以下が成立する： テンプレート:Math theorem

参考文献

カルタン幾何学関連の文献

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カルタン幾何学以外の文献

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